考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版）

这是一份考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类-备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)（原卷版），共19页。试卷主要包含了利用等比数列的定义求通项，等比数列中an与Sn的关系，等比数列基本量的运算，等比数列的证明，等比数列的性质及其应用，等比数列前n项和性质的应用，等比数列的单调性与最值问题，等比数列的实际应用等内容，欢迎下载使用。

考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类


考点一 利用等比数列的定义求通项
考点二 等比数列中an与Sn的关系
考点三 等比数列基本量的运算
考点四 等比数列的证明
考点五 等比数列的性质及其应用
（一）等比中项的应用
（二）利用等比数列的性质计算
考点六 等比数列前n项和性质的应用
（一）等比数列的片段和性质的应用
（二）等比数列奇偶项和的性质
考点七 等比数列的单调性与最值问题
考点八 等比数列的实际应用
考点九 等差数列、等比数列的综合问题
考点十 等比数列与其他知识的交汇

1. 等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
(2) 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方.
2. 等比中项与等差中项的异同
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项


3. 等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1. 该式又可以写成an＝·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积.
(2) 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
①当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
②任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,01时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0 (3)前n项和公式：Sn＝
当q≠1时，该式又可以写成Sn＝－·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点.
注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．
②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．
(4)等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
（Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.且系数与常数互为相反数．）
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.


4. 等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解；
（2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
(3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．
(4)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝，当q>1时，用公式Sn＝(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误．
（5）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.

5. 由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝
6.等比数列的证明方法
定义法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列

7. 等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝a.
③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.
⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；仍为等比数列，且公比为.
注：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lgan}是等差数列，首项为lga1，公差为lgq.
⑦公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).
注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
②{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
③若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
ⅰ在其前2n项中，＝q；
ⅱ在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
④在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*.
⑤在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)
8. 其他衍生等比数列
若已知等比数列，公比为，前项和为，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为．
②等长度截取
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
9. 等比数列项的性质应用
（1）等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
（2）应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式．
（3）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(4)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．　

10. 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
11. 处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法
等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

12. 判断等比数列的单调性的方法
(1)当a1>0，q>1或a1＜0，0 (2)当a1>0，01时，等比数列{an}是递减数列；
(3)当q＝1时，它是一个常数列；
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
注：在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．13.等比数列最值有关问题的解题思路
求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．14.等比数列的实际应用
(1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
15.等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
16.等差数列和等比数列比较

等差数列
等比数列
定义
＝常数
＝常数
通项公式


判定方法
(1)定义法；
(2)中项公式法：⇔为等差数列；
(3)通项公式法：(为常数,)⇔ 为等差数列；
(4)前n项和公式法：(为常数, )⇔ 为等差数列；
(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法： ()⇔ 为等比数列
(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔为等比数列
(4) 为等差数列⇔(总有意义)为等比数列
性质
(1)若，，，，且，则
(2)
(3) ，…仍成等差数列
(1)若，，，，且，则
(2)
(3)等比数列依次每项和()，即 ，…仍成等比数列
前n项和

时，；当时，或.

17.等差数列与等比数列的综合问题
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．



考点一 利用等比数列的定义求通项
1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列中，，，为其前项和，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，且，则数列的通项公式为_____________.
4．（2023·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前n项和，，.
(1)求；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
5．（2023·全国·高三对口高考）已知数列满足，且对任意的正整数，，都有，若数列的前n项和为，则等于（    ）
A． B．
C． D．
考点二 等比数列中an与Sn的关系
6．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列的前项和为，满足，，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ）
A．54 B．93 C．153 D．162
8．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且，则（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知数列的前项和，记的前项和为，则数列中的最大项的值为（    ）
A． B． C． D．
考点三 等比数列基本量的运算
10．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则（    ）
A．3 B． C． D．13
12．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前4项和为，，则（    ）
A． B． C．1 D．2
13．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列为等比数列，且，，则（    ）
A．30 B． C．40 D．
14．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10
15．（2023·浙江·校联考二模）设数列满足：是的等比中项.
(1)求的值；
(2)求数列的前20项的和.
16．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（    ）
A． B． C． D．
17．【多选】（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
18．（2023·全国·模拟预测）山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（    ）
A． B．
C． D．
考点四 等比数列的证明
19．【多选】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且（，且），为何值时，数列是等比数列.
21．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，．证明：数列是等比数列；
23．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
25．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
考点五 等比数列的性质及其应用
（一）等比中项的应用
26．（2023秋·广东·高三统考学业考试）在等比数列中，，则和的等比中项为________．
27．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列中，，则与的等比中项是（    ）
A． B．1 C．2 D．
28．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列.
(1)若，的面积为2，求的周长；
(2)求的取值范围.
（二）利用等比数列的性质计算
29．（2023·河北·统考模拟预测）若数列为等比数列，，，则______．
30．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（    ）
A．4 B．8 C．32 D．64
31．（2023·山东聊城·统考三模）若为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
32．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ .
33．（2023·全国·高三专题练习）在由正数组成的等比数列 中，若 ， 的为
A． B． C． D．
34．（2023·全国·高三专题练习）35．（2023·河南郑州·统考一模）在等比数列中，公比，且，则（    ）
A．3 B．12 C．18 D．24
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________.
考点六 等比数列前n项和性质的应用
（一）等比数列的片段和性质的应用
37．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，若，，，则（    ）
A．16 B．18 C．21 D．27
38．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的前n项和为，若，，则　　
A．144 B．81 C．45 D．63
39．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______.
40．（2023·全国·高三专题练习）等比数列前n项和为，若，则______.
41．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ）
A．6 B． C． D．9
42．（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
43．（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，且，则公比__________.
（二）等比数列奇偶项和的性质
44．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ）
A． B． C． D．
45．（2023·全国·高三专题练习）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（    ）
A．4 B．6 C．8 D．10
46．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.
47．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
48．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
考点七 等比数列的单调性与最值问题
50．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
51．（2023·四川自贡·统考三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（    ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
52．（2023·全国·高三专题练习）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
53．【多选】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
54．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
55．（2023·全国·高三专题练习）已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
56．（2023·北京海淀·校考三模）已知等比数列，对任意，，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（    ）
A．是递减数列 B．是递增数列
C． D．一定存在，当时，
考点八 等比数列的实际应用
57．（2023·广东广州·统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（    ）．
A． B．
C． D．
58．（2023·广东广州·统考模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，且满足递推公式：为数列的前项和，则__________（答案精确到1）.
59．（2023·陕西西安·统考一模）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为__________.（参考数据：）

60．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量．
(1)求的表达式；
(2)如果，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（）
61．（2023·全国·高三专题练习）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界．目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由A公司及B公司提供技术支持．据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响．
(1)用表示，并求实数，使是等比数列；
(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）
考点九 等差数列、等比数列的综合问题
62．（2023·北京·人大附中校考三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则__________．
63．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（    ）
A．28 B．20 C．18 D．12
64．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（    ）
A． B． C． D．
65．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则______.
66．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
67．（2023·河北·校联考一模）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，的等比中项，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
68．（2023·全国·高三对口高考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且，若，，则（    ）
A． B．
C． D．或
考点十 等比数列与其他知识的交汇
69．（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．
70．（2023·辽宁丹东·统考二模）等比数列{an}前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a3<0，事件B：{an}既不是递增数列也不是递减数列，则____________．
71．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点．若是公比为2的等比数列，则__________．的离心率为__________．
72．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列满足，则称数列为牛顿数列．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为________．