2022-2023学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省临沂市临沭县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  式子成立的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  以下各组数为边长的三角形，是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在菱形中，对角线，相交于点，下列结论中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列命题，其中是真命题的是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形

6.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟的速度朝正南方向爬行，分钟之后两只蚂蚁相距(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

10.  在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在矩形中，，，点、、、分别在矩形的各边上，，，则四边形的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在正方形中，是上一动点不与，重合，对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点，，交，于点，，下列结论：≌；；≌；当是的中点时，≌其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  在平面直角坐标系中有两点和，已知这两点之间的距离为，则 ______ ．

14.  如图，在中，，点、、分别为、、的中点，若，则的长为______．

15.  已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值设为正整数，若是大于的整数，则的最小值为______，最大值为______．

16.  在矩形中，，，若点是边的中点，连接，过点作于点，则长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，在▱中，，交于点，点，在上，．

求证：四边形是平行四边形；
若，求证：四边形是菱形．

19.  本小题分
如图，热气球探测器显示，从热气球处到一栋高楼顶部的距离，到高楼底部的距离，热气球处到这栋高楼外墙处的距离为，又测得，求这栋楼的高度．

20.  本小题分
阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契约是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第个数可以用表示其中，这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数．

 

21.  本小题分
“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”墩墩使用握力器如实物图所示锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点处，在无外力作用下，弹簧的长度为，即开始训练时，将弹簧的端点调在点处，此时弹簧长，弹力大小是，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点调到点处，使弹力大小变为，已知，求的长．
注：弹簧的弹力与形变成正比，即，是劲度系数，是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为，在外力作用下，弹簧的长度为，则．

 

22.  本小题分
如图，在四边形中，对角线和相交于点，，．

求证：四边形是平行四边形；
如图，，，分别是，，的中点，连接，，，若，，，求的周长．

23.  本小题分
综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______ ；
迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接．
如图，当点在上时， ______ ， ______ ；
改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
拓展应用
在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：要使二次根式成立，必须，
解得：，
故选：．
根据二次根式有意义得出，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能熟记二次根式有意义的条件的内容是解此题的关键，注意：式子中．
 

2.【答案】 

【解析】解：．，能构成直角三角形，符合题意；
B.，不能构成直角三角形，不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，不符合题意；
D.，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
分别化简二次根式判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
故A、、D正确，无法得出，
故选：．
根据菱形的性质即可一一判断．
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项是假命题，本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．
本题考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：



，
，
，
，
．
故选：．
利用二次根式的混合运算法则计算出结果后再估算大小即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的大小估算，先得出运算结果是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：两只小蚂蚁分钟所走的路程分别为，，
正东方向和正南方向构成直角，
由勾股定理得：，
其距离为．
故选：．
由已知两只蚂蚁爬行的方向的夹角为直角，其分钟内所走路程分别等于两直角边的长，利用勾股定理可求斜边即其距离．
此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是弄清正南方向和正东方向构成直角．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：
以为对角线，可以画出▱，；
以为对角线，可以画出▱，；
以为对角线，可以画出▱，；
故选：．
分别以、、为对角线画平行四边形，再分别写出各点的坐标，即可选出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是考虑各种情况，正确画出图形．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题可知每个正方形纸片的面积正好是围成三角形的对应边的边长的平方，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，因为，所以围成的三角形是直角三角形，其面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，因为，所以围成的三角形是直角三角形，其面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，因为，所以围成的三角形不是直角三角形，不符合题意；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，因为，所以围成的三角形是直角三角形，其面积是，
因为，
所以使所围成的三角形是面积最大的直角三角形时选取的三块纸片的面积分别是，，，
故选：．
首先根据两个较小的面积之和等于最大的面积判断三角形是直角三角形，然后利用较小的两条边为直角边，根据三角形的面积公式分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形为平行四边形，
，，
，
是的平分线，
，
，
；
故选：．
根据角平分线和平行四边形的性质，推出是等腰三角形，从而推出，再用进行计算即可．
本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质．熟练掌握相关性质是解题的关键．当题目中既有平行又有角平分线时，往往会有等腰三角形．
 

11.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
根据勾股定理，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的周长．
故选：．
根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出、的长度之和，再根据四边形是平行四边形，即可得解．
本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例定理求出是解题的关键，也是本题的难点．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
．
在和中，
，
≌，故正确．
过点分别作，的垂线，正方形中，
四边形是矩形，
．
在直角中，，
故正确．
正方形，
，而，
是等腰直角三角形，而不一定是．
与不一定全等，故错误；
如图，当是的中点时，正方形，
是中位线，
，，

是等腰直角三角形，
，
，，
和都是等腰直角三角形，
而，
，不全等，故错误．
综上：正确的有；
故选：．
根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，然后利用“角边角”证明和全等；由四边形是矩形，可得，而在直角中，，可判断，判断出不一定等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而确定出与不一定全等；证明和都是等腰直角三角形，而，从而可得答案．
本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟练的利用正方形的性质解题是关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：和，这两点之间的距离为，
，
解得或舍去，
．
故答案为：．
根据坐标系中两点距离公式建立方程求解即可．
本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点、分别为、的中点，
是的中位线，
，
在中，，点为的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半解答．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】， 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
先将化简为，可得最小为，由是大于的整数，且越小，越小，则越大，可得当时，最大为．
【解答】
解：，且为正整数，是整数，
最小值为，
是大于的整数，且越小，越小，则越大，
当时，，
最大值为．
故答案为：，．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

在矩形中，，，
，，，
是边的中点，
，
，，
，
，
即，
解得，
故答案为：．
连接，先根据矩形的性质可得，，，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握矩形的性质以及等面积法的应用是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先化简二次根式，再合并即可；
利用平方差计算即可．
本题考查二次根式的运算、平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的性质．
 

18.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
 

19.【答案】解：，
是直角三角形，且，
，
在中，由勾股定理，得，
，
．
这栋楼的高度为． 

【解析】先利用勾股定理得逆定理证明是直角三角形，且，则，在由勾股定理求出，则．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，证明是直角三角形，且是解题的关键．
 

20.【答案】解：第个数，当时，



．

第个数，当时，




． 

【解析】此题考查二次根式的混合运算，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
分别把、代入式子化简求得答案即可．
 

21.【答案】解：由题意可得，
，
，
解得，
，
当时，，
解得，
由图可得，
，，
，
，
，，
，
，
，
即的长是． 

【解析】由题意可以先求出的值，然后即可求出的长，再根据勾股定理即可得到和的长，由图可知：，代入数据计算即可．
本题考查解直角三角形的应用、正比例函数，解答本题的关键是求出的值，以及和的值．
 

22.【答案】证明：在与中，

≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：连接，

四边形是平行四边形，
，，，，，
，
，，
点是的中点，
，，
，
在中，，
点是的中点，，
，
点，点分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
的周长，
的周长为． 

【解析】根据已知可得，然后再利用证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
连接，利用平行四边形的性质可得，，，，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】或或或任写一个即可     

【解析】解：对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或任写一个即可；
由可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
≌，
，
故答案为：，；
，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
≌，
；
由折叠的性质可得，，
≌，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
由折叠的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，即可求解；
由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得；
分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．