2022-2023学年湖南省邵阳市洞口县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市洞口县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  新型冠状病毒是承载在飞沫上传播的，而飞沫的直径是提示：，只要能够过滤小于的颗粒的空气净化器都有用，我们常用的医用口罩等都是有用的，飞沫直径用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知等腰的一边长为，周长为，则腰长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 不确定

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于的方程的一个解为，则它的另一个解是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图所示，点是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点若的面积为，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不确定

9.  将一副三角板按如图所示的位置叠放，则与的面积之比等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  某校组织名学生参加兴趣小组活动，各组报名情况如图所示，以下说法正确的是(    )

A. 参加舞蹈兴趣小组的人数在统计图中所对应的圆心角是
B. 参加美术兴趣小组的人数是人
C. 参加篮球兴趣小组的人数最少
D. 参加象棋兴趣小组的人数有人
 

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  若二次根式有意义，则的取值范围是______ ．

13.  已知菱形的边长为，一条对角线的长为，则菱形的面积为______ ．

14.  分式方程的解是______ ．

15.  已知，则 ______ ．

16.  某班名学生的身高单位：如下表所示：

则该班同学的身高的中位数为：______ ．

17.  如图，在等腰中，，顶点在平行四边形的边上，已知，则 ______ ．

18.  如图，已知，请添加一个条件______ 不添加字母及辅助线使与相似．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再从，，，中选择一个合适的值代入求值：．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，、在对角线上，且，，求证：四边形是矩形．

22.  本小题分
邵阳市某校为推进“五育并举”的实施，开展了“劳动教育，从做家务事做起”的活动为了解活动实施情况，该校随机抽取九年级学生名，调查他们一周按七天计算做家务所用的时间单位：小时，得到一组数据，并绘制成统计表与统计图如图．
请根据该表完成下列各题．

根据上表中的数据补全条形统计图；
这组数据的中位数落在______ 范围内；
根据以上信息判断，被调查的名学生中，每周做家务所用的时间不少于小时的学生所占百分比是______ ．

23.  本小题分
某市政府为落实农村危房改造政策，年已投入亿元资金，并规划投入资金逐年增加，年将投入亿元资金用于农村危房改造工程．
求这两年中投入资金的年平均增长率；
若危房改造政府补助为元户，则这三年共完成危房改造多少户？

24.  本小题分
疫情期间某药店购进一批口罩，其中只包与只包的口罩共有包，已知只包的口罩进价为元包，只包的口罩进价为元包．
若购进这两种规格的口罩共花了万元，请分别求出购进只包与只包口罩的包数．
该药店计划将只包的口罩销售价定为元包，只包的口罩销售价定为元包，若购进的包这两种规格的口罩全部售完，且至少盈利元，求购进的只包的口罩至少多少包？

25.  本小题分
如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为，因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为：，已知，，，，米，米，，请你计算小李上班的路程因改道加了多少？结果保留整数温馨提示：，，

26.  本小题分
如图，为正方形中边上的一个动点，，以为边画正方形与边交于点．
当为边的中点时，求的长；
当时，连接，求的长；
连接，，求面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
先化简绝对值，根据倒数的定义求解即可．
本题考查了绝对值的定义和倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：．
中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定值，写成的形式即可．
本题考查了绝对值小于的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定值，确定这两个关键要素是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：等腰的一边长为，周长为，
当为等腰三角形的腰长时，
则另一腰长为，底边长为，
而，
故这样的三角形不存在；
当为等腰三角形的底边时，
则腰长为，
而，
故这样的三角形存在；
故选B．
分为等腰三角形的底边和腰长两种情况计算．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、由同底数幂的乘法运算法则可知，该选项不符合题意；
B、由同底数幂的除法运算法则可知，该选项不符合题意；
C、由完全平方差公式可知，该选项不符合题意；
D、由积的乘方运算及幂的乘方运算可知，该选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、完全平方差公式、积的乘方运算及幂的乘方运算逐项验证即可得到答案．
本题考查整式运算，涉及同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、完全平方差公式、积的乘方运算及幂的乘方运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线，
随着自变量的增大而减小，
自变量也随的增大而减小，
，
，
故选：．
根据直线，判定随着自变量的增大而减小，自变量也会随的增大而减小．
本考查了一次函数的增进性质，正确判断一次函数的增减性并灵活运用，熟练掌握随变化或随变化，性质是一致的，这是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将代入原方程可得：，
，
原方程的另一个解为．
故选：．
将代入原方程可求出值，再结合两根之和等于，即可求出方程的另一个解．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解；轴，
，
，
或，
函数图象在第一象限，
，
故答案为：．
根据反比例函数中值的几何意义，结合已知条件可得，求解方程可得的值，再结合反比例函数图象的性质即可求出的值．
本题是一道有关反比例函数中值的几何意义的题目，关键是掌握的几何意义．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
∽，
又：：：
与的面积之比等于：．
故选：．
一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到与的面积之比等于：．
本题考查对相似三角形性质的理解，三角形的面积，解答的关键是明确相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，得参加舞蹈兴趣小组的人数在统计图中所对应的圆心角是，故A不符合题意；
参加美术兴趣小组的人数是人，故B不符合题意；
参加其它兴趣小组的人数最少，故C不符合题意；
参加象棋兴趣小组的人数有人，故D符合题意．
故选：．
根据扇形统计图的意义计算判断即可．
本题考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的意义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
根据平方差公式分解因式即可；
本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，准确计算是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，解得：．
故答案为：．
根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，作图如下：
四边形是菱形，
，
菱形的边长为，一条对角线的长为，
，
在中，
，，，
，
，，
菱形的面积为．
故答案为：．
已知菱形的边长为，一条对角线的长为，作出图形，由菱形对角线相互垂直，利用勾股定理可知另一条对角线长为，从而得到菱形的面积为．
本题考查菱形的面积公式，涉及菱形的性质、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
等式两边同乘以最简公分母，
得，
去括号得，
解得，
检验：当时，最简公分母，
是原分式方程的解．
根据解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、验根、下结论逐步求解即可得到答案．
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤，尤其注意验根是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
所以，
故答案为：．
利用变形得，然后代入后面式子计算即可．
本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体代入法求代数式的值．
 

16.【答案】 

【解析】解：这一组数据的总个数是，是奇数，按照从大到小或从小到大排列，处于第位的身高数据就是题目所求的中位数．
故答案为：．
根据中位数的定义求解．
此题考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

17.【答案】 

【解析】解：等腰中，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出，代入求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握平行线的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：添加，
，，
∽．
故答案为：答案不唯一．
根据三角形相似的判定定理去添加条件答案不唯一．
本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简法则计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：


，
分式有意义，
，，
当时，． 

【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后根据分式有意义的条件确定要选择的值，代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
 

21.【答案】证明：在平行四边形中，
对角线、相交于点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质，得到对角线相互平分，则，，再结合，，得到，结合矩形的判定定理即可得证．
本题考查矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质及矩形的判定是解决问题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：的人数是，
完善统计图如图：
有名学生，
中位数应是第，第位的平均数，
有人，
中位数一定落在小时内，
故答案为：小时．
每周做家务所用的时间不少于小时的学生有人，
每周做家务所用的时间不少于小时的学生所占百分比是．
故答案为：．
根据人数是完善统计图即可．
根据有名学生，中位数应是第，第位的平均数，计算判定即可．
每周做家务所用的时间不少于小时的学生是人，则所占百分比为．
本题考查了条形统计图，中位数，熟练掌握条形统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．
 

23.【答案】解：设这两年中投入资金的年平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
这两年中投入资金的年平均增长率为，
答：这两年中投入资金的年平均增长率为；
根据题意得：
三年政府总投资的资金为：亿元，
危房改造政府补助为元户，
这三年共完成危房改造的户数为：户，
答：这三年共完成危房改造户． 

【解析】这两年中投入资金的年平均增长率为，根据增长后的量增长前的量增长率，列出方程，解方程即可得到答案；
先求出三年政府的总投资，再列式计算可得到这三年共完成危房改造多少户．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识，解题的关键是熟练掌握增长后的量增长前的量增长率．
 

24.【答案】解：解：设购进只包口罩包，则购进只包口罩包，
则，
即，
解得，
购进只包口罩包；
答：购进只包口罩包，购进只包口罩包；
解：设购进只包口罩包，则购进只包口罩包，
则，
即，
解得，
答：购进的只包的口罩至少包． 

【解析】根据题意，设购进只包口罩只，则购进只包口罩只，从而由购进这两种规格的口罩共花了万元列出方程求解即可得到答案；
根据题意，设购进只包口罩只，则购进只包口罩只，从而由购进的包这两种规格的口罩全部售完，且至少盈利元，列出不等式求解即可得到答案．
本题考查一元一次方程及一元一次不等式解实际应用题，读懂题意，找准相应关系是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：，米，，
，，
米，米．
，，
四边形为平行四边形，
米．
，米，，
，，
米，米．
增加的路程为

米．
答：小李上班的路程因改道增加了米． 

【解析】要计算小李上班的路程因改道增加了多少米，其实质是求：的值，由平行四边形得到，故只需求出、的长与的长即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：四边形，四边形都是正方形，，为边的中点，

，，，
∽，
，
，
解得．
如图，过点作于点，
四边形，四边形都是正方形，，

，，，
∽，，
，
，
，
，
，
解得，
，，，，，，
，，
．
如图，过点作于点，，交的延长线于点，
四边形，四边形都是正方形，，
，，，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，

，

，
设，由得∽，
，
，
解得，
，
，
故当时，取得最小值，且最小值为． 

【解析】证明∽列比例计算即可．
过点作于点，利用三角函数，勾股定理计算即可．
过点作于点，，交的延长线于点，易证四边形是矩形，≌，根据，设，根据∽计算出，运用二次函数的最值思想计算即可．
本题考查了正方形的性质，三角函数值的应用，三角形全等的判定性质，三角形相似的判定和性质，构造二次函数模型求最值，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角函数，准确构造二次函数求最值是解题的关键．