2021_2023年高考数学真题分类汇编专题12数列解答题

这是一份2021_2023年高考数学真题分类汇编专题12数列解答题，共15页。试卷主要包含了设等差数列的公差为，且，记为等差数列的前项和，已知，，设是等差数列，是等比数列，且，记为数列的前项和等内容，欢迎下载使用。
专题12数列（解答题）近三年高考真题知识点1：等差数列基本量运算1．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．【解析】（1），，根据题意可得，，，又，解得，，，；（2）为等差数列，为等差数列，且，根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，①当，，时，则，，，又，解得；②当，，时，则，，，又，此时无解，综合可得．2．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．根据等差数列的性质，，故，根据可得，整理得，可得不合题意），故．（Ⅱ），，，，即，整理可得，当或时，成立，由于为正整数，故的最小正值为7．3．（2021•甲卷（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：，，数列的前项和：，故，据此可得数列是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列的公差为，则：，数列为等差数列，则：，即：，整理可得：，．选择③②为条件，①结论：由题意可得：，，则数列的公差为，通项公式为：，据此可得，当时，，当时上式也成立，故数列的通项公式为：，由，可知数列是等差数列．4．（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）在等差数列中，，．，即，得，，则．（2），即时，，当时，，当时，数列的前项和，当时，数列的前项和．5．（2021•甲卷（文））记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．【解析】证明：设等差数列的公差为，由题意得；，则，所以，所以①；当时，有②．由①②，得③，经检验，当时也满足③．所以，，当时，，所以数列是等差数列．知识点2：等差数列与等比数列的综合应用6．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．（1）求与的通项公式；（2）设的前项和为，求证：；（3）求．【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得，，．（2）证明：，要证明，即证明，即证明，即证明，由数列的通项公式和前项和的关系得：，．（3），设．则，①，②①②，得：，，．7．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为等差数列的首项，公差，因为，可得，即，，即，整理可得：，解得，所以，即；（Ⅱ）因为对于每个，存在实数，使，，成等比数列，则，，整理可得：，则△恒成立在，整理可得，当时，可得或，而，所以的范围为；时，不等式变为，解得，而，所以此时，，当时，，则符合要求，综上所述，对于每个，的取值范围为，，使，，成等比数列．8．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．（1）证明：；（2）求集合，中元素的个数．【解析】（1）证明：设等差数列的公差为，由，得，则，由，得，即，．（2）由（1）知，，由知，，，即，又，故，则，故集合，中元素个数为9个．9．（2022•甲卷（文））记为数列的前项和．已知．（1）证明：是等差数列；（2）若，，成等比数列，求的最小值．【解析】（1）证明：由已知有：①，把换成，②，②①可得：，整理得：，由等差数列定义有为等差数列；（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，故，解得，故，所以，故可得：，，，故在或者时取最小值，，故的最小值为．10．（2021•乙卷（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前项和．证明：．【解析】（1），，成等差数列，，是首项为1的等比数列，设其公比为，则，，，．（2）证明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，． 知识点3：数列通项与求和问题11．（2023•天津）已知是等差数列，，．（Ⅰ）求的通项公式和；（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．当时，求证：；求的通项公式及其前项和．【解析】（Ⅰ）是等差数列，，．，得，，则的通项公式，中的首项为，项数为，则．（Ⅱ），，，即，当时，．，且，即，综上，即成立．成立，为等比数列，设公比为，当时，，，则，即，即，当，，，，时，，，即，即，当，，，则，则，即的通项公式为，则的其前项和．12．（2023•甲卷（理））已知数列中，，设为前项和，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）当时，，解得，当时，，，，当时，可得，，当或时，，适合上式，的通项公式为；（2）由（1）可得，，，，．13．（2021•乙卷（理））记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式．【解析】（1）证明：当时，，由，解得，当时，，代入，消去，可得，所以，所以是以为首项，为公差的等差数列．（2）由题意，得，由（1），可得，由，可得，当时，，显然不满足该式，所以．14．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和．【解析】（1）因为，，所以，，，所以，，，，所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，所以．另由题意可得，，其中，，于是，．（2）由（1）可得，，则，，当时，也适合上式，所以，，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为．知识点4：数列不等式15．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．【解析】（1）设等差数列的公差为，，为的前项和，，，则，即，解得，故；（2）证明：由（1）可知，，，当为偶数时，，，，当为奇数时，，，，故原式得证．16．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当时，，②，①②得：，故，化简得：，，，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以．17．（2021•天津）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．（1）求数列和的通项公式；（2）记，．证明：是等比数列；证明：．【解析】证明：（1）由数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，可得，解得，所以，；由数列是公比大于0的等比数列，，，可得，解得舍去），所以，；（2）证明：因为，，所以，则，所以，又，所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列；证明：设，考虑，则，所以，则，两式相减可得，，所以，则，故．18．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）由可得，两式作差，可得：，，很明显，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为：．（Ⅱ）由，得，，，两式作差可得：，则．据此可得恒成立，即恒成立．时不等式成立；时，，由于时，故；时，，而，故：；综上可得，．