2021_2023年高考数学真题分类汇编专题06立体几何解答题文

专题06 立体几何（解答题）（文）

近三年高考真题

知识点1：线面角及其正弦值

1．（2023•甲卷（理））在三棱柱中，，底面，，到平面的距离为1．

（1）求证：；

（2）若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．

【解析】（1）证明：取的中点，连接，

底面，底面，

，，，

底面，底面，

，，，

，平面，

平面，平面平面，

到平面的距离为1，

到的距离为1，

，

；

（2）过作交的延长线与，连接，

取的中点，连接，

四边形为平行四边形，

平面，

，平面，

平面，

，

，

为直线与距离，

，，

由（1）可知平面，

为与平面所成角的角，

易求得，

，

，，

．

与平面所成角的正弦值为．

2．（2021•上海）如图，在长方体中，已知，．

（1）若是棱上的动点，求三棱锥的体积；

（2）求直线与平面的夹角大小．

【解析】（1）如图，在长方体中，；

（2）连接，

，

四边形为正方形，则，

又，，

平面，

直线与平面所成的角为，

．

直线与平面所成的角为．

知识点2：体积问题

3．（2023•乙卷（文））如图，在三棱锥中，，，，，，，的中点分别为，，，点在上，．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

【解析】 （1）证明：在中，作，垂足为，设，则，

因为，所以，所以，即，解得，

又因为，所以，且，

所以，所以，即，解得，

即，所以是的中点，是的中点，

又因为是的中点，所以，同理，，所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（2）过作垂直的延长线交于点，因为，是中点，所以，在中，，，所以，

因为，，所以，又，，平面，所以平面，

又平面，所以，

又，，平面，

所以平面，即三棱锥的高为，

因为，所以，

所以，

的面积为，

所以三棱锥的体积为．

4．（2022•乙卷（文））如图，四面体中，，，，为的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，点在上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

【解析】证明：（1），，，

，

，又为的中点．

，

，为的中点．

，又，

平面，

又平面，

平面平面；

（2）由（1）可知，

，，是等边三角形，边长为2，

，，，，

，，

又，，

平面，

由（1）知，，连接，则，

，

当时，最短，此时的面积最小，

过点作于点，则，平面，

，

，，

三棱锥的体积．

5．（2021•甲卷（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，．

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知为棱上的点，证明：．

【解析】（1）在直三棱柱中，，

又，，，平面，

平面，

，

平面，

，

又，故，

，

而侧面为正方形，

，

，即三棱锥的体积为；

（2）证明：如图，取中点，连接，，设，

点是的中点，点时的中点，

，

，

、、、四点共面，

由（1）可得平面，

平面，

，

，且这两个角都是锐角，

，

，

，

又，，平面，

平面，

又平面，

．

6．（2021•乙卷（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【解析】（1）证明：底面，平面，

，

又，

，，平面．

平面．

平面，

平面平面；

（2）由底面，

即为四棱锥的高，是直角三角形；

底面是矩形，，为的中点，且．

设，取的中点为．作交于，

连接，，，

可得，，

那么．且．，，

．

是直角三角形，

根据勾股定理：，则；

由是直角三角形，

可得，

解得．

底面的面积，

则四棱锥的体积．

7．（2021•上海）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面．

（1）若为等边三角形，求四棱锥的体积；

（2）若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小．

【解析】（1）为等边三角形，且为中点，，

，

又平面，

四棱锥的体积．

（2）平面，

为与平面所成角为，即，

为等腰直角三角形，

，分别为，的中点，

，

，

，

或其补角即为与所成角，

平面，，

又，，、平面，

平面，，

在中，，

故与所成角的大小为．

8．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

【解析】（1）证明：因为，为的中点，所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以；

（2）过作，交于点，过作于点，连结，

由题意可知，，又平面

所以平面，又平面，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以，

则为二面角的平面角，即，

又，

所以，则，

故，

所以，

因为，

则，

所以，则，

所以，则，

所以．

9．（2022•甲卷（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

（1）证明：平面；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

【解析】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，

做于点，做于点，

由于底面为正方形，，均为等边三角形，

故等边三角形的高相等，即，

由面面垂直的性质可知，均与底面垂直，

则，四边形为平行四边形，则，

由于不在平面内，在平面内，

由线面平行的判断定理可得平面．

（2）易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，

其中长方体的高，

长方体的体积，

一个三棱锥的体积，

则包装盒的容积为．

知识点3：线面距离

10．（2023•上海）已知三棱锥中，平面，，，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点，．

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）求直线到平面的距离．

【解析】（1）连接，，

平面，

为直线与平面所成的角，

在中，，，

为中点，，

，即直线与平面所成角为；

（2）由平面，平面，，

平面平面，平面，平面，

平面，平面，

，，，，平面，

平面，为直线到平面的距离，

平面，平面，平面平面，

，为中点，为中点，，

直线到平面的距离为2．

知识点4：几何中高的求法

11．（2023•甲卷（文））如图，在三棱柱中，平面，．

（1）证明：平面平面；

（2）设，，求四棱锥的高．

【解析】（1）底面，面，

，又，，平面，，

平面，又平面，

平面平面；

（2）平面，，平面，

，，

，，

△，

，

底面，面，

，，

，，

，

过作于，，

为的中点，，

由（1）可知平面，

四棱锥的高为1．