2021_2023年高考数学真题分类汇编专题18坐标系与参数方程

专题18 坐标系与参数方程

近三年高考真题

1．（2021•乙卷（文））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程；

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

【解析】（1）的圆心为，半径为1，

则的标准方程为，

的一个参数方程为为参数）．

（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，

设切线方程为，即，

圆心到切线的距离，解得，

所以切线方程为，

因为，，

所以这两条切线的极坐标方程为．

2．（2022•甲卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．

（1）写出的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．

【解析】（1）由为参数），消去参数，

可得的普通方程为；

（2）由为参数），消去参数，

可得的普通方程为．

由，得，

则曲线的直角坐标方程为．

联立，解得或，

与交点的直角坐标为，与；

联立，解得或，

与交点的直角坐标为，与．

3．（2022•乙卷（文））在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

（1）写出的直角坐标方程；

（2）若与有公共点，求的取值范围．

【解析】（1）由，得，

，

又，，，

即的直角坐标方程为；

（2）由曲线的参数方程为为参数）．

消去参数，可得，

联立，得．

，

令，

可得，当时，，

，，

的取值范围是，．

4．（2023•乙卷（文））在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线为参数，．

（1）写出的直角坐标方程；

（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点、求的取值范围．

【解析】（1）曲线的极坐标方程为，

根据转换为直角坐标方程为，

因为，，，，

，，

所以的直角坐标方程为，，，，；

（2）由于曲线的方程为，，曲线为参数，，转换为直角坐标方程为，；

如图所示：

由于与圆相交于点，即，

当时，直线与曲线没有公共点；

当曲线与直线相切时，圆心到直线的距离，解得（负值舍去），

由于直线与曲线没有公共点，

所以，

故直线既与没有公共点，也与没有公共点、实数的取值范围为．

5．（2023•甲卷（理））已知，直线为参数），为的倾斜角，与轴，轴正半轴交于，两点，．

（1）求的值；

（2）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．

【解析】（1）已知，直线为参数），与轴，轴正半轴交于，两点，．

令，解得，令，解得，

由于，

所以，故，解得，

故或，解得或，

由于与轴，轴正半轴，所以直线的倾斜角，，

故．

（2）由（1）可知，斜率为，且过，

所以直线方程为，即，

因为，，

所以直线极坐标方程为．

6．（2023•甲卷（文））已知点，直线为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，且．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．

【解析】（1）直线为参数）化为普通方程为，

令，得，令，得，

所以，，

所以，

整理得，

因为与轴正半轴、轴正半轴分别交于，，

所以，

所以，

故；

（2）由（1）得，即，

因为，，

所以极坐标方程为，

即．