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重难点突破12 导数中的“距离”问题（七大题型）-2024年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（解析版）
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重难点突破12 导数中的“距离”问题
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导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数，其中，若存在，使得成立，则实数的值为_________.
【答案】10
【解析】设，
则可看做图象上任意一点与图象上点的距离的平方，
设函数过点的切线平行于直线．
则，令，解得，∴切点．
点P到直线的距离，此时，
∴存在，使，
过点P且与直线垂直的直线方程为：.
联立 ，解得．
即，时，存在使得为成立，此时.
故答案为：10
例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数满足，则的最小值______.
【答案】
【解析】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方
故，
可以看成是函数，
即函数在的切线与函数平行时求出最小值
则，解得
此时
故的最小值为
例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数满足，则的最小值为_____．
【答案】8
【解析】实数、、、满足：
，
，设，，则有：，且，设，，则有：，
就是曲线与直线之间的最小距离的平方值，
对曲线求导：，
与平行的切线斜率，解得：或（舍，
把代入，得：，即切点为，
切点到直线的距离：，
的最小值就是8．
故答案为： 8.
变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数，，，满足，则的最小值为___．
【答案】
【解析】由，得，
所以表示直线上点到曲线上点距离的平方，
由，令，解得或（舍），
得，所以所求最小值为，
故答案为：.
变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数满足：，则的最小值为________
【答案】/4.5
【解析】由题设可得，，
故，
设，，则，
即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，
而，令，则，此时对应的函数值为1，
故函数的图象在处的切线为，
的最小值即为平行线，之间的距离，
此距离为，故的最小值为，
故答案为：
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小值是，则的值是_______
【答案】/
【解析】函数
，
可得表示两点，的距离的平方，
即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为，
设直线与函数的图象相切，
，
设切点为，可得，解得，则，
即有切点为，
则，
解得，
则的值为．
故答案为：．
变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数，其中，存在，使得成立，则实数=_______.
【答案】/
【解析】设，设，则，
而点P在曲线，点Q在直线上，
当过曲线上的一点的切线与直线平行时，
点到直线的距离取得最小值
由，可得，所以，
到直线的距离，则，即恒成立，
由题意可知存在，使得，则
过点垂直于的直线为
由，可得，则，则
故答案为：
变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设，当，变化时，则的最小值______．
【答案】
【解析】由可知，此式表示点与点间的距离，
而点在曲线上，点在直线上，
所以问题转化为求直线与曲线间的最小距离，
将直线向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，
设直线向下平移与曲线相切时的直线方程为，
设切点为，，则，得，
所以，切点为，
所以切线方程为，
此时直线与间的距离为，
故答案为：
题型二：曲线与点的距离
例4．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以
，选D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，因此，.
故选：C.
例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
题型三：曲线与圆的距离
例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为___．
【答案】
【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值
设图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得处点（e,1）到的距离最小，为
则线段长度的最小值为
例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意得：
设
则
根据柯西不等式：
于是
于是
令，则
故
故
故选：A
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，
则，
设，
，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，故，
所以时，且，
所以时，，函数单调递减，
当时，令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
则，即，
所以时，单调递增，即单调递增，
所以，故当时，函数单调递增，
所以，
故的最小值为，
则线段的长度的最小值为．
故选：B．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，又圆的圆心为，
令，
，．
令，
，
令，
，时，，
在上单调递增，，即
所以在上单调递增，即在上单调递增，而．
，解得；，解得，
在递减，在递增，
，
，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，令图象上一点的切线为
由的导数为，即切线的斜率为，
当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，
此时，即有，
由，可得，递增，又，
所以，，
所以点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
题型四：曲线与抛物线的距离
例10．（2023·全国·高三专题练习）设，当a，b变化时，的最小值为_______.
【答案】.
【解析】，
函数表示点和的距离加上的纵坐标，
画出和的图像，如图所示：
故，当共线时等号成立.
设，则，，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减.
，故.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
例11．（2023·全国·高三专题练习）设,其中，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.
由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，故选C.
例12．（2023·全国·高三专题练习）设.，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为
题型五：曲线与曲线的距离
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由于曲线是由向右平移1个单位得到的，是由现右平移1个单位得到的，所以的最小值可以看成曲线上的点与上的点间的最小值，
因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
所以所求的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的2倍，
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，由，得，
所以切点，
所以点到直线的最小距离为，
所以的最小值为，
故答案为：
例14．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称.
函数上的点到直线的距离为.
设函数，则
因为当时，，当时，
所以当时，
所以
所以最小值为.
故答案为：
例15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点曲线上，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为曲线与曲线互为反函数，所以其图象关于对称，
所以可先求点到直线的距离的最小值，
设曲线上斜率为1的切线方程为，
由，可得，令，解得，所以切线的坐标为，
所以切线到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____.
【答案】
【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴.
故答案为：.
变式9．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由,得：,.所以,与互为反函数．
它们的图像关于对称．
P在曲线上,点Q在曲线上，
设，
要使|PQ|的距离最小,则P应在上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线的最短距离
所以当,即时,d取得最小值，
则|PQ|的最小值等于.
变式10．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）设点在曲线上，点在曲线上，若，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由函数和互为反函数，其图像关于直线对称，
可先求得点点到直线的距离为，
设曲线上斜率为1的切线方程为，
因为，令，可得，即，
即切线的坐标为
又由切点到直线距离为，
因为，所以，即，即，
因为，可得，
所以，即，即，
令，则，
令，可得，
所以在区间上为单调递增函数，
因为，所以不等式等价于，
则，即，所以，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
变式11．（2023·福建南平·统考模拟预测）分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为与x轴平行，设方程为，
由，可得，即，
由，可得，即，
所以，
设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
故选：B
变式12．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.
所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.
所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.
曲线上的点到直线的距离为
设，则.
由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数，所以
由图象关于对称得：的最小值为.
故选：B
题型六：横向距离
例16．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的图像与直线分别交于两点，
所以，，其中，且，
所以，
令，
则，令得：；
所以易得：时，；时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即的最小值为.
故答案为：B.
例17．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直线分别与直线，曲线交于A，B两点，则的最小值为
A． B．1 C． D．4
【答案】A
【解析】设，则，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴时，函数的最小值为，故选A．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设 恒成立，故单调递增，又故
故 ，令
，选D
变式13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的图像分别与直线交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，， ，其中，且，
所以，令，，
则时，解得，
所以时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故选：C．
变式15．（2023·江苏·高二专题练习）函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由可得，
由可得，
所以
设，，则，
记，则恒成立，
所以即在上单调递增，
且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线与函数，的图象分别交于，两点，
，，，其中，且，
，设函数，
，，
令，解得，
当，即时，函数在，单调递增，
当，即时，函数在单调递减，
故时，函数有最小值，最小值为，
故线段的长度的最小值为．
故选：D．
题型七：纵向距离
例19．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.直线分别与曲线和曲线交于，两点，
设，，
且，，
，．
，，，
令解得，（舍），
当时，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
所以，
综上可知的最小值为．
故选：D.
例20．（2023·高二课时练习）动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
则，
当时，，当，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时取得最小值，
所以的最小值为，
故选：A
例21．（2023·高一课时练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】f（x）＝sin（2x），g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），
所以|MN|＝|f（x）﹣g（x）|
＝|sin（2x）﹣sin（2x）|，
|cos2x|，
则cos2x＝±1时，
|MN|的最大值为：．
故选B．
变式17．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则，
当时，，当，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
故选：D.
变式18．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A．存在，使 B．当时，取得最小值
C．没有最小值 D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由直线与两曲线、分别交于、两点可知．
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，
曲线上点坐标，可求得导数，则切线斜率．
令，则，令，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故A正确；
对于BC选项，，令，其中，则，
由A选项可知，函数在上为增函数，
且，，
所以，存在使得，即，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故当时，取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；
对于D选项，由可得，则，
令，则函数在上为减函数，
因为，，，且，
又因为函数在上为增函数，所以，，
所以，，D对.
故选：ABD.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与直线，曲线交于、两点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由已知得，，
则
设，，
则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以
所以，
当时，取最小值为，
故答案为：.
重难点突破12 导数中的“距离”问题
目录
导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方 法 之 一 是 转 化 化 归，将 动 点 间 的 距 离 问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．
题型一：曲线与直线的距离
例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数，其中，若存在，使得成立，则实数的值为_________.
【答案】10
【解析】设，
则可看做图象上任意一点与图象上点的距离的平方，
设函数过点的切线平行于直线．
则，令，解得，∴切点．
点P到直线的距离，此时，
∴存在，使，
过点P且与直线垂直的直线方程为：.
联立 ，解得．
即，时，存在使得为成立，此时.
故答案为：10
例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数满足，则的最小值______.
【答案】
【解析】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方
故，
可以看成是函数，
即函数在的切线与函数平行时求出最小值
则，解得
此时
故的最小值为
例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数满足，则的最小值为_____．
【答案】8
【解析】实数、、、满足：
，
，设，，则有：，且，设，，则有：，
就是曲线与直线之间的最小距离的平方值，
对曲线求导：，
与平行的切线斜率，解得：或（舍，
把代入，得：，即切点为，
切点到直线的距离：，
的最小值就是8．
故答案为： 8.
变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数，，，满足，则的最小值为___．
【答案】
【解析】由，得，
所以表示直线上点到曲线上点距离的平方，
由，令，解得或（舍），
得，所以所求最小值为，
故答案为：.
变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数满足：，则的最小值为________
【答案】/4.5
【解析】由题设可得，，
故，
设，，则，
即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，
而，令，则，此时对应的函数值为1，
故函数的图象在处的切线为，
的最小值即为平行线，之间的距离，
此距离为，故的最小值为，
故答案为：
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小值是，则的值是_______
【答案】/
【解析】函数
，
可得表示两点，的距离的平方，
即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为，
设直线与函数的图象相切，
，
设切点为，可得，解得，则，
即有切点为，
则，
解得，
则的值为．
故答案为：．
变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数，其中，存在，使得成立，则实数=_______.
【答案】/
【解析】设，设，则，
而点P在曲线，点Q在直线上，
当过曲线上的一点的切线与直线平行时，
点到直线的距离取得最小值
由，可得，所以，
到直线的距离，则，即恒成立，
由题意可知存在，使得，则
过点垂直于的直线为
由，可得，则，则
故答案为：
变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设，当，变化时，则的最小值______．
【答案】
【解析】由可知，此式表示点与点间的距离，
而点在曲线上，点在直线上，
所以问题转化为求直线与曲线间的最小距离，
将直线向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，
设直线向下平移与曲线相切时的直线方程为，
设切点为，，则，得，
所以，切点为，
所以切线方程为，
此时直线与间的距离为，
故答案为：
题型二：曲线与点的距离
例4．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以
，选D.
例5．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.设点的坐标为，对函数求导得，
由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，
得，
由两点间的距离公式得，
由于的最小值为，即，，解得，因此，.
故选：C.
例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，记，
，易知是增函数，且的值域是，
∴的唯一解，且时，，时，，即，
由题意，而，，
∴，解得，．
∴．
故选：C．
题型三：曲线与圆的距离
例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为___．
【答案】
【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值
设图象上的一点为
则
即有切线斜率为
可得
,
设
,
递增
又
可得处点（e,1）到的距离最小，为
则线段长度的最小值为
例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意得：
设
则
根据柯西不等式：
于是
于是
令，则
故
故
故选：A
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，
则，
设，
，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，故，
所以时，且，
所以时，，函数单调递减，
当时，令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
则，即，
所以时，单调递增，即单调递增，
所以，故当时，函数单调递增，
所以，
故的最小值为，
则线段的长度的最小值为．
故选：B．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，又圆的圆心为，
令，
，．
令，
，
令，
，时，，
在上单调递增，，即
所以在上单调递增，即在上单调递增，而．
，解得；，解得，
在递减，在递增，
，
，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．
设图象上一点，令图象上一点的切线为
由的导数为，即切线的斜率为，
当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，
此时，即有，
由，可得，递增，又，
所以，，
所以点到点的距离最小，且为，
则线段的长度的最小值为，
故选：A．
题型四：曲线与抛物线的距离
例10．（2023·全国·高三专题练习）设，当a，b变化时，的最小值为_______.
【答案】.
【解析】，
函数表示点和的距离加上的纵坐标，
画出和的图像，如图所示：
故，当共线时等号成立.
设，则，，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减.
，故.
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
例11．（2023·全国·高三专题练习）设,其中，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.
由题意，，
由表示两点与点的距离，
而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，
则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，
由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，
由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，
即为切点，设，
由，可得，
设，则递增，且，可得切点，
即有，则的最小值为，故选C.
例12．（2023·全国·高三专题练习）设.，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为
题型五：曲线与曲线的距离
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由于曲线是由向右平移1个单位得到的，是由现右平移1个单位得到的，所以的最小值可以看成曲线上的点与上的点间的最小值，
因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
所以所求的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的2倍，
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，由，得，
所以切点，
所以点到直线的最小距离为，
所以的最小值为，
故答案为：
例14．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称.
函数上的点到直线的距离为.
设函数，则
因为当时，，当时，
所以当时，
所以
所以最小值为.
故答案为：
例15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点曲线上，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为曲线与曲线互为反函数，所以其图象关于对称，
所以可先求点到直线的距离的最小值，
设曲线上斜率为1的切线方程为，
由，可得，令，解得，所以切线的坐标为，
所以切线到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
变式8．（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____.
【答案】
【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，
∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，
∴令，则，
∴有，则，即，
∴到的距离，
∴.
故答案为：.
变式9．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由,得：,.所以,与互为反函数．
它们的图像关于对称．
P在曲线上,点Q在曲线上，
设，
要使|PQ|的距离最小,则P应在上，
又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．
以Q点为例，Q点到直线的最短距离
所以当,即时,d取得最小值，
则|PQ|的最小值等于.
变式10．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）设点在曲线上，点在曲线上，若，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由函数和互为反函数，其图像关于直线对称，
可先求得点点到直线的距离为，
设曲线上斜率为1的切线方程为，
因为，令，可得，即，
即切线的坐标为
又由切点到直线距离为，
因为，所以，即，即，
因为，可得，
所以，即，即，
令，则，
令，可得，
所以在区间上为单调递增函数，
因为，所以不等式等价于，
则，即，所以，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
变式11．（2023·福建南平·统考模拟预测）分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为与x轴平行，设方程为，
由，可得，即，
由，可得，即，
所以，
设，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
故选：B
变式12．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.
所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.
所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.
曲线上的点到直线的距离为
设，则.
由可得，由可得
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，函数，所以
由图象关于对称得：的最小值为.
故选：B
题型六：横向距离
例16．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 的图像与直线分别交于两点，
所以，，其中，且，
所以，
令，
则，令得：；
所以易得：时，；时，；
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即的最小值为.
故答案为：B.
例17．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直线分别与直线，曲线交于A，B两点，则的最小值为
A． B．1 C． D．4
【答案】A
【解析】设，则，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴时，函数的最小值为，故选A．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设 恒成立，故单调递增，又故
故 ，令
，选D
变式13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的图像分别与直线交于，两点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，， ，其中，且，
所以，令，，
则时，解得，
所以时，；时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故选：C．
变式15．（2023·江苏·高二专题练习）函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由可得，
由可得，
所以
设，，则，
记，则恒成立，
所以即在上单调递增，
且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线与函数，的图象分别交于，两点，
，，，其中，且，
，设函数，
，，
令，解得，
当，即时，函数在，单调递增，
当，即时，函数在单调递减，
故时，函数有最小值，最小值为，
故线段的长度的最小值为．
故选：D．
题型七：纵向距离
例19．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.直线分别与曲线和曲线交于，两点，
设，，
且，，
，．
，，，
令解得，（舍），
当时，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
所以，
综上可知的最小值为．
故选：D.
例20．（2023·高二课时练习）动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
则，
当时，，当，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时取得最小值，
所以的最小值为，
故选：A
例21．（2023·高一课时练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】f（x）＝sin（2x），g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），
所以|MN|＝|f（x）﹣g（x）|
＝|sin（2x）﹣sin（2x）|，
|cos2x|，
则cos2x＝±1时，
|MN|的最大值为：．
故选B．
变式17．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
则，
当时，，当，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为，
故选：D.
变式18．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A．存在，使 B．当时，取得最小值
C．没有最小值 D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由直线与两曲线、分别交于、两点可知．
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，
曲线上点坐标，可求得导数，则切线斜率．
令，则，令，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故A正确；
对于BC选项，，令，其中，则，
由A选项可知，函数在上为增函数，
且，，
所以，存在使得，即，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故当时，取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；
对于D选项，由可得，则，
令，则函数在上为减函数，
因为，，，且，
又因为函数在上为增函数，所以，，
所以，，D对.
故选：ABD.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与直线，曲线交于、两点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由已知得，，
则
设，，
则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以
所以，
当时，取最小值为，
故答案为：.
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