2022-2023学年北京市东城区文汇中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市东城区文汇中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，是关于和的二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为了解某市参加中考的名学生的体重情况，抽查了其中名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是(    )

A. 名学生是总体 B. 名学生的体重是总体的一个样本
C. 每名学生是总体的一个个体 D. 以上调査是普查

3.  下列各式运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设、、表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，下列条件中，能判定的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

6.  下列各式不能用平方差公式法分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在一次爱心义卖活动中，某中学九年级个班捐献的义卖金额单位：元分别为、、、、、，这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  要使关于的方程的解是正数，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若不等式组有解，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知方程的一个解是，如果比的倍还多，那么 ______ ， ______ ．

12.  若数据，，，，的平均数为，则______．

13.  若是的余角，是的余角，且，则 ______ ．

14.  如图所示，用一吸管吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角，那么吸管与易拉罐底面夹角 ______ 度

15.  若，则          ．

16.  观察下列算式：

通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是______ ．

三、解答题（本大题共14小题，共112.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
一块边长为的正方形草坪，经过重新规划，东西方向需要加长，南北方向需要缩短规划后的草坪面积是多少？

18.  本小题分
分解因式：．

19.  本小题分
因式分解：．

20.  本小题分
读句画图：如图，直线与直线相交于，
根据下列语句画图：
过点作，交于点；
过点作，垂足为；
若，猜想是多少度？并说明理由．

21.  本小题分
若，，求和的值．

22.  本小题分
分解因式：
；
．

23.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

24.  本小题分
求不等式的正整数解．

25.  本小题分
当时，二元一次方程和关于，的方程有相同的解，求的值．

26.  本小题分
解不等式组：．

27.  本小题分
如图，已知，，，试说明．

28.  本小题分
为了解某校七年级学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表单位：

根据图表提供的信息，回答下列问题：
样本中，男生人数为______人，男生身高类别的组中值为______，男生身高类别的频率为______；
样本中，女生身高在组的人数为______人，女生类别的频数所对应的扇形圆心角为______；
已知该校共有男生人，女生人，请估计身高在之间的学生约有多少人？

29.  本小题分
某货运码头，有稻谷和棉花共，其中稻谷比棉花多．
求稻谷和棉花各是多少？
现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共个，将这批稻谷和棉花运往外地．已知稻谷和棉花可装满一个甲型集装箱；稻谷和棉花可装满一个乙型集装箱．按此要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？

30.  本小题分
如图，已知．

如图，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论；
如图，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论；
如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有______ 种不要证明

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是方程，则此项不符合题意；
B、是二元一次方程，则此项符合题意；
C、中的不是整式，不是二元一次方程，则此项不符合题意；
D、中的的次数为，不是二元一次方程，则此项不符合题意；
故选：．
根据二元一次方程的定义含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程逐项判断即可得．
本题考查了二元一次方程，熟记定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、总体是：某市参加中考的名学生的体质情况，故本选项错误，
B、样本是：名学生的体重，故本选项正确，
C、每名学生的体重是总体的一个个体，故本选项错误，
D、是抽样调查，故本选项错误，
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题主要考查了总体、个体与样本的定义，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位，比较简单．
 

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.，错误，故本选项不合题意；
D.，正确，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查不等式的性质，渗透了数形结合的思想，属基础题．
观察图形可知：；．
【解答】
解：依题意得；．
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：不是两直线被第三条直线所截得到的同位角或内错角，因而不能判定两直线平行，故A选项不符合题意；
，是和被第三条直线所截得到的同位角和内错角，因而可以判定，但不能判定，故B、不符合题意；
这两个角是与被所截得到的内错角，可以判定，故C选项符合题意．
故选：．
可以从直线、的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
本题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

6.【答案】 

【解析】解：各式不能用平方差公式法分解因式的是，
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
根据众数和中位数的定义求解可得．
【解答】
解：将数据重新排列为、、、、、，
所以这组数据的众数为、中位数为，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：、与不平行，
不成立，故本选项错误；
B、与不平行，
不成立，故本选项错误；
C、，
，故本选项错误；
D、，
，故本选项正确．
故选：．
根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
关于的方程的解是正数，
，
，
故选：．
求出方程的解，根据已知得出，求出即可．
本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解一元一次方程的应用，关键是得出一个关于的不等式．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
解得：，
方程有解，
，
解得：．
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，不等式组有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此即可列不等式求得的范围．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若大于较小的数、小于较大的数，那么解集为介于两数之间．
 

11.【答案】   

【解析】解：方程的一个解是，
，
比的倍还多，
，
，
解得：．
故答案为：；．
利用已知条件得到关于，的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：．
根据平均数的计算方法，可得出方程，解出即可得出答案．
本题考查了算术平均数的知识，属于基础题，掌握算术平均数的计算方法是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是的余角，
，
是的余角，
，
又，
，
故答案为：．
根据等角的余角相等可得答案．
本题考查互为余角，掌握同角的余角相等是正确解答的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据两条直线平行，同位角相等，得．
显然根据两直线平行，同位角相等就可求解．
本题主要考查平行线的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：，根据等式的性质，得，
则，
故答案为：．
根据题意，即可得出答案．
本题考查等式的性质，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
                     ，
的末位数字是．
故答案为．
个位数字的变化规律是，，，，依次循环，用除以，余数为，则与的末尾数字相同．
本题是一个找规律的题目，考查了有理数的乘方，的乘方的末尾数字按，，，的规律变化．
 

17.【答案】解：根据题意可得：
规划后东西方向长为：，
规划后南北方向长为：，
规划后草坪面积：．
 答：规划后的草坪面积是 ． 

【解析】根据题意，得出规划后草坪的长和宽，根据长方形面积公式列出式子，最后根据平方差公式计算即可．
本题主要考查了列代数式，平方差公式，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确代数式，掌握平方差公式．
 

18.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】将看作一个整体，再提取公因式，即可进行解答．
本题主要考查了用提取公因式法进行因式分解，解题的关键是将看作一个整体．
 

20.【答案】解：如图所示；





． 

【解析】过点作，交于点；
过点作，垂足为；
利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
本题需熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题．
 

21.【答案】解：，，



；



． 

【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则，正确将原式变形是解题关键．
 

22.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】根据完全平方公式即可进行因式分解；
先提取公因式，再根据完全平方公式即可进行因式分解．
本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握完全平方公式．
 

23.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】原式中括号中利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

24.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为得：，
原不等式的正整数解为，，． 

【解析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去考号、移项、合并同类项、化系数为，依次计算求出的解集，在解集中找出符合要求的正整数解即可．
本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
 

25.【答案】解：当时，
，
解得：，
把，代入中得，
，
解得：． 

【解析】首先把代入中，可解得的值，再把，的值代入中便可求出的值．
此题主要考查了二元一次方程的解的问题，把握住方程的解的定义是解题的关键．
 

26.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
原不等式的解集为． 

【解析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．
本题是考查不等式组的解法，比较简单，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

27.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
 

28.【答案】；；；
；；
身高在之间的学生约有人． 

【解析】解：男生人数为人，男生身高类别的组中值为：，男生身高类别的频率为；
故答案为，，．
女生身高在组的人数为人；女生类别的频数所对应的扇形圆心角为．
故答案为，．
身高在之间的学生约有人．
根据条形图，各组人数之和即为男生人数；男生身高类别的组中值为：，男生身高类别的频率为；
女生身高在组的人数为组百分率乘以总人数人，生类别的频数所对应的扇形圆心角为乘以的频率；
分别求出身高在之间的男女学生人数，然后相加．
本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、统计表，图表结合是解题的关键．
 

29.【答案】解：设稻谷为，棉花为．
根据题意，可列方程组：，
解得，
答：稻谷、棉花分别为吨、吨．

解：设安排甲型集装箱个，乙型集装箱个．
根据题意，可得，
解得
又因为为整数、、，
共有三种方案
方案一：安排甲型集装箱个，乙型集装箱个
方案二：安排甲型集装箱个，乙型集装箱个
方案三：安排甲型集装箱个，乙型集装箱个． 

【解析】设稻谷为，棉花为，根据题中已知条件列出关于和的二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组可求出的取值范围，又因为只能为正整数，故只能取个值，即共有三种方案．
本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组，属于中档题．
 

30.【答案】 

【解析】，
证明：，
两直线平行，内错角相等，
，
两直线平行，内错角相等，
；
，
证明：，
两直线平行，同旁内角互补，
，
两直线平行，同旁内角互补，
，
，
；
四个角，，，之间的数量关系有种，

故答案为：．
利用两直线平行内错角相等，即可得出结论；
利用两直线平行同旁内角互补，即可得出结论；
分情况画出图形，然后根据平行线的性质写出关系式．
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．