江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高二下学期4月学业水平质量调研数学试卷

这是一份江苏省南通市通州区金沙中学2022-2023学年高二下学期4月学业水平质量调研数学试卷，共13页。试卷主要包含了04，0分等内容，欢迎下载使用。
南通市通州区金沙中学               高二年级第二学期4月学业水平质量调研                         数学试卷                2023.04    （时间：120分钟  分值：150分）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且M为OA中点，N为BC中点，则等于(     )A.  B.
C.  D. 2.  从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动。要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是(     )A. 20 B. 55 C. 30 D. 253.  设x、，向量,且，，则(     )A.  B.  C. 4 D. 34.  一不透明的口袋内装有若干个形状、质地完全相同的红色和黄色小球．若事件“第一次摸出红球且第二次摸出黄球”的概率为，事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球”的概率为，则事件“第一次摸出红球”的概率为(     )A.  B.  C.  D. 5.  的展开式中含项的系数为4，则实数(     )A.  B.  C. 2 D. 46.  若点A，B分别是函数与图象上的动点其中e是自然对数的底数，则AB的最小值为(     )A.  B.  C.  D. 17 7.  若是函数的极大值点，则a的取值范围是(     )A.  B.  C.  D. 8.  中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为,若，，则b的值可以是(     )A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知空间向量，，则下列结论正确的是(     )A.  B.
C.  D. 与夹角的余弦值为10.  甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是(     )A. ，两两互斥                B.
C. 事件B与事件相互独立         D. 11.  我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(     )A. 由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：
B. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C. 由“第n行所有数之和为”猜想：
D. 由“，，”猜想12.  已知函数，，函数和的导数分别为，，则(     )A. 的最大值为1 B.
C.  D. 当时，恒成立 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  曲线在点处的切线方程为__________.14.  已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________.15.  2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为__________用数字作答16.  数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
有两个个条件：①在时取得极大值②函数在处的切线方程为.这两个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整只要填写序号，并解答本题.
题目：已知函数存在极值，并且__________.
求的解析式;
当时，求函数的最值.  18.  本小题分某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，选取的3人中恰好有一个女生的概率是该小组中男女学生各多少人？个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变即女生前后顺序保持不变重新站队，问有多少种重新站队的方法？要求用数字作答名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？要求用数字作答 19.  本小题分如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．求证：；求点B到平面EAC的距离；已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为，求出的值． 20.  本小题分如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足，，如图2，将沿MN折起到的位置.求证：平面平面BCNM；若，求平面和平面的夹角的正弦值. 21.  本小题分请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：利用上述的想法，结合等式正整数求的值．求证： 22.  本小题分已知函数，，的导函数为
若，，求实数a的取值范围；
若函数，讨论的零点个数.
 答案和解析1.【答案】A 解：由题意得：，2.【答案】D 解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，则有种不同的选取方案，3.【答案】D 解：因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，4.【答案】D 解：设“第一次摸出红球”为事件A，"第二次摸出黄球”为事件B，
由题意得，，故
故事件“第一次摸出红球”的概率为 5.【答案】B 解：的展开式中产生含项有两种情况：
情况一：；情况二：，所以含项的系数：
，解得：6.【答案】A 解：设点为曲线上的任一点，，
则曲线在点A处的切线斜率为，令，解得：，
此时点A坐标为，点A到直线的距离为，
故AB的最小值为
  7.【答案】A 解：，则，
①若，即时，则，
则在R上单调递增，没有极值点，不符合条件，舍去；
②若，即时，
由，得或；由，得，
故在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
显然在取得极小值，不满足条件，舍去；
③若，即时，
由，得或；由，得，
故在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
显然在取得极大值，满足条件；故a的取值范围是： 8.【答案】B 解：因为，四个选项中，只有时，除以10余数是9.【答案】BC 解：因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确：
因为，故C正确；
又，则 ，故D不正确．  10.【答案】AD 解：因为每次取一球，不可能同时从甲箱中取出白球和黑球，
所以，是两两互斥的事件，故A项正确;因为，，
所以，故B项错误;
同理，，
所以，故D项正确;
事件是否发生会影响事件B发生的概率，
故事件B与事件不相互独立，故C项错误.11.【答案】ABC 解：由杨辉三角的性质和二项式系数之间的关系可知，故A正确；
由杨辉三角的性质和二项式系数之间的关系可知，故B正确；
由二项式定理可知，故C正确，
因为，所以D错误.12.【答案】ACD 解：由得，
所以当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，故A正确；
由复合函数的求导法则可得，
所以，故B错误，C正确；
由得，
当时，，即有，
所以，即当时，单调递增，
所以，故D正确.13.【答案】 解：由，则当时
且当时，，切线方程为14.【答案】4 解：，，， ，，三向量共面，
存在唯一一组实数p，q，使得，
，， 解得，，15.【答案】144 解：先排4个“冰墩墩”，中间有3个空，再排“雪容融”，共有16.【答案】 解：因，
因此是展开式中项的系数，
而展开式中项的系数为，
所以17.【答案】解：若选条件①，
则，即，
解得，符合条件，，
若选条件②，，则即，
解得符合条件，，
由可知，则，
当 时，解得或 ，
当时，列表如下，x1230-0+ 单调递减单调递增， 18.【答案】解：设男生有x人，则，即，解得故男生有6人，女生有3人.按坐座位的方法，第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种方法；第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，所以只有1种选择方法，故一共有种重新站队方法.第一步：将6名男生分成3组，共有种方法；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种方法；第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种，故一共有种站队方法. 19.【答案】解：，M是AB的中点，，平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，由知平面ABCD，平面ABCD，，菱形ABCD中，，所以是正三角形， 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量，则，令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则，点B到平面EAC的距离为因为y轴垂直平面ABE，所以设平面ABE的法向量为，，，设，，则，直线AP与平面ABE所成的角为，，由，解得， 20.【答案】解：在中，由余弦定理得，
所以，即，所以，，
又因为 ，平面，平面，
所以平面，又因为平面BCNM，所以平面平面BCNM；
由条件： ，由 ， 平面BCNM，
 平面BCNM，
以M为原点，MB所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，
所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
即，， ，，
设平面的一个法向量为，则 ，即，
令，有，
设平面的一个法向量为，则由 ，可化简得 ，
令，有，
设平面和平面夹角为，则，所以
综上，平面和平面夹角的正弦值为 . 21.【答案】解：在等式正整数，两边对x求导得：①，令，，可得证明：①式两边同时乘以x得②，②式两边对x求导得：，令，得22.【答案】解：，，
因为，所以
令，则，
令，
当时，所以，
当时，所以当时，函数单调递减，
，所以，即
，定义域为
，
①当时，令，解得x1+0-递增极大值递减所以当时，取得最大值，
所以当时，有一个零点.
②当时，令，解得或x1    +0-0-递增极大值递减极小值递增，，所以函数在上有且仅有1个零点.
，且，
因为函数在上单调递增且图象不间断，
所以函数在上有且仅有1个零点.
所以当时，函数在上有2个零点.
③当时，令，所以在上单调递增.
，又函数在图象不间断，
所以当时，函数在上有且仅有1个零点.
④当时，令，解得或x1+0-0-递增极大值递减极小值递增，，
所以函数在上有且仅有1个零点.
令，a2+0-递增极大值递减所以，所以，即，
，
因为函数在上单调递增且图象不间断，
所以函数在上有且仅有1个零点.
所以当时，函数在上有2个零点.
综上，当或时，函数有且仅有1个零点;
当或时，函数有2个零点.