初中数学第五章 平面直角坐标系5.2 平面直角坐标系巩固练习

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《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》
专题5.2 平面直角坐标系
【教学目标】
1、 认识平面直角坐标系，学会用平面直角坐标系表示位置关系；
2、 通过点坐标的移动来确定位置关系；
3、根据点坐标求出线段长度，并学会计算围成图形的面积。


【教学重难点】
1、认识平面直角坐标系，学会用平面直角坐标系表示位置关系；
2、通过点坐标的移动来确定位置关系；
3、根据点坐标求出线段长度，并学会计算围成图形的面积。


【知识亮解】
知识点一：平面内点的平移
1、在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，所得到对应点的坐标是（x+a，y）（或（x-a，y） ）；
2、将点（x，y）向上（或下）平移a个单位长度，所得对应点的坐标是 （x，y+a）（或 （x，y-a） ）；
3、如果把点P（a，b）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，所得对应点Q的坐标是 （x-m，y+n） 。
知识点二：平面直角坐标系中图形的面积
1、 已知图形点的坐标求面积：
面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。
2、 已知图形面积求点的坐标：
可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。

亮题一：点的坐标确定位置
【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.
【例1】★课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（　　）

A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣4，﹣3）
【分析】根据小军和小刚的坐标建立平面直角坐标系，据此可得答案．
【答案】解：由小军和小华的坐标可建立如图所示平面直角坐标系：

则小华的位置可表示为（﹣2，﹣3），
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征．
【例2】★图中标明了李明家附近的一些地方，某周日早晨，李明从家里出发后，沿（-1，2）.(2，1).(1，0).(0，-1).(-3，-1)表示的地点转了一圈，又回到了家里，写出他路上经过的地方．

【答案】解：他路上经过的地方是糖果店.游乐场.汽车站.姥姥家.邮局.
【考点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】由图知，李明路上经过了糖果店、游乐场、汽车站、姥姥家、邮局。
【例3】★王林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地 如图 ，他出发沿 的路线进行了参观，请你按他参观的顺序写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．

【答案】解：由各点的坐标可知他路上经过的地方：葡萄园 杏林 桃林 梅林 山楂林 枣林 梨园 苹果园．如图所示：

【考点】坐标确定位置
【解析】【分析】由各点的坐标可知王林同学在路上经过的地方依次是：葡萄园 → 杏林 → 桃林 → 梅林 → 山楂林 → 枣林 → 梨园 → 苹果园．
【例4】★小林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地（如图），他出发沿（1，3），（﹣3，3），（﹣4，0），（﹣4，﹣3），（2，﹣2），（5，﹣3），（5，0），（5，4）的路线进行了参观，写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．
【答案】解：由各点的坐标可知：他路上经过的地方：葡萄园→杏林→桃林→梅林→山楂林→枣林→梨园→苹果园． 如图如图所示：

【考点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】依据点的坐标的定义确定各点的名称，然后用线段连接各点即可．

【答案】 B
【考点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】根据图表的信息，学校在小明家北偏东65°（180°-115°=65°）方向上，距离为1200米；
A.距离学校 米处只说明了距离，没有说明方向，故不是答案；
B.学校在小明家北偏东 方向上的 米处，故正确；
C.学校在小明家北偏东 方向上的 米处，故不是答案；
D.学校在小明家北偏东 方向上的 米处，故不是答案；
故答案为：B.
【分析】根据图表的信息，分析小明家的位置和学校的位置，即可得到答案.
【例5】★★在我国沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少地遭受台风的侵袭，加强台风的监测和预报，是减轻台风灾害的重要措施．下表是中央气象台2010年发布的第13号台风“鲇鱼”的有关信息：

时    间
台风中心位置
东  经
北  纬
2010年10月16日23时
129.5°
18.5°
2010年10月17日23时
124.5°
18°
请在下面的经纬度地图上找到台风中心在16日23时和17日23时所在的位置．

【答案】 解：根据经纬度地图直接找到台风中心在16日23时和17日23时所在的位置即可，如图所示．

​
【考点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】根据点的坐标位置确定方法，首先可以确定经度再确定纬度，分别找出即可．

亮题二：坐标与图形的性质
【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．
【例1】★★（2020七下·椒江期末）如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图图案，已知A（﹣2，6），则点B的坐标为（   ）

A. （﹣6，4）   B. （ ， ）   C. （﹣6，5）  D. （ ，4）
【答案】 B
【考点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，
根据题意得： ，
解得： ，
∴﹣2x＝﹣ ，x+y＝ ，
∴点B的坐标为（﹣ ， ）.
故答案为：B.
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再观察坐标系，可求出点B的坐标.
【例2】★★（2020·连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M、N的坐标分别为 、 ，则顶点 的坐标为________.

【答案】 (15,3)
【考点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为 ，
则由题设条件可知：
解得：
点A的横坐标为： ，点A的纵坐标为：
故点A的坐标为 .
故答案为： .
【分析】先根据条件，算出每个正方形的边长，再根据坐标的变换计算出点A的坐标即可.

【分析】根据平行于x轴的直线上点的距离等于横坐标之差的绝对值可列出方程|﹣2﹣x|＝5，求出x即可．
【答案】解：设M（x，﹣3），
|﹣2﹣x|＝5，
∴x＝3或﹣7，
∴N（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）；
故答案为（﹣7，﹣3）或（3，﹣3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，正确理解坐标系内点的特征是解题的关键．
【例3】★★★（2020七下·上饶期中）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”，例如：如图中的点P（1，3）是“垂距点”．

（1）在点A（﹣2，2）， ，C（﹣1，5）是“垂距点”是________；
（2）若 是“垂距点”，求m的值．
【答案】 （1）点A
（2）由题意可知： ，
①当m＞0时，则4m＝4，
解得m＝1；
②当m＜0时，则﹣4m＝4，
解得m＝﹣1；
∴m＝±1．
【考点】坐标与图形性质
【解析】【解答】（1）根据题意，对于点A而言，|2|+|2|＝4，
所以A是“垂距点”，
对于点B而言，| |+|﹣ |＝3，
所以B不是“垂距点”，
对于点C而言，|﹣1|+|5|＝6≠4，
所以C不是“垂距点”，
故答案为：点A ．
【分析】（1）根据题意即可解答；（2）根据“垂距点”的定义，得到 ，解得m的值即可．
【例4】★★★对于平面直角坐标系 xOy 中的点 A，给出如下定义：若存在点 B（不与点 A 重合，且直线 AB 不与 坐标轴平行或重合），过点 A 作直线 m∥x 轴，过点 B 作直线 n∥y 轴，直线 m，n 相交于点 C．当线段 AC，BC 的长度相等时，称点 B 为点 A  的等距点，称三角形 ABC 的面积为点 A 的等距面积． 例如：如 图，点 A（2，1），点 B（5，4），因为 AC= BC=3，所以 B 为点 A  的等距点，此时点 A 的等距面积为 ．
 
（1）点 A 的坐标是（0，1），在点 B1（2，3），B2 (-1， -1) ， B3 (-3， -2) 中，点A的等距点为________．
（2）点 A 的坐标是 (-3，1) ，点 A 的等距点 B 在第三象限，
①若点 B 的坐标是 (-5， -1) ，求此时点 A 的等距面积；
②若点 A 的等距面积不小于 2，请直接写出点 B 的横坐标 t 的取值范围．
【答案】 （1）B1 ， B3
（2）①如图2，根据题意，可知AC⊥BC．
​
∵A(-3，1)，B(-5，-1)，
∴AC=BC=2．
∴三角形ABC的面积为： AC•BC= =2．
∴点A的等距面积为2．
②∵三角形ABC的面积为： AC•BC≥2，
∴AC=BC≥2，
如图3，根据①作全等的等腰直角三角形ABC和AB1C1 ， 发现点B可以在射线BF上或线段B1M上，
∵A(-3，1)，
∴B(-5，-1)，B1(-1，-1)，

∴点B的横坐标t的取值范围是t≤-5或-1≤t＜0．
【考点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，过A作x轴的平行线m，过B1作y轴的平行线n，交于C1 ，

∵点A的坐标是(0，1)，在点B1(2，3)，
∴AC1=B1C1=2，即B1是点A的等距点，
同理：AC3=B3C3=3，B3是点A的等距点，
AC2≠B2C2 ， B2不是点A的等距点，
故答案为B1 ， B3；
【分析】（1）根据等距点的定义可作判断；（2）①计算等腰直角△ACB的面积即可；②根据题意画出全等的等腰直角三角形ABC和AB1C1 ， 发现点B可以在射线BF上或线段B1M上，可得t的取值．

亮题三：图形在坐标系中的平移
向右平移a个单位
【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位

再向上平移b个单位

（2） 二次平移：
【例1】★在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（    ）
A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限   D. 第四象限
【答案】C
【考点】点的坐标
【解析】【解答】在平面直角坐标系中，点的移动后的坐标与移动的方向和长度有关。向左平移4个单位长度，表示横坐标减4，即为3－4＝﹣1，向下平移8个单位长度，表示纵坐标减8，即为6－8＝﹣2。所以，得到的点应为（﹣1，﹣2）。横坐标纵坐标均为负值，应位于第三象限。
【分析】弄清平面直角坐标系点的移动和象限的判定方法，是解答本题的关键。本题考查点的坐标。

【例2】★★如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2，0)，B(0,3)，O 为原点．

（1）求三角线 AOB 的面积；
（2）将线段AB沿x轴向右平移4个单位，得线段A′B′，x轴上有一点C满足三角形A′B′C的面积为9，求点C的坐标．
【答案】 （1）解：∵点 A(﹣2，0)，B(0，3)，
∴OA=2，OB=3，
∴△AOB的面积= ×2×3=3

（2）解：由平移得，A′(2，0)，B′(4，3)，
当  在 x 轴上时，则S△A′B′C= A′C•3=9,
∴A′C=6，
设C(x,0)，则有|x+2|=6，
∴x=﹣4，x=8，
∴C(﹣4，0)或(8,0)
【考点】点的坐标，用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的位置，可以求得三角形AOB三边的长度，即可求得直角三角形AOB的面积。
（2）当点在x轴上时，根据三角形面积的计算公式可以求得A′C的长度，从而得出C点的坐标。

【例3】★★★在平面直角坐标系中，A（0，1），B（5，0）将线段AB向上平移到DC，如图1，CD交y轴于点E，D点坐标为（﹣2，a）

（1）直接写出点C坐标（C的纵坐标用a表示）；
（2）若四边形ABCD的面积为18，求a的值；
（3）如图2，F为AE延长线上一点，H为OB延长线上一点，EP平分∠CEF，BP平分∠ABH，求∠EPB的度数.
【答案】 （1）C（3，a﹣1）.
（2）解：如图1中，如图1中，作DH⊥x轴于H.连接CH，AH.

∵S平行四边形ABCD＝S△CDH+S△CBH﹣S△ADH﹣S△AHB ，
∴ •a•5+ ×7•（a﹣1）﹣ •a•2﹣ ×7×1＝18，
解得a＝5.

（3）解：如图2中 作AM∥EP交BP于M.

∵EC∥AB，
∴∠FEC＝∠FAB，
∵PE∥AM，
∴∠FEP＝∠FAM，
∵EP平分∠FEC，
∴∠FEP＝ ∠FEC，
∴∠FAM＝ ∠FAB，
∵BP平分∠ABH，
∴∠ABP＝ ∠ABH，
∴∠MAB+∠ABM＝ （∠FAB+∠ABH）＝ （∠AOB+∠ABO+∠OAB+∠AOB）＝ （180°+90°）＝135°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝45°，
∵AM∥PE，
∴∠EPB＝∠AMB＝45°.
【考点】坐标与图形性质，坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点A向上平移a﹣1个单位，向左平移2个单位得到点D，
∴点B（5，0）向上平移a﹣1个单位，向左平移2个单位得到点C，
∴C（3，a﹣1）.
【分析】（1）利用平移的性质解决问题即可.（2）根据S平行四边形ABCD＝S△CDH+S△CBH﹣S△ADH﹣S△AHB ， 构建方程即可解决问题.（3）如图2中 作AM∥EP交BP于M.求出∠AMB即可解决问题.

【例4】★★★如图所示，A(2,0)、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为(a，b)，且a= + -6

（1）求点C的坐标；
（2）求点E的坐标；
（3）点P是CE上一动点，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，确定x，y，z之间的数量c关系，并证明你的结论

【答案】 （1）解：∵
∴b=4，a=﹣6，
∵点C的坐标为（a，b），
∴点C的坐标为：（﹣6，4）；

（2）解：∵点B在y轴上，点C的坐标为：（﹣6，4），
∴B点向左平移了6个单位长度，
∴A（2，0），向左平移6个单位得到：（﹣4，0）
∴点E的坐标为：（﹣4，0）；
故答案为：（﹣4，0）；

（3）解：x+y=z.证明如下：
如图，过点P作PN∥CD，

∴∠CBP=∠BPN
又∵BC∥AE，
∴PN∥AE
∴∠EAP=∠APN
∴∠CBP+∠EAP=∠BPN+∠APN=∠APB，
即x+y=z.
【考点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义可求出b=4，从而求出a值，即得点C的坐标.
（2）已知C（-6,4），由于点B在y轴上，可知点B向左平移了6个单位，结合A（2,0）可得点A平移后的对应点E(2-6,0)即得点E的坐标.
（3）如图，过点P作PN∥CD.根据两直线平行内错角相等,可得∠CBP=∠BPN ，∠EAP=∠APN ,利用等式性质可得∠CBP+∠EAP=∠BPN+∠APN ，继而得到x、y、z的关系.
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点直接写出坐标；
（2）首先根据A与A′的坐标观察变化规律，P的坐标变换与A点的变换一样，写出点P′的坐标；
（3）先求出△ABC所在的矩形的面积，然后减去△ABC四周的三角形的面积即可．
【答案】解：（1）如图所示：
A′（﹣3，﹣4），B′（0，﹣1）、C′（2，﹣3）；
（2）A（1，0）变换到点A′的坐标是（﹣3，﹣4），
横坐标减4，纵坐标减4，
∴点P的对应点P′的坐标是（m﹣4，n﹣4）；
（3）△ABC的面积为：3×51×52×23×3＝6．
故答案为：（﹣3，﹣4），（0，﹣1）、（2，﹣3）；（m﹣4，n﹣4）．
【点睛】此题主要考查了平移变换作图，三角形的面积，网格图形中经常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三角形的面积的方法求解．
亮题四：点在坐标系内的移动规律
【例1】★★★（2020·娄底模拟）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路程如图所示，第一次移动到点A1 ， 第二次移动到点A2 ， 第n次移动到点An ， 则点A2020的坐标是（    ）

A. (1010，0)    B. (1010，1)     C. (1009，0)     D. (1009，1)
【答案】 A
【考点】点的坐标
【解析】【解答】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2020÷4＝505，
所以A2020的坐标为（505×2，0），
则A2020的坐标是（1010，0）．
故答案为：A．
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2020的坐标．
【例32】★★★（2020七下·大兴月考）在平面直角坐标系中，一只电子狗从原点O出发，按向上→向右→向下→向下→向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则A3020的坐标为（    ）

A. (1007，1)   B. (1007，﹣1)   C. (504，1)    D. (504，﹣1)
【答案】 A
【考点】点的坐标
【解析】【解答】观察点的坐标变化特征可知：
A1（0，1），
A2（1，1），
A3（1，0），
A4（1，﹣1），
A5（2，﹣1），
A6（2，0），
A7（2，1），
A8（3，1），
A9（3，0），
…
发现规律：横坐标每3个为一组循环，纵坐标第6个为一组循环，
3020÷3＝1006…2，3020÷6＝503…2，
所以第3020个点的坐标为（1007，1），
故答案为：A．
【分析】根据点的坐标变化寻找规律即可得结果．
【例3】★★★（2020七下·北京月考）如图，在平面直角坐标系 中，点 ．点 第1次向上跳动1个单位至点 ，紧接着第2次向左跳动2个单位至点 ，第3次向上跳动1个单位至点 ，第4次向右跳动3个单位至点 ，第5次又向上跳动1个单位至点 ，第6次向左跳动4个单位至点 ，……，照此规律，点 第2020次跳动至点 的坐标是（    ）

A.     B.     C.    D. 
【答案】 C
【考点】点的坐标
【解析】【解答】经过观察可得： 和 的纵坐标均为1， 和 的纵坐标均为2， 和 的纵坐标均为3，因此可以推知 点的纵坐标为 ；再观察图可知4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧． 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标为 （n是4的倍数）．故点 的横坐标是 ；所以点 第2020次跳动至点 的坐标是 ．
故答案为：C．
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第2020次跳动后，纵坐标为 2020÷2=1010 ；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第2020次的跳动得到的横坐标也在y轴的右侧。 的横坐标为1， 的横坐标为2， 的横坐标为3，依此类推可得到 的横坐标．

【例4】★★★（2017七下·荔湾期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2017的坐标为________．

【答案】（1008，1）
【考点】点的坐标
【解析】【解答】解：观察图形可知：A1（0，1），A5（2，1），A9（4，1），A13（6，1），…，
∴A4n+1（2n，1）（n为自然数）．
∵2017=504×4+1，
∴A2017（1008，1）．
故答案为：（1008，1）．
【分析】首先依据图形特点确定出点A1、A5、A9、A13、…、的坐标，然后再找出点的坐标的变化规律“A4n+1（2n，1）（n为自然数）”，最后，依据规律可得到问题的答案.
【例5】★★★如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为________．
【答案】45
【考点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12 ，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22 ，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32 ，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42 ，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452=2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第2012个点是（45，13），
所以，第2012个点的横坐标为45．
故答案为：45．
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．

【例6】★★★在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．


（1）填写下列各点的坐标：A4（               ， ​             ），A8（​              ， ​             ），A12（​              ， ​             ）；
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）（​              ， ​             ）；
（3）指出蚂蚁从点A2014到点A2015的移动方向为​             ​．
【答案】 解：（1）由图可知，A4 ， A8 ， A12都在x轴上，

∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，
∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0），；
故答案为：2，0；4，0；6，0；

（2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，
∴点A4n的坐标（2n，0）；
故答案为：2n，0；

（3）∵2014÷4=503…2，
∴2014除以4余数为2，
∴从点A2014到点A2015的移动方向与从点A2到A3的方向一致为：向下．
故答案为：向下．
【考点】点的坐标
【解析】【分析】（1）观察图形可知，A4 ， A8 ， A12都在x轴上，求出OA4、OA8、OA12的长度，然后写出坐标即可；

（2）根据（1）中规律写出点A4n的坐标即可；
（3）根据2014除以4余数为2，可知从点A2014到点A2015的移动方向与从点A2到A3的方向一致．

亮题五：坐标系中图形的面积
【例1】★★某地公园内有四棵古树，它们在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1) 请写出两点的坐标;
(2) 为了更好地保护古树，公园决定将四棵古树围成的四边形用围栏圈起来， 划为保护区，请你计算保护区的面积.

【答案】(1)
(2)


所以保护区的面积为1 950.
【例2】★★★已知在平面直角坐标系中有三点，，，请回答下列问题:
(1) 在如图所示的平面直角坐标系中描出点，，的位置;
(2) 求出以，，三点为顶点的三角形的面积;
(3) 在轴上是否存在点，使以，，三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请直接写出点的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】(1) 点，，的位置如图所示

（2）依据题意，得，且
∴
(3) 存在，点的坐标为或
∵，
∴点到的距离为4
又∵点在轴上
∴点的坐标为或
【例3】★已知： 的三个顶点坐标 ， ， ，在平面直角坐标系中画出 ，并求 的面积．

【答案】解： ．

【考点】点的坐标
【解析】【分析】根据题意将点在坐标系中找出，可知△ABC的底AB的长，高即为C点的y值，计算求解即可.
【例4】★★在图中描出A（-4，4），B（0，4），C（2，1），D（-2，1）四个点，线段AB、CD有什么位置关系？顺次连接A,B,C,D四点，求四边形ABCD的面积.

【例5】★已知：如图，A（﹣1，3），B（﹣2，0），C（2，2），求△ABC的面积．

【答案】解：S△ABC=3×4﹣ ×1×3﹣ ×2×4﹣ ×1×3=5． 答：△ABC的面积为5．
【考点】坐标与图形性质
【解析】【分析】观察图形可知△ABC的面积=矩形的面积﹣三个小直角三角形的面积，结合矩形和三角形的面积公式即可求出结论．

【答案】 解：（1）画出图形直接得到AB∥x轴，DC∥x轴，所以AB∥CD；（2）S=4×3=12

【考点】坐标与图形性质
【解析】【分析】先在平面直角坐标系中描点、连线，画出图形。然后证明这是一个平行四边形，从而求出平行四边形ABCD的面积=底 × 高。
【分析】根据点的下标发现规律：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，只需判断2019除以4的余数即可；
【答案】解：根据给出的点发现：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，
∴2019在第四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查平面内点的特点，点的规律；能够结合图形和点的坐标，寻找到每个象限内点的下标特点是解题的关键．




【亮点训练】
1．如图，点M是平面直角坐标系中的一点，轴于点A，轴于点B，，则点A的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点到坐标轴的距离和点的特征进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查坐标下的点到坐标轴的距离，以及坐标系下点的特征．熟练掌握点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，以及点的特征是解题的关键．
2．如图，象棋盘上，若“将”位于点，“象”位于点．则“炮”位于点（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：

“炮”位于点．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
3．若点和点关于y轴对称， 则点P在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据直角坐标系和轴对称的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案.
【详解】∵点和点关于y轴对称
∴
∴
∴
∴点P在第一象限
故选：A.
【点睛】本题考查了直角坐标系和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解.
4．如图，已知正方形，顶点，，，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（　 　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可．
【详解】解：∵正方形，顶点，，，
∴正方形的对角线交点M的坐标为，
∵把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，
∴第一次变换后点M的坐标为，第二次变换后点M的坐标为，第三次变换后点M的坐标为，第四次变换后点M的坐标为
可以发现点n次后，当n为偶数，点M的坐标为，
当n是奇数，点M的坐标为，
∴连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标系上点翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键．
5．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的性质作出点，即可得到满足条件的点的个数．
【详解】解：满足条件的点有4个．

故选：B．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，坐标与图形变化对称等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
6．平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是__________．
【答案】2
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于x轴对称，
∴，
则 ．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a,b的值是解题关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为2，则点C关于x轴的对称点的坐标是______．

【答案】
【分析】过点C作轴，利用含30度的直角三角形的性质，求出点C的坐标，再求出点C关于x轴的对称点的坐标即可．
【详解】解：过点C作轴

∵等边三角形的边长为2，轴，
∴，OC=2，
∴，
∴，
∴
∴点C关于x轴的对称点的坐标为：
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
8．如图，己知，平面直角坐标系中有四个点：．从A、B、C、D、O五个点中任取两个点，和x轴上的一点P构成的三角形与全等，满足条件的点P的个数是___________．

【答案】4
【分析】先判断出，，，根据要求画出所有满足条件的三角形即可．
【详解】解：由题意可知，，，，画图如下，


由图可知共有4个点满足要求，分别是，，，， 即满足条件的点P的个数是4,
故答案为：4
【点睛】此题考此查了三角形全等判定，熟练掌握全等三角形的判定并画出图形是解题的关键．
9．北京中轴线申遗已确定天安门等14处遗产点．北京的南北中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，北京城另一条重要的东西线是长安街．我们以天安门为原点，分别以长安街的正东方向和中轴线的正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，单位长度为．表示前门的点A的坐标为，表示朝阳门的点B的坐标为，表示广安门的点C的坐标为．这几个点中，距离天安门以内的点是___________．
【答案】A
【分析】根据直角坐标系中两点之间的距离公式计算即可．
【详解】∵原点，，，
∴


∴这几个点中，距离天安门以内的点是A
故答案为：A．
【点睛】本题考查两点之间的距离公式，熟记距离公式是解题的关键．已知，，则．
10．如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标关系，三角形AOB内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是___________．

【答案】（x，－y）
【分析】根据轴对称的性质解决问题即可．
【详解】解：观察图象可知A，C关于x轴对称，
∴M，N关于x轴对称，
∵M（x，y），
∴N（x，−y）．
故答案为：（x，－y）
【点睛】本题考查几何变换的类型，坐标与图形性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

11． 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上， ．

(1)直接写出的面积为　 　；
(2)画出关于y轴的对称的（点与点对应，点与点对应），点的坐标为 　 　．
【答案】(1)
(2)图见解析，

【分析】（1）把三角形的面积看成长方形面积减去周围三个三角形面积即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可求解；
【详解】（1），
故答案为：；
（2）∵，与关于y轴的对称
∴点，
如图所示，画出如下图：

【点睛】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特征，掌握轴对称的性质是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别．

(1)画出关于轴对称的；
(2)写出的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据轴对称的性质画出；
（2）根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】（1）如图所示，即为所求，

（2）∵，关于轴对称轴，
∴．
【点睛】本题考查了画轴对称图形，关于轴对称点坐标的关系．解题的关键在于明确关于轴对称的点，其横坐标不变、纵坐标互为相反数．
13．已知点A（7，2a+4）和B（2b+1，10），A，B两点关于x轴对称，求2a+b的值．
【答案】﹣11
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标相同，纵坐标互为相反数）得出答案．
【详解】解：∵点A（7，2a+4）和B（2b+1，10）关于x轴对称，
∴2a+4=﹣10，2b+1=7，
解得a=﹣7，b=3，
所以2a+b=﹣14+3=﹣11．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
14．（1）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值；
（2）已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据第一、三象限角平分线上点的横纵坐标相等，即可得到，求解可得的值；
（2）点到两坐标轴的距离相等，则点的横纵坐标相等或互为相反数，据此列式求解，即可得到的值，进而确定点的坐标.
【详解】解：（1）∵点在第一、三象限的角平分线上，
∴
解得；
（2）依题意得或
解得或
∴或
【点睛】本题考查了坐标的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握象限内点的坐标的特征.
15．已知三个顶点坐标分别为．

(1)画出，使 与关于轴对称；
(2)再将向下平移5个单位长度，向左平移4个长度单位，得到．画出图形；
(3)请直接写出的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数即可求解；
（2）根据点的平移规律即可求解；
（3）根据平移后的图形即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

（2）解：如图所示，将向下平移5个单位长度，向左平移4个长度单位，得到．

（3）解：根据平移后的图形可得，
．
【点睛】本题侧重考查关于x轴、y轴对称的点的坐标特征、点在坐标平面上的平移，掌握其特点与性质是解决此题的关键．




【培优检测】
1．如图，OA平分，于点C，且，已知A点y到轴的距离是3，那A点关于y轴对称的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点A到y轴的距离是3，得到点A横坐标为-3；根据角的平分线的性质定理，得到点A到x轴的距离为2，即点A的纵坐标为2，即可确定A点的坐标，然后根据y轴对称的特点确定坐标即可．
【详解】解：∵点A到y轴的距离是3，
∴点A横坐标为-3，
过点A作，垂足为E，如下图，

∵OA平分，即，
又∵，AC=2，
∴AE=AC=2，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（-3，2），
∴点A关于y轴对称的点的坐标为（3，2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的平分线的性质、点到直线的距离以及点的轴对称坐标等知识，正确确定点的坐标，熟练掌握对称点坐标的特点是解题的关键．
2．若点在第一象限，则点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用点在第一象限得出ab＞0，a≠0，即可得出点B所在象限．
【详解】解：∵点在第一象限，
∴＞0，
∴ab＞0，a≠0，
∴-a2＜0，
则点在第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键．
3．若点P是第二象限内的点，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，则点P的坐标是  （      ）
A．（－4，3） B．（4，－3） C．（－3，4） D．（3，－4）
【答案】C
【分析】根据直角坐标系内的坐标特点即可求解．
【详解】∵点P到x轴的距离是4，
∴纵坐标为±4，
∵点P到y轴的距离是3，
∴横坐标为±3，
∵P是第二象限内的点
∴,
故选C．
【点睛】此题主要考查直角坐标系的坐标特点，解题的关键是熟知直角坐标系的点的坐标特点．
4．如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（　　）

A．（﹣4，3）
B．（﹣4，2）
C．（4，2）或（﹣4，3）
D．（4，2）或（﹣4，2）或（﹣4，3）
【答案】D
【分析】根据对称性分情况讨论即可．
【详解】解：如下如所示，
当D点与C点关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点坐标为（﹣4，3）；
当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时，△ABD与△ABC全等，此时点坐标为（4，2）；
点D点与（4，2）关于y轴对称时，△ABD与△ABC全等，此时点坐标为（﹣4，2）；
综上所述，D点坐标为（﹣4，3）或（4，2）或（﹣4，2）．
故选：D．

【点睛】本题考查全等三角形的性质，直角坐标系中的轴对称问题，掌握数形结合的思路是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，一只蜗牛从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图，则点的坐标为（    ）

A．（1009，0） B．（1008，0） C．（1008，1） D．（1009，1）
【答案】A
【分析】根据前几个点坐标的变化规律得出移动4次图象完成一个循环，从而可得点A2019的坐标．
【详解】解：由图可知，蜗牛移动4次图象完成一个循环，又2019÷4=504…3，
则根据规律可知，（1，0），（3，0），（5，0），……，（2n-1，0），
由4n-1=2019得n=505，则2n-1=2×505-1=1009，
∴（1009，0），
故选：A．
【点睛】本题考查点坐标规律探索，解答关键是读懂题意，仔细观察图象，得出点的变化规律，难度一般．
6．如图，动点P从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第2022次碰到长方形边上的点的坐标为_____．

【答案】
【分析】根据图形得出图形变化规律：每碰撞6次回到始点，从而可以得出2022次碰到长方形边上的点的坐标．
【详解】根据题意，如下图示：

根据图形观察可知，每碰撞6次回到始点，
根据图形可知：依次经过的点的坐标为：、、、、、．
∵2022÷6=337，
∴第2022次碰到长方形边上的点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查点的坐标的规律问题，关键是根据题意画出符合要求的图形，找出其中的规律．
7．如图所示，一个机器人从O点出发，向正东方向走到达点，再向正北方向走到达点，再向正西方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正东方向走到达点，按照此规律走下去，相对于点O，机器人走到时，点的坐标是______，点的坐标是______．

【答案】         
【分析】根据题意求出点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为，依此类推，从点开始，每走动4次一个循环，从而得到点位于第一象限内，再由落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，即可求解．
【详解】解：根据题意可知：，

∴点的坐标为；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
点的坐标为，即；
依此类推，可得点的坐标为，即．
由此发现，从点开始，每走动4次一个循环，
∵，
∴点位于第一象限内，
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴落在第一象限内的点每个循环，横坐标增加6，纵坐标增加6，
∴点的坐标为，即．
故答案为①，②．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题．
8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，那么点B2022的坐标是 _____．

【答案】
【分析】根据图形可知：点在以O为圆心，为半径的圆上运动，再根据旋转可知：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段绕点O顺时针旋转45°，可得对应的坐标，然后发现规律8次一循环，进而得出答案．
【详解】解：∵四边形是边长为1的正方形，
∴，
∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段绕点O顺时针旋转45°，
∴，，，，，，，，，……，
发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6，
∴点B2022的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的变化，解题关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法．
9．如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为依此类推，的坐标______，经过次翻滚后点对应点的坐标为______．

【答案】         
【分析】先根据题意可以画出相应的图形，然后观察图形可得经过次翻滚后点对应点一循环，然后据此解答即可．
【详解】解：如图所示：

的坐标为，
观察图形可得经过次翻滚后点对应点一循环，
，
点，长方形的周长为：，
经过次翻滚后点对应点的坐标为，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平面直角坐标系中点的翻折变化等知识点，解题的关键是画出相应的图形，找出一般的规律．
10．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则的长为_______

【答案】
【分析】首先根据各点的坐标求出，，，，，，，，的长度，找出这些长度之间的规律，然后根据规律计算出OB2022的长度即可．
【详解】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知；
∴B2点坐标为（-2，2），
同理可知；
B3点坐标为（-4，0），
可知；
∴B4点坐标为（-4，-4），
可知，
∴B5点坐标为（0，-8），
可知，
∴B6（8，-8），
可知，
∴B7（16，0），
可知，
∴B8（16，16），
···
由规律可以发现，，
所以
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是由点坐标的规律变化发现．
11．如图是中国象棋棋盘的一部分，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处，已知“帅”的坐标为，A点的坐标为．

(1)“炮”的坐标为______，点B的坐标为______．
(2)“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为______．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据帅的位置表示为，可得“炮”和点B的坐标；
（2）据“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，可得答案．
【详解】（1）∵“帅”的坐标为，
∴“炮”的坐标为，点B的坐标为，
故答案为，．
（2）“马”先到B，再到，此时与出发点的距离最短，最短距离为，
故答案为．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用“帅”所在点的坐标为，找到对应的坐标并熟悉象棋规则是解题的关键．
12．如图，在直角坐标系中、、．

(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)三角形的面积为______；
(3)P是x轴上的动点，则的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)6.5
(3)

【分析】（1）根据A、B、C的坐标描出三个点，再顺次连接三个点即可；；
（2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积进行求解即可；
（3）如图所示，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可；
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：；
（3）解：如图所示，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则点P即为所求；
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．
13．如图，在如图所示的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上．

(1)画出关于直线的对称图形；
(2)的面积是 ；
(3)直线上存在一点，使的周长最小；
①在直线上作出该点；(保留画图痕迹)
②的周长的最小值为 (直接写出结果)
【答案】(1)见解析；
(2)，
(3)①见解析；②．

【分析】（1）根据轴对称的性质画出关于直线对称的即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可；
（3）①两点间线段最短，连接连接交直线于点，则点即为所求点；②根据勾股定理求出、的长即可得出结果
【详解】（1）解：如图所示；

（2）解：；
，
故答案为：；
（3）解：①如图所示；
②因为，
∵周长的最小值，，
∴周长的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图轴对称变换和勾股定理，熟知轴对称的性质和勾股定理是解答此题的关键．
14．（1）如图①，等腰直角中，，点A、B分别在坐标轴上，若点C的横坐标为2，直接写出点B的坐标　 　；（提示：过C作轴于点D，利用全等三角形求出即可）
（2）如图②，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为边在第一、第二象限作等腰直角，等腰直角，连接交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变，求出的值．若变化，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）的长度不发生改变，是定值为3，理由见解析
【分析】（1）过C作轴于点D，利用证明得到，由此即可得到答案；
（2）作轴于G，同理可证，进而证明，得到，推出，再证明，得到，即可证明．
【详解】解：（1）如图1，过C作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）的长度不发生改变，
理由：如图3，作轴于G，
同理可证，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴，
∴的长度不发生改变，是定值为3．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的定义等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．已知中，，，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

(1)如图1所示，若A的坐标是（，0），点B的坐标是（0，1），求点C的坐标；
(2)如图2，过点C作轴于D，求证：；
(3)如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，求证：．
【答案】(1)C（，4）
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（ 1）作轴于H，如图1，易得，，根据，，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，得到，，所以C（，4）；
（ 2）与（ 1）一样的方法可证明，得到，，易得；
（ 3）如图3，和的延长线相交于点D，先证明得到，再利用对称性质得，所以．
【详解】（1）解：作轴于H，如图1，

∵点A的坐标是（，0），点B的坐标是（0，1），
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴C（，4）；
（2）证明：如图2，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：如图3，和的延长线相交于点D，

∴，
∵轴，
∴，
又，
∴，
在和中

∴，
∴，
∵x轴平分，轴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形．