专题2.4 等边三角形的性质与判定-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练（苏科版）


《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》
专题2.4 等边三角形的性质与判定
【教学目标】
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；
2、利用等边三角形的性质解决相应数学问题

【教学重难点】
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；
2、利用等边三角形的性质解决相应数学问题。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、含30°的直角三角形的特点。

【知识亮解】
知识点 等边三角形
（1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。
（2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°。
图形
等腰三角形
等边三角形
性  质
两条边都相等
三条边都相等
两个角都相等
三个角都相等，且都是60º
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合  
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
对称轴（1条）
对称轴（3条）
（3） 判定：
①三条边都相等的三角形是做等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：
① 等腰三角形和等边三角形对比
② 等腰三角形和等边三角形的判定
图形
等腰三角形
等边三角形
判定
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

（4） 推论1：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
（5） 推论2：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。










亮题一、等边三角形的性质
1．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，点在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（     ）

A．36° B．48° C．54° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据多边形内角和公式可求出∠BAE的度数，根据等边三角形的性质可得∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，根据角的和差关系可得出∠EAF的度数．
【详解】
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴ ，
∵△ABF为等边三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查多边形内角和、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
2．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=140°，
∴∠AEF=∠1-∠A=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵，
∴∠2=∠BEF=100°．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．
3．（2022·上海·七年级专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（　　）

A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】D
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质和平角的定义以及三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
解：∵△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，
∴∠GMN＝∠MGN＝∠DEF＝60°，
∵∠1+∠GMN+∠GME＝180°，∠2+∠MGN+∠EGM＝180°，∠3+∠DEF+∠MEG＝180°，
∴∠1+∠GMN+∠GME+∠2+∠MGN+∠EGM+∠3+∠DEF+∠MEG＝3×180°，
∵∠GME+∠EGM+∠MEG＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣3×60°＝180°；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、平角的定义；熟练掌握等边三角形的性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．
4．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．

【答案】         
【解析】
【分析】
如图，过作于，第一个空：根据为等边三角形，可得，，然后再根据，，利用等腰三角形的性质可求出，然后由即可得到答案；第二个空：根据和可确定的边边上的高等于，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得，则，代入数据计算即可得到答案．
【详解】
如图，过作于，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴
∵，
∴，
∴的边边上的高等于，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案为：；．


【点睛】
本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识．发现的边上的高等于的一半是解题的关键．
5．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正确的说法有 _____．（填序号）

【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等．然后得到∠1=∠2，结合角的关系，得到∠APE＝∠C；由△ABE和△CAD全等对应边相等得到AD＝BE；再结合边的关系，得到AC=AB；即可得到答案．
【详解】
证明：如图所示：


∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C=60°，
故①正确；
无法判断BQ=AQ，
故②错误，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，
又
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE
故③正确；
∵AC=BC．AE=DC，
∴BD=CE，
∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，
故④正确，
∴正确的有①③④
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，牢固掌握并灵活运用以上知识点是做出本题的关键．
6．（2022·上海·七年级专题练习）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P．


(1)当△ABC为等边三角形（如图（1）时，求证：EP＝DP；
(2)当△ABC不是等边三角形，但∠ACB＝60°（如图（2））时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等边三角形的性质可以得到相等的线段和相等的角，进而可以证明EP＝DP；
（2）上题的结论仍然成立，并且具有类似的证明方法．
(1)
∵△ABC为等边三角形，AD平分∠CAB，
∴PD⊥BC，
同理，PE⊥AC，
作PH⊥AB于H，


∵AD平分∠CAB，PE⊥AC，
∴PE＝PH，
同理PD＝PH，
∴PD＝PE；
(2)
EP＝DP依然成立．
证明：不妨设∠CAB＜∠CBA，
作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，


则点H在线段CE上，点M在线段BD上，
∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P，
∴PH＝PQ＝PM，
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∠ACB＝60°，
∴∠CAB+∠ABC＝120°，
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝60°，
∵∠CEP＝∠CAP+∠PAB+∠PBA＝∠CAP+60°，
∠ADB＝∠CAP+∠ACD＝∠CAP+60°，
∴∠CEP＝∠ADB，
在△PHE和△PMD中，
∠HEP＝∠MDP，∠EHP＝∠DMP＝90°，PH＝PM，
∴△PHE≌△PMD，
∴PE＝PD．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确的利用等边三角形的性质．



亮题二、等边三角形的判定
1．（2022·广东中山·八年级期末）如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（       ）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】
【分析】
分三种情况讨论：画出符合题意的图形，从而可得答案.
【详解】
解：如图，当时，为等腰三角形，
当时，为等腰三角形，
当时，而
所以是等边三角形，
当时，为等腰三角形，


符合条件的点有6个，
故选C
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定，清晰的分类讨论是解本题的关键.
2．（2022·山东滨州·八年级期末）已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（       ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据三角形的三边关系得到，从而得到答案．
【详解】
解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0
∴

∴；
∴
∴为等边三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．
3．（2021·全国·八年级）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数是       

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；根据直角三角形斜边大于直角边及等边三角形的性质可得到BP＜EQ，判断出④错误；综上即可得答案．
【详解】
∵和是的轴对称图形，
∴，，AC=AD，
∴，故①正确．
∴，
由翻折的性质得，，
∵，
∴，故②正确．
∵，
∴，，
∴边上的高与边上的高相等，即点到两边的距离相等，
∴平分，故③正确．
∵∠EAQ=90°，
∴AE＜EQ
∵，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BP＜AB，
∴BP＜EQ，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．（2021·江苏·徐州市树人初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．

【答案】2cm
【解析】
【分析】
作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】
连接AM，AN，

∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=6cm，
∴MN=2cm．
故答案为：2cm．
【点睛】
本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
5．（2021·山东临沂·八年级期末）如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA，OB的对称点，连接CD交OA，OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为9，则线段OP＝_____

【答案】9
【解析】
【分析】
首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．
【详解】
解：连接OD，OC，

∵∠AOB=30°，点D、C分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
，

即，
，

∴，
DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，
∴△DOC是等边三角形，
，
∵△PEF的周长的为9，
，

∴OP=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，得出△DOC是等边三角形是解题关键．
6．（2022·安徽·合肥寿春中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．

(1)求证：．
(2)若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)△CEF是等边三角形，证明过程见详解
【解析】
【分析】
（1）先得到∠CEB+∠CBE=90°和∠DFB+∠FBD=90°，根据BE平分∠ABC，有∠CBE=∠FBD，即可得到∠CEF=∠DFB，则结论即可证明；
（2）根据点E在AB的垂直平分线上，可得∠A=∠EBA，结合∠CBE=∠FBD，可得∠A=∠EBA=∠EBC=30°，即可得∠CEF=60°，再结合（1）的结论可得∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°，结论的证明．
(1)
∵∠ACB=90°，
∴∠CEB+∠CBE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠DFB+∠FBD=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠FBD，
∴∠CEF=∠DFB，
∵∠DFB=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE；
(2)
△CEF是等边三角形，
理由：
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA，
∵∠EBA=∠EBC，∠A+∠ABC=∠ACB=90°，
∴∠A=∠EBA=∠EBC=30°，
∴∠CEF=∠A+∠ABE=60°，
∵在（1）已证得∠CEF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE=60°，
∴∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，熟练运用直角三角形中两锐角互余是解答本题的关键．



亮题三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【例1】★如图，在中，，点、分别为、的中点，则

A．4 B．5 C．8 D．2.5
【解析】，点为的中点，，又为的中点，，故选：．

【例2】★★如图，中，，垂直平分，，，则的度数为

A． B． C． D．
【解析】垂直平分，，
，是等腰直角三角形，，
又，，
，
，，，，
，．故选：．

【例3】★★已知：如图，四边形中，，与相交于点，、分别是、的中点．则 ．

【解析】连接、，
，是的中点，，同理，，
，又是的中点，，，故答案为：．


【例4】★★如图，在四边形中，，、分别是、的中点，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【解析】（1）证明：，是的中点，
，，，又的中点，；
（2），是的中点，，，
，，
．


亮题四、含30°角的直角三角形
1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，∠BAC=120°，点E是斜梁AB的中点，立柱AD，EF，GH垂直于横梁BC，AB=8m，则EF等于（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质求得∠B=30°，再利用直角三角形的性质求出EF即可．
【详解】
解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=(180°-120°)=30°，
∵AB=8m，点E是斜梁AB的中点，
∴BE=AE=AB=4(m)，
在Rt△BEF中，∠B=30°，BE=4m，
∴EF=BE=2(m)，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2．（2022·山东德州·二模）如图，等边三角形△ABC中，BD＝CE，AE、CD相交于点P，CF⊥AE于F，PF＝3，PD＝1，则AE的长是(     )

A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
证△ACD≌△BAE，推出∠ACD=∠BAE，求出∠CPF=∠APD=60°，得出∠PCF=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
∴∠BAC=∠B．
∵BD=CE，
∴AD=BE，
在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（SAS）．
∴∠ACD=∠BAE，CD=AE，
∴∠APD=∠ACP+∠PAC=∠BAC=60°．
∴∠CPF=∠APD=60°．
∵，
∴∠CFP=90°，
∵∠BPF=60°，
∴∠PCF=30°．
∴CP=2PF=6，
∵PD=1，
∴CD=CP+PD=7，
∴AE=CD=7．
故选A．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠PBF=30°．
3．（2022·河南信阳·二模）如图，点E在等边的边BC上，，射线于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当的值最小时，，则AC为（       ）


A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
作点E关于直线CD的对称点E′，连结FE′，当点E′、P、F三点共线，且E′F⊥AB时，EP+PF的值最小，由∠B＝60°，∠BFE′＝90°，推出∠E′＝30°，从而推出BE′＝14，从而求出CE＝CE′＝4，进一步即可求出AC的长度.
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点E′，连结FE′，
∴PE=PE′，
PE+PF=PE′+PF≥FE′，
当点E′、P、F三点共线，且E′F⊥AB时，EP+PF的值最小等于E′F，


∵∠B＝60°，∠BFE′＝90°，
∴∠BE′F＝30°，
∵BF＝7，
∴BE′＝2BF＝14，
∵BE=6，
∴EE′=BE′-BE=14-6=8，
∴EC=CE′=4，
∴AC＝BC＝BE′-CE′=14-4=10，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，轴对称性质，30°直角三角形性质，解题的关键是作辅助线找出点P，推出此时，EP+PF的值最小是解题关键
4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）如图，三角形花园的边界，互相垂直，若测得，的长度为，则边界的中点与点B的距离是_________．

【答案】20
【解析】
【分析】
根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出AC=-BC=40，在根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，连接BD，

∵∠A=30°，∠ABC=90°
∴AC=2BC=40m
∵D是AC的中点
∴BD是直角三角形斜边上的中线
∴m
故答案为20．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，灵活运用30°的直角三角形性质和直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
5．（2020·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A 、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________．

【答案】4
【解析】
【分析】
直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出AD=BD，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出AD的长．
【详解】
解：∵分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，
∴MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=30°，
∵∠C=90°，AC=2，
∴AD=2AC=4．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
6．（2022·湖南长沙·中考真题）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．

(1)求该斜坡的高度BD；
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【答案】(1)10m
(2)20m
【解析】
【分析】
（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
（2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解．
(1)
，

(2)
C，A，D三点共线，


【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．


【亮点训练】
1．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接C，则C的周长为（       ）

A．10 B．12 C．14 D．18
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平移的性质得，，，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的周长．
【详解】
解:平移两个单位得到的，
，，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
的周长为．
故选B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判断与性质,平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
2．（2022·山西太原·八年级期中）如图，是等边三角形，点E，F分别在AB，AC边上，且．若，则EF的长为（       ）

A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据等边三角形的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，，即可得出，证明为等边三角形，根据等边三角形的性质，求出结果即可．
【详解】
解：∵，，
，
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∵，
，，
∴，
为等边三角形，
，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，根据等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，是解题的关键．
3．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（        ）

A．7cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】C
【解析】
【分析】
延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，先证明△BEF为等边三角形得到BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，再根据等腰三角形的性质得到AH⊥BC，BH=CH，接着计算出DF=6cm，则HF=DF=3，然后计算出BH，从而得到BC的长．
【详解】
解：延长ED交BC于F，延长AD交BC于H，如图，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BF=BE=EF=10cm，∠BFE=60°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∵DE=4cm，
∴DF=EF-DE=6cm，
在Rt△DFH中，HF=DF=3，
∴BH=BF-HF=10-3=7（cm），
∴BC=2BH=14cm．
故选：C．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．能求出BM、MN的长是解决问题的关键．
4．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，，点是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点的动点，则周长的最小值是(     )

A．3 B． C． D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
作点关于、的对称点、，连接，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，从而可得周长，再根据两点之间线段最短可得当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，最后根据等边三角形的判定与性质可得，由此即可得．
【详解】
解：如图，作点关于、的对称点、，连接，

则垂直平分，垂直平分，
，
周长为，
由两点之间线段最短可知，当点四点共线时，的值最小，最小值为的长，
，
（等腰三角形的三线合一），
同理可得：，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
的最小值是3，
周长的最小值是3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，正确找出使得的周长最小时，点的位置是解题关键．
5．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，△ABC中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（       ）s后，可得到等边三角形△AMN．

A．4 B．6 C．8 D．不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
设点，运动秒时，得到等边三角形，表示出，的长，根据 ，只要，三角形就是等边三角形．
【详解】
解：设点，运动秒时，得到等边三角形，如图所示，则，，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
即，
解得，
∴点，运动秒时，得到等边三角形．
故选：

【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，根据题意分析出时得到等边三角形是解题的关键．
6．（2022·广东广州·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，，BE垂直平分CD，交CD于点E，若，则CE的长为______．

【答案】1
【解析】
【分析】
由题意易得，BD=BC，则有，然后可得△BDC是等边三角形，进而可得BD=DC=2，则问题可求解．
【详解】
解：∵AD∥BC，，
∴，
∵，，
∴，
∵BE垂直平分CD，
∴BD=BC，
∴△BDC是等边三角形，
∴BD=DC=2，
∴；
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查含30度直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
7．（2022·贵州黔南·八年级期末）如图，P是∠AOB内的一点，C，D分别是点P关于射线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若，△PEF的周长为8cm，则线段OP的长为______cm．

【答案】8
【解析】
【分析】
首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．
【详解】
解：连接OD，OC，


∵∠AOB=30°；点C、D分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴∠DOC=60°，DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，
∴△DOC是等边三角形，
∵△PEF的周长的为8，
∴OP=8．
故选：8．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
8．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，，垂足为D，垂足为E，CD，BE交于点F，，则______．

【答案】6
【解析】
【分析】
连接BC，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果．
【详解】
解：连接BC，

∵点D是AB中点且于点D，
∴CD是线段AB的垂直平分线，
∴，
∵点E是AC中点且于点E，
∴BE是线段AC的垂直平分线，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
在中，
，
在中，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】
题目主要考查线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定，含角的直角三角形的特殊性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个知识点是解题关键．
9．（2021·吉林·长春外国语学校八年级期中）如图，，点C是BO延长线时的一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当__________时，△POQ是等边三角形．

【答案】6
【解析】
【分析】
由△POQ是等边三角形，，可得运动到了上，且 再建立方程求解即可.
【详解】
解： △POQ是等边三角形，
在上，且
由题意得：

解得：
即当s时，△POQ是等边三角形.
故答案为：6
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定与性质，掌握“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”是解题的关键.
10．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为 ___．

【答案】8
【解析】
【分析】
连接PE，根据△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，证明△ACP≌△ECP，可得AP=EP，所以AP+BP=AP+EP，当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，进而可得AP+BP的最小值．
【详解】
解：如图，连接PE，

∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴AC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACD=∠DCE，
在△ACP和△ECP中，
，
∴△ACP≌△ECP（SAS），
∴AP=EP，
∴AP+BP=AP+EP，
当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，
所以AP+BP的最小值为：2×4=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
11．（2022·山东淄博·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．

(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=60°时，求∠EDF的度数；
【答案】(1)见解析
(2)∠EDF=60°．
【解析】
【分析】
（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，推出△ABC是等边三角形，即可得到结论．
(1)
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
(2)
解：∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠EDF=60°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
12．（2022·安徽合肥·二模）知：A、B为直线l上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）；


(1)任作一个，使；
(2)作，使，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）作线段AB的垂直平分线，即可求解；
（2）先作等边三角形ABP，再作出∠APB和∠BAP的角平分线交于点Q，即可求解．
(1)
解：如图，即为所求；
；
(2)
解：如图，即为所求；


理由：根据作图得：PC平分∠APB，AP=AB，PB=AB，AQ平分∠BAP，
∴AP=AB=PB，
∴△ABP为等边三角形，∠BAQ=∠ABQ，
∴∠BAP=60°，PC垂直平分AB，
∴AQ=BQ，
∵AQ平分∠BAP，
∴∠BAQ=∠ABQ=30°，
∴∠AQB=120°．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，作三角形，熟练掌握尺规作图的方法以及线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
13．（2022·福建三明·八年级期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，，连接．

(1)求证：是等边三角形：
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质得到D是AB的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=BD，直角三角形两锐角互余得到∠B=60°，即可证明△BCD是等边三角形；
（2）只需要证明∠DCE=∠CDE=30°，得到CE=DE即可得到答案．
(1)
证：∵DE垂直平分AB，
∴D是AB的中点，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，，
∴△BCD是等边三角形；
(2)
解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴∠DCA=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴∠ADE=∠BDE=90°，
∴∠CDE=30°=∠DCE，
∴CE=DE=1．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级专题练习）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．

(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；
①求证：∠BDP=∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；
(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
【答案】(1)①见解析；②BC=BD+BP，证明见解析
(2)BC=BD−BP
【解析】
【分析】
（1）①根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出∠DPE=∠CPE=60°，进而可得结论；
②在BC上取一点Q使得BQ=BP，证明△PBQ是等边三角形，再证明△PBD≌△PQC，即可得到BC=BD+BP；
（2）在BD上取一点E使得BE=BP，证明△PBE是等边三角形，再证明△CBP≌△DEP，即可得到BC=BD−BP．
(1)
①补全图形如图所示，

证明：设PD交BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵将射线PC绕点P顺时针旋转60°，
∴∠DPC=60°，
∵l//AC，
∴∠DBE=∠ACB=60°，
∴∠DBE=∠CPE=60°，
∵∠BED=∠PEC，
∴∠BDP=∠PCB；
解：②BC=BD+BP，理由如下：
在BC上取一点Q使得BQ=BP，连接PQ，

∵∠ABC=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB=PQ，∠BPQ=60°，
∴∠BPD=∠CPQ，
又∵∠BDP=∠PCB，
∴△PBD≌△PQC，
∴BD=QC，
∵BC=BQ+QC，
∴BC=BD+BP；
(2)
解：BC=BD−BP，理由如下：
在BD上取一点E使得BE=BP，连接PE，

∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC，
∴∠DBC=∠ACB=60°，
∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°，
∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°，
∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD，
∴△CBP≌△DEP，
∴BC=DE，
∵BD=BE+ED，
∴BC=BD-BP．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
15．（2022·福建漳州·八年级期末）【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．
【典例分析】已知实数x，y满足x＋y＝4，试求代数式x2＋y2的最小值．
【分析】均值换元法：由x＋y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2＋t，再代入代数式换元求解．
【解法】∵x＋y＝4，∴设x＝2＋t，y＝2﹣t，
∴x2＋y2＝（2＋t）2＋（2﹣t）2
＝2t2＋8≥8，
∴x2＋y2的最小值是8．
【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：
(1)若实数a，b满足a＋b＝2，求代数式a2＋b2＋2的最小值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b＋c＝8，bc＝a2﹣8a＋32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．
【答案】(1)4

(2)为等边三角形，周长为12．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设a＝1+t，b＝1﹣t，代入得到2t2+4，利用平方具有非负性可得结果；
（2）根据题意可设b＝4+t，c＝4﹣t，利用非负数的性质求解即可．
(1)
解：∵a+b＝2，
∴设a＝1+t，b＝1﹣t，
∴a2+b2+2＝（1+t）2+（1﹣t）2+2
＝2t2+4≥4，
∴a2+b2+2的最小值为4；
(2)
解：△ABC是等边三角形，周长为12，理由如下：
∵b+c＝8，
∴设b＝4+t，c＝4﹣t，
∵bc＝a2﹣8a+32，
∴16﹣t2＝a2﹣8a+32，
∴t2+（a﹣4）2＝0，
∵t2≥0，（a﹣4）2≥0，
∴t＝0，a＝4，
∴b＝c＝a＝4，
∴a+b+c=12
∴△ABC是等边三角形，周长为12．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，完全平方公式，非负数的性质，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．



【培优检测】
1．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（       ）

A．PD=DQ B．2DE=AC C．2AE=CQ D．PQ⊥AB
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可．
【详解】
解：过P作PFCQ交AC于F，

∴∠FPD=∠Q，∠AFP=∠ACB
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AFP=60°，
∴AP=PF，
∵PA=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD与△DCQ中，

∴△PFD≌△QCD，
∴PD=DQ，DF=CD，
∴A选项正确，
∵AP=PF，PE⊥AC
∴AE=EF，
∴2DE=AC，
∴B选项正确，不符合题意；
∵PE⊥AC，∠A=60°，
∴2AE=AP=CQ，
∴C选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能推出PQ⊥AB
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
2．（2022·四川德阳·八年级期末）如图，中，，，，，，平分，与相交于点，则的长为（       ）

A．4 B．13 C．6.5 D．7
【答案】D
【解析】
【分析】
由，延长交于，作出等边三角形，由，平分，结合等腰三角形“三线合一”可求出AG的长，延长交于，设AD=AF=DF=a，根据含30°角的直角三角形的性质用a表示出GF的长，根据线段的和差列方程求出a值即可得答案
【详解】
解：延长交于，延长交于，

，
，
是等边三角形，
，，
，平分，
，即，，
设，
在中，，，
∴∠GEF=30°，
∴，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是作辅助线，补出等边三角形和掌握等腰三角形的“三线合一”的性质．
3．（2021·河南·开封市第二十七中学八年级期末）如图，已知等边和等边，其中点、、在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，和交于点，则下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
证明，设，则，根据三角形的内角和定理即可求得，即可判断（2）；进而证明，即可判断（4），再判断是等边三角形即可判断（1），最后反证法证明
【详解】
解：和是等边三角形





设，则



故（2）正确；


在和中


故（4）正确


是等边三角形



故（1）正确；
若
则



但是
则，与已知矛盾，

故（3）不正确
故选C
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
4．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（     ）


A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过P作，交AC于M，则也是等边三角形，在等边三角形中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知，根据全等三角形的判定可得，则，由线段间的数量关系可得DE的长正好是AC的一半，由此得解．
【详解】
解：过P作，交AC于M，

∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．
5．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，等边中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，，，在BD上有一动点E，则的最小值为（       ）

A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，最小值，据此求解即可．
【详解】
解：如图，

是等边三角形，
，
∵D为AC中点，
∴，，，
，
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
6．（2022·江苏盐城·一模）如图，中，垂直平分交于，，，则 ______ ．

【答案】8
【解析】
【分析】
由垂直平分交于，，，可得，，可求得的长，又由中，，可证得是等边三角形，进而求得答案．
【详解】
解：垂直平分交于，
，，
，
，
，
中，，，
，，
是等边三角形，
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在中，，．点D为斜边AB上一动点，将沿直线CD折叠，当点B的对应点恰好落在边AC的垂直平分线上时，线段AD的长为______．

【答案】2或3
【解析】
【分析】
作AC垂直平分线交AC于M，AB于N，连接CN，先证△BCN是等边三角形，AN=BN=CN=BC=2，分两种情况：①当点B落在点N时，即点N与点B′重合；②当点B落在NM延长线上时；分别求取可．
【详解】
解：作AC垂直平分线交AC于M，AB于N，连接CN，
∵MN垂直平分AC，
∴AN=CN，
∴∠ANC=∠A=30°，
∴∠BCN=60°，
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△BCN是等边三角形，
∴AN=BN=CN=BC=2，
①当点B落在点N时，即点N与点B′重合，如图，

∵点B与点B′关于CD对称，
∴点D应是BN的中点，
∵BN=BC=2，
∴BD=1，
在中，∵∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∴AD=3；
②当点B落在NM延长线上时，如图，

∵B′在AC垂直平分线上，
∴同理，点D落在点N处，
∴AD=AN=2；
综上，线段AD的长为2或3．
故答案为：2或3．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，含30度的直角三角形的性质，点B′的位置要分类讨论是解题的关键．
8．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在中，，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点M，交于点N，则的长为_______．

【答案】2
【解析】
【分析】
由作图可知MN为线段BC的垂直平分线，即得出，，从而由等边对等角得出，证得△ACM是等边三角形，求出CM的长．
【详解】
根据作图可知MN为线段BC的垂直平分线，
∴，，
∴．
∵，
∴
∴
∴△ACM是等边三角形，
∴CM=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
9．（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠ACO=15°；
②∠APO+∠DCO=30°；
③△OPC是等边三角形；
④AC=AO+AP；
其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．

【答案】②③④
【解析】
【分析】
①②利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵点O是AD上任意一点，
∴OC不一定是∠ACD的角平分线，
∴∠ACO不一定是15°，故①错误，
如图1，连接OB，


∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故②正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
如图2，在AC上截取AE=PA，


∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP，故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
10．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为________

【答案】92°##92度
【解析】
【分析】
根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】
解：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠BAD=28°，
∴∠OAD=60°-28°=32°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°．
故答案为：92°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAB≌△EAC．
11．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，，，，点E是线段AB上一点，，．

(1)证明：是等边三角形．
(2)若，，求AB和AD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的概念及三角形内角和定理求得∠DEC和∠DCE的度数，即可证明；
（2）通过证明≌，然后利用全等三角形的性质即可求解．
(1)
证明：∵，，
∴
又∵，，
∴，
又
∴
∵在中，，
∴为等边三角形；
(2)
∵为等边三角形
∴，
在和中，

∴≌，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，题目比较基础，属于常考题型，掌握全等三角形和等边三角形的判定和性质是解题关键．
12．（2022·河南南阳·八年级期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．

(1)若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 　 　；
(2)去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(3)当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
【答案】(1)等边三角形；
(2)△ABC是等腰三角形，证明见解析
(3)当∠M=∠N或2∠M+∠N=90°或∠M+2∠N=90°时，△ABC是等腰三角形．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠B=∠C=30°，根据线段垂直平分线的性质得到AM=BM，AN=NC，根据等边三角形的性质定理证明结论；
（2）根据三角形的外角性质、等腰三角形的判定定理解答；
（4）分三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
(1)
解：△ABC是等边三角形，
理由：∵AM=AN，∠MAN=120°，
∴∠M=∠N=30°，
∵BE是线段AM的垂直平分线，
∴BM=BA，
∴∠MAB=∠M=30°，
∴∠CBA=∠M+∠MAB=60°，
同理，CA=NC，
∴∠NAC=∠N=30°，
∴∠BCA=∠N+∠NAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
(2)
解：△ABC是等腰三角形，
理由：∵AM=AN，
∴∠M=∠N，
∵∠MAB=∠M，∠ABC=∠M+∠MAB，∠NAC=∠N，∠ACB=∠N+∠NAC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
(3)
解：当∠M=∠N时，AB=AC；
当2∠M+∠N=90°时，即∠BAN=90°，
∴CF∥BA，
∴∠NCF=∠NBA，∠BAC=∠ACF，
∵AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．
∴∠NCF=∠ACF，
∴∠NBA=∠BAC，
∴CA=BC；
同理，当∠M+2∠N=90°时，BA=BC；
综上所述，当∠M=∠N或2∠M+∠N=90°或∠M+2∠N=90°时，△ABC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．（2022·山东临沂·模拟预测）问题探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
(1)证明：AD＝BE；
(2)求∠AEB的度数．
问题变式：
(3)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求出∠AEB的度数以及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析；
(2)∠AEB=60°；
(3)∠AEB=90°；AE=2CM+BE．理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEB=∠CDA=120°，计算即可；
（3）证明△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质解答．
(1)
证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB，
∴AD=BE；
(2)
解：∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
又∠CED=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
(3)
解：∠AEB=90°；AE＝2CM+BE．理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°，
∴AC=BC，CD=CE，
∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°；
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM=DM=ME，
∴DE=2CM，
∴AE=DE+AD=2CM+BE，
∴AE=2CM+BE．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．（2022·贵州遵义·八年级期末）已知△ABC是等边三角形，D是射线CA上一动点（不与点A，C重合），E是BA延长线上一点，且DE＝BD．

(1)如图1，若D是线段AC的中点，则CD______AE．（填“>”“<”或“＝”）
(2)如图2，若D是线段AC上一动点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由
(3)在点D运动的过程中，线段AD，AB，AE之间有怎样的数量关系？请在备用图中画出图形，并说明理由．
【答案】(1)=
(2)成立，理由见解析
(3)AB＝AD＋AE或AE＝AB＋AD，图见解析，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得∠DBE=∠ABC=30°，AD=CD，从而可得到∠E=∠DBE==30°，通过外角的性质得到∠E=∠EA=30°，最后可得CD=AE；
（2）过点D作，交BC于点F，则∠FDB＝∠DBA，从而得出CD＝DF，∠2＝180°－∠CFD＝120°，∠1＝180°－∠CAB＝120°，得出∠1＝∠2．可以推出，最后得出CD＝AE；
（3）分当点D在线段AC上时及当点D在线段CA的延长线上时两种情况进行讨论．
(1)
∵△ABC是等边三角形，D是线段AC的中点，
∴∠DBE=∠ABC=30°，AD=CD，
∵DE=BD，
∴∠E=∠DBE==30°，
∵∠E+∠EDA=∠CAB=60°，
∴∠E=∠EDA=30°，
∴AE=AD，
∴CD=AE，
故答案为：=；
(2)
成立．
理由：如图1，过点D作，交BC于点F，则∠FDB＝∠DBA．

∵△ABC是等边三角形，
∴易得△DFC是等边三角形，且∠CAB＝60°，
∴CD＝DF，∠2＝180°－∠CFD＝120°，∠1＝180°－∠CAB＝120°，
∴∠1＝∠2．
又∵DE＝BD，
∴∠E＝∠DBA，
∴∠E＝∠FDB，
∴，
∴AE＝DF，
∴CD＝AE．
(3)
AB＝AD＋AE或AE＝AB＋AD．
①AB＝AD＋AE．
如图1，当点D在线段AC上时，

由（2）知AB＝AC＝AD＋CD＝AD＋AE，
即AB＝AD＋AE．
②AE＝AB＋AD．
如图2，当点D在线段CA的延长线上时，过点D作，交CB的延长线与点M，

∴易得△CDM是等边三角形，∠ABD＝∠BDM，
∴∠M＝60°，DM＝CD．
∵BD＝DE，
∴∠ABD＝∠E，
∴∠E＝∠BDM．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠5＝∠6＝60°，AC＝AB，
∴∠5＝∠M，
∴，
∴AE＝DM．
又∵DM＝CD＝AC＋AD＝AB＋AD，
∴AE＝AB＋AD．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．
15．（2022·山东潍坊·八年级期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．

(1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB．
(2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF．
(3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)BD＋BF＝BE，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要证明△CAD≌△BAE得到BE＝CD，即可证明；
（2）过点D作DG//AC，交AB于点G，然后证明△BDE≌△GDF得到BE＝GF，即可推出BE＋BD＝GF＋BG＝BF；
（3）过点D作DG∥AC，交AB于点G，然后证明△BDE≌△GDF，得到BE＝GF，再由GF＝BF＋BG＝BF＋BD，即可得到BD＋BF＝BE．
(1)
证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE－∠BAD＝60°－∠BAD，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝60°－∠BAD，

∴∠BAE＝∠CAD，
在△CAD与△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD，
∴BE＋BD＝CD＋BD＝BC，
∵AB＝BC，
∴BE＋BD＝AB；
(2)
证明：过点D作DG//AC，交AB于点G，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°，
∵DG∥AC，
∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△BDG为等边三角形，
∴BD＝DG＝BG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵∠BDE＝∠BDG－∠EDG＝60°－∠EDG，∠FDG＝∠EDF－∠EDG＝60°－∠EDG，
∴∠BDE＝∠FDG，
在△BDE与△GDF中
，
∴△BDE≌△GDF（SAS），
∴BE＝GF，
∴BE＋BD＝GF＋BG＝BF；
(3)
BD＋BF＝BE，理由如下：
过点D作DG∥AC，交AB于点G，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°，
∵DG∥AC，
∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△BDG为等边三角形，
∴BD＝DG＝BG，
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，∠FDE＝60°，
∵∠GDF＝∠GDB＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∠BDE＝∠EDF＋∠BDF＝60°＋∠BDF，
∴∠GDF＝∠BDE，
在△BDE与△GDF中
，
∴△BDE≌△GDF（SAS），
∴BE＝GF，
∵GF＝BF＋BG＝BF＋BD，
∴BD＋BF＝BE．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．