重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（解析版）

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重难点01集合与常用逻辑用语（9种解题模型）
【目录】
一、数轴法解集合问题
二、 由元素集合关系求参数范围
三、 Venn图法解集合问题
四、 集合交、并、补全的运算
五、 元素、子集、集合个数
六、 推出法解充分必要条件
七、 集合法解充分必要条件
八、 充分、必要条件的应用
九、 量词命题及其否定
一、 真题多维细目表

考题
考点
考向
2022新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2022新高考2，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考2，第2题
集合的基本运算
交集，补集运算
二、命题规律与备考策略

本专题是高考必考内容，难度小，分值5分，重点考察集合的基本运算，，常与不等式结合，考察集合的交、并、补运算，复习时以基础知识为主。
三、题型解题技巧

一、数轴法解集合问题
1.数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。
2.问题处理时的方法与技巧：
（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系
（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域
（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可
3、作图时要注意的问题：
（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察
（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。
二、由元素集合关系求参数范围
1、集合包含关系的考查常常出现探索性问题，解决这类问题时，首要要分清集合的代表元素，进而将集合语言转化为我们习惯的语言形式，从而求解。
2、结合自己的多年高中数学教学经验，我总结出“根据不等式解集之间的关系求参数范围”的步骤：
（1）化简所给集合；
（2）利用数轴表示所给集合；
（3）列出不等式解集端点之间的关系；
（4）解不等式。
3、此类问题常常用到两个重要的数学思想：一是数形结合思想；二是分类讨论的数学思想。
三、Venn图法解集合问题
用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．
运算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：
card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（A∩C）+card（A∩B∩C），
或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．
【解题方法点拨】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
【命题方向】一般情况涉及Venn图的交集、并集、补集的简单运算，也可以与信息迁移，应用性开放问题．也可以联系实际命题．
四、集合交、并、补全的运算
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
五、元素、子集、集合个数
对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
六、推出法解充分必要条件
判定时一是必须明确哪是条件，哪是结论；条件推结论，再由结论推条件，最后下结论．
若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p ⇒ q且q ⇏ p
p是q的必要不充分条件
p ⇏ q且q ⇒ p
p是q的充要条件
p ⇔ q
p是q的既不充分也不必要条件
p ⇏ q且q ⇏ p
七、集合法解充分必要条件
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB；
（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA；
（3）p是q的充要条件⇔A＝B．
八、充分、必要条件的应用
九、量词命题及其否定
全称命题与特称命题的否定


四、题型方法
一、数轴法解集合问题
一．选择题（共5小题）
1．（2023•定西模拟）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，则（　　）
A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B＝R D．A∩B＝∅
【分析】由数轴法得出集合A，B的包含关系，结合选项逐一检验．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|0＜x＜2}，
∴B⊆A，A∪B＝A，A∩B＝B，
因此选项B正确，选项A，C，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查集合间的关系，考查集合的交并补运算，属于基础题．
2．（2023春•安丘市月考）设集合M＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}，N＝{x|2x＜4}，则（　　）
A．M＝N B．M⊇N C．M∩N＝∅ D．M∪N＝N
【分析】分别利用对数函数和指数函数的性质化简集合M和N，并逐一检验选项得出答案．
【解答】解：由题意，log0.5（x﹣1）＞0＝log0.51，
即0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，
集合M＝{x|log0.5（x﹣1）＞0}＝{x|1＜x＜2}，
集合N＝{x|2x＜4}＝{x|2x＜22}＝{x|x＜2}，
则M⊆N，
故选：D．
【点评】本题考查集合间的关系，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
3．（2023•郑州模拟）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}，则A∩B＝（　　）
A．{0，2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{1，2，4}
【分析】根据集合交集的运算求解．
【解答】解：集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|0≤x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}，
则A∩B＝{0，1，2}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集，考查学生计算能力，属于基础题．
4．（2022•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}，B＝{y∈Z|y＝3sinx，x∈R}，则A∩B＝（　　）
A．[2，3] B．（2，3] C．{2，3} D．{3}
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝[2，3]，B＝{y∈Z|y＝3sinx，x∈R}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
则A∩B＝{2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
5．（2022秋•定州市期末）已知集合A＝{x∈R|x2≤9}，B＝{x∈R|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（　　）
A．[﹣3，﹣1）∪（2，3] B．[﹣3，﹣2）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【分析】化简集合A，B，再根据补集与交集的定义，求出（∁RA）∩B．
【解答】解：A＝{x∈R|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，则∁RA＝{x|x＞3或x＜﹣3}，
B＝{x∈R|x2+x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞1}，
则（∁RA）∩B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集、补集的混合运算，是基础题．
二．填空题（共1小题）
6．（2023•上海开学）设集合S，T，S⊆N•，T⊆N•，S，T中，至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则．若S有4个元素，则S∪T有 　7　个元素．
【分析】可根据题意设出S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，然后进行并集的运算求出S∪T，从而可得出S∪T中的元素个数．
【解答】解：根据题意设S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，
∴S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，
∴S∪T的元素个数为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了子集的定义，列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
三．解答题（共1小题）
7．（2022秋•湘潭期末）设全集U＝R，集合M＝{x|x2﹣12x+20≤0}，N＝{x|lnx＜2ln3}，P＝{x|2a＜x＜a+5}．
（1）求M∪N，M∩（∁UN）；
（2）若P⊆N，求a的取值范围．
【分析】（1）分别化简集合M和集合N，根据交集，并集和补集的定义求解即可；
（2）分集合P＝∅和P≠∅两种情况，由P是N的子集，列不等式组，解出a的取值范围．
【解答】解：（1）集合M＝{x|x2﹣12x+20≤0}＝{x|2≤x≤10}，N＝{x|lnx＜2ln3}＝{x|0＜x＜9}，
则M∪N＝{x|0＜x≤10}；
又∁UN＝{x|x≤0或x≥9}，则M∩（∁UN）＝{x|9≤x≤10}；
（2）当2a≥a+5，即a≥5时，P＝∅，符合题意；
当2a＜a+5，即a＜5时，若P⊆N，则，解得0≤a≤4，
综上，a的取值范围为{a|a≥5或0≤a≤4}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，集合间的关系，考查了分类讨论思想和计算能力，属于基础题．
十、 由元素集合关系求参数范围
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•桂林期末）下列各式中关系符号运用正确的是（　　）
A．1⊆{0，1，2} B．∅∈{0，1，2} C．∅⊆{2，0，1} D．{1}∈{0，1，2}
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，空集的概念即可求解．
【解答】解：对A，∵1∈{0，1，2}，∴A错误；
对B，∵∅⫋{0，1，2}，∴B错误；
对C，∵∅⊆{2，0，1}，∴C正确；
对D，∵{1}⫋{0，1，2}，∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，空集的概念，属基础题．
2．（2023•香坊区校级一模）已知集合A＝{x|x2+x≤2}，B＝{1，a}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（　　）
A．{﹣2，﹣1，0} B．{x|﹣2≤x≤1} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{﹣2，﹣1，0，1}
【分析】解一元二次不等式化简集合A，由B⊆A，以及集合B中元素的互异性，得出实数a的取值集合．
【解答】解：集合A＝{x|x2+x≤2}＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}＝{x|﹣2≤x≤1}，B＝{1，a}，
若B⊆A，则实数a的取值集合为{x|﹣2≤x≤1}，
又集合元素具有互异性，∴a的取值集合为{x|﹣2≤x＜1}．
故选：C．
【点评】本题考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
3．（2023•宁德模拟）集合A＝{x|y＝}，，若A∩B＝{x|2≤x≤3}，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】集合A需求函数y的定义域，集合B转化成一元二次不等式，将解集表示出来，根据A∩B＝{x|2≤x≤3}，可得a的值．
【解答】解：x2+x﹣6≥0，∴（x+3）（x﹣2）≥0，∴x≥2或x≤﹣3，
则A＝{x|x≥2或x≤﹣3}，
≤0等价于（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，且x≠a，∴a＜x≤a+2，
B＝{x|a＜x≤a+2}，
∵A∩B＝{x|2≤x≤3}，∴a+2＝3，∴a＝1，
此时B＝{x|1＜x≤3}，满足A∩B＝{x|2≤x≤3}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
二．填空题（共2小题）
4．（2022秋•邳州市期末）集合A＝{a2+a﹣2，1﹣a，2}，若4∈A，则a＝　2　．
【分析】分类讨论A中元素与4的对应关系，得到方程解之，并验证互异性．
【解答】解：若4∈A，则a2+a﹣2＝4或1﹣a＝4，
当a2+a﹣2＝4时，a2+a﹣6＝0，解得：a＝﹣3或2，
若a＝﹣3，则1﹣a＝4，与互异性矛盾，舍去；
若a＝2，则1﹣a＝﹣1，满足题意；
当1﹣a＝4时，即a＝﹣3，此时a2+a﹣2＝4，与互异性矛盾，舍去；
综上a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查集合中元素的互异性以及元素对应关系，属于基础题．
5．（2023•青浦区二模）已知集合A＝{x|y＝ln（3﹣x）}，B＝{x|x＞a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为 　[3，+∞）　．
【分析】由对数函数的定义域得出集合A，再根据集合A，B的关系，得出实数a的取值范围．
【解答】解：由3﹣x＞0，解得x＜3，
则集合A＝{x|y＝ln（3﹣x）}＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，
∵A∩B＝∅，∴a≥3，
实数a的取值范围为[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
【点评】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的定义域，属于基础题．
三．解答题（共8小题）
6．（2022秋•大丰区校级期末）设m为实数，集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|m≤x≤m+2}．若A⊇B，求m的取值范围．
【分析】由集合B为集合A的子集，列出不等式组，可得m的取值范围．
【解答】解：若A⊇B，即集合B为集合A的子集，
则，解得1≤m≤2，
故m的取值范围是[1，2]．
【点评】本题考查集合间的关系，考查学生计算能力，属于基础题．
7．（2022秋•西湖区校级期末）已知集合A＝{x∈R|（x+a）（x﹣3）＜0}，集合．
（Ⅰ）若a＝1，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩B＝∅，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据题意，求出集合B，当a＝1时，求出集合A，由交集的定义计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，按a的取值范围分情况讨论，求出集合A，由交集的定义分析a的取值范围，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，集合＝（1，2），
（I）若a＝1，集合A＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＜0}＝（﹣1，3），
则A∩B＝（1，2）；
（II）集合A＝{x∈R|（x+a）（x﹣3）＜0}，
若a＝﹣3，则A＝∅，满足题意；
若a＜﹣3，则A＝（3，﹣a），显然A∩B＝∅；
若a＞﹣3，则A＝（﹣a，3），所以﹣a≥2，所以﹣3＜a≤﹣2；
综上所述：a≤﹣2．
【点评】本题考查集合交集的计算，（2）中注意讨论a的取值范围．
8．（2022秋•吉水县校级期末）已知全集U＝R，若集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x﹣m＜0}．
（1）若m＝3，求A∩（∁UB）；
（2）若A∩B＝A，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由集合B求出∁UB，再求出集合A与集合B的补集的交集即可；
（2）由集合A是集合B的子集，求出m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝3时，B＝{x|x＜3}，
所以∁UB＝{x|x≥3}，
又集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，
故A∩（∁UB）＝{x|3≤x＜4}．
（2）A∩B＝A，得，A⊆B，
故实数m的取值范围是m≥4．
【点评】本题考查集合的交并补运算，以及由集合间的关系求参数的问题，属于基础题．
9．（2022秋•湘潭期末）设全集U＝R，集合M＝{x|x2﹣12x+20≤0}，N＝{x|lnx＜2ln3}，P＝{x|2a＜x＜a+5}．
（1）求M∪N，M∩（∁UN）；
（2）若P⊆N，求a的取值范围．
【分析】（1）分别化简集合M和集合N，根据交集，并集和补集的定义求解即可；
（2）分集合P＝∅和P≠∅两种情况，由P是N的子集，列不等式组，解出a的取值范围．
【解答】解：（1）集合M＝{x|x2﹣12x+20≤0}＝{x|2≤x≤10}，N＝{x|lnx＜2ln3}＝{x|0＜x＜9}，
则M∪N＝{x|0＜x≤10}；
又∁UN＝{x|x≤0或x≥9}，则M∩（∁UN）＝{x|9≤x≤10}；
（2）当2a≥a+5，即a≥5时，P＝∅，符合题意；
当2a＜a+5，即a＜5时，若P⊆N，则，解得0≤a≤4，
综上，a的取值范围为{a|a≥5或0≤a≤4}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，集合间的关系，考查了分类讨论思想和计算能力，属于基础题．
10．（2022秋•怀仁市校级期末）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}，非空集合B＝{x|2x2＜（2﹣m）x+m}．
（1）当m＝1时，求∁R（A∪B）；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先求出集合A和B，再利用集合的运算求解即可．
（2）由x∈B是x∈A的充分条件，得到B⊆A，再列出不等式组求解．
【解答】解：（1）若m＝1，则B＝{x|2x2＜x+1}＝{x|﹣＜x＜1}，A＝{x|（x+2）（x﹣1）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，
∴A∪B＝{x|﹣2＜x＜1}，
∴∁R（A∪B）＝{x|x≤﹣2或x≥1}；
（2）∵x∈B是x∈A的充分条件，
∴B⊆A，
由（1）可知A＝{x|﹣2＜x＜1}，
由2x2＜（2﹣m）x+m可得（x﹣1）（x+）＜0，
当﹣＜1时，即m＞﹣2时，此时B＝{x|﹣＜x＜1}，
∴﹣≥﹣2，解得﹣2＜m≤4，
当﹣＝1时，即m＝﹣2时，此时B＝∅，满足题意，
当﹣＞1时，即m＜﹣2时，此时B＝{x|1＜x＜﹣}，不满足B⊆A，
综上所述实数m的取值范围为[﹣2，4]．
【点评】本题考查了集合的运算性质，充分条件的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（2022秋•淮安期末）设全集为U＝R，集合 A＝{x|log2（x2﹣7x）＞3 }，B＝{x|a+1＜x＜2a﹣3}．
（1）当a＝6时，求图中阴影部分表示的集合C；
（2）在①（∁RA）∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝A这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．

【分析】（1）求出集合A，B，利用交集和补集定义能求出结果；
（2）由已知得B⊆A，分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）全集为R，集合A＝{x|x2﹣7x﹣8＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞8}，
a＝6时，B＝{x|a+1＜x＜2a﹣3}＝{x|7＜x＜9}，
∴∁RB＝{x|x≤7或x≥9}，
∴图中阴影部分表示的集合C＝A∩∁RB＝{x|x＜﹣1或x≥9}．
（2）①（∁RA）∩B＝∅；②A∩B＝B；③A∪B＝A，
选择①②③均得到B⊆A，
当B＝∅时，a+1≥2a﹣3，解得a≤4；
当B≠∅时，或，解得或，∴a≥7，
综上，实数a的取值范围是（﹣∞，4]∪[7，+∞）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，属于基础题．
12．（2022秋•保山期末）已知集合A＝{x|（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＜0}，B＝{x|1≤3x﹣1≤9}．
（I）若a＝1，求A∪B；
（Ⅱ）若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的值．
【分析】（I）根据集合运算的定义计算即可；（Ⅱ）若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则集合A⫋B，由此可得a的取值．
【解答】解：（I）不等式1≤3x﹣1≤9等价于30≤3x﹣1≤32，且函数y＝3x在R上单调递增，
∴0≤x﹣1≤2，即1≤x≤3，∴B＝{x|1≤x≤3}，
若a＝1，则A＝{x|x（x﹣2）＜0}＝{x|0＜x＜2}，
∴A∪B＝{x|0＜x≤3}；
（Ⅱ）不等式（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）＜0即[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＜0，
∵a﹣1＜a+1，解得a﹣1＜x＜a+1，
∴A＝{x|a﹣1＜x＜a+1}，
由（I）知，B＝{x|1≤x≤3}，
若x∈B是x∈A的必要不充分条件，则集合A⫋B，∴，即，∴a＝2．
【点评】本题考查集合的运算，指数不等式，充分必要条件，属于基础题．
13．（2022秋•射洪市校级期末）已知集合：A＝；集合B＝{x|（x﹣m）[x﹣（m+1）]＜0}（m为常数）．
（1）当m＝0时，求∁RA∪B；
（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）解不等式＜0，得﹣1＜x＜3，即A＝（﹣1，3），
当m＝0时，由x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，即集合B＝（0，1），
所以A∪B＝（﹣1，3），则∁RA∪B＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）；
（2）因为p是q成立的必要不充分条件，
所以集合B是集合A的真子集，
又集合A＝（﹣1，3），B＝（m，m+1），又B⫋A，
则需满足，∴，∴﹣1≤m≤2，
则实数a的取值范围是[﹣1，2]．
【点评】本题考查了解不等式，考查充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．
十一、 Venn图法解集合问题
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•泸州期末）设全集U及集合M与N，则如图阴影部分所表示的集合为（　　）

A．M∩N B．M∪N C．∁UM∩N D．∁U（M∪N）
【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．
【解答】解：阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）．
故选：D．
【点评】本题考查集合并集，补集的定义，属于基础题．
2．（2022秋•海淀区校级期中）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（　　）
A．132 B．134 C．135 D．137
【分析】判断集合A1，A2，A3中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可．
【解答】解：集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M，∴A1，A2，A3一定各包含7个不同数值．
集合A1，A2，A3中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是21，15，9，特征数的和X1+X2+X3最小，
如：A1＝{1，16，17，18，19，20，21}，特征数为22：
A2＝{2，10，11，12，13，14，15}，特征数为17：A3＝{3，4，5，6，7，8，9}，特征数为12；
则X1+X2+X3最小，最小值为22+17+12＝51．
当集合A1，A2，A3中元素的最小值分别是1，7，13，最大值是21，20，19时，特征数的和X1+X2+X3最大，
如：A1＝{1，2，3，4，5，6，21}，特征数为22：A2＝{7，8，9，10，1112，20}特征数为27；
A3＝{13，14，15，16，17，18，19}，特征数为32；
则X1+X2+X3最大，最大值为22+27+32＝81，
故X1+X2+X3的最大值与最小值的和为81+51＝132．
故选：A．
【点评】本题考查集合的含义，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）3．（2022秋•福州期末）已知集合A，B是全集U的两个子集，A⊆B，则（　　）
A．A∪B＝B B．A∩B＝B C．B∪（∁UA）＝U D．B∪（∁UA）＝∅
【分析】紧扣集合的定义，可以结合韦恩图即可判断．
【解答】解：A，B是全集U的两个子集，A⊆B，则A∪B＝B，A∩B＝A，B∪（∁UA）＝U，
则A项正确，B项错误，C正确，D错误．

故选：AC．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
（多选）4．（2022秋•连云港期中）若某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者28人，则同时爱好这两项的人数可能有（　　）
A．22 B．21 C．5 D．4
【分析】由22+28﹣45＝5知同时爱好这两项的人数在5～22人之间，从而判断．
【解答】解：∵22+28﹣45＝5，
∴同时爱好这两项的人数在5～22人之间，
故22、21、5正确，4错误；
故选：ABC．
【点评】本题考查了集合的应用，属于基础题．
（多选）5．（2022秋•湖北期中）图中阴影部分用集合符号可以表示为（　　）

A．A∩（B∪C） B．A∪（B∩C）
C．A∩∁U（B∩C） D．（A∩B）∪（A∩C）
【分析】利用韦恩图直接求解．
【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：
A∩（B∪C）或（A∩B）∪（A∩C）．

故选：AD．
【点评】本题考查交集、并集的运算，考查韦恩图的性质的应用，是基础题．
（多选）6．（2022秋•洛阳期中）设全集为U，A，B为U的子集，且A⊑B，则下列结论中正确的是（　　）
A．A∩B＝A B．A∪B＝B C．（∁UA）∩B＝∅ D．（∁UA）∪B＝U
【分析】利用Venn图对四个选项依次判断即可．
【解答】解：由题意作Venn图，
根据图象可知，
A∩B＝A，A∪B＝B，（∁UA）∪B＝U，
当A是B的真子集时，
（∁UA）∩B不是空集，
故选：ABD．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三．填空题（共3小题）
7．（2022秋•杨浦区校级期中）已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 　（∁UA）∩B　．（用含A，B或∁UA，∁UB的集合语言表示）．

【分析】根据Venn图可知阴影部分表示的元素在集合B中不在集合A中，再利用集合的运算表示即可．
【解答】解：由Venn图可知，阴影部分表示的元素在集合B中不在集合A中，
∴图中阴影部分表示的集合是（∁UA）∩B．
故答案为：（∁UA）∩B．
【点评】本题考查集合的Venn图示法，集合的基本运算，属基础题．
8．（2022春•承德月考）对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n（Ω）＝60，n（A）＝30，n（B）＝20，n（A∩B）＝10，则P（A∪B）＝　　．
【分析】由已知得出n（A∪B），根据古典概型的概率公式代入求解．
【解答】解：由题意得n（A∪B）＝30+20﹣10＝40，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的概率公式，考查韦恩图的应用，属于基础题．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；
③{x|x＝x1+x2，x1∈M，x2∈M}；④{x|x＝x1x2，x1∈M，x2∈M}．
与集合M相等的集合序号是 　①②④　．
【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可．
【解答】解：对于①．：t∈M，设t＝a+b，a∈Q，b∈Q，则t＝2b+a，2b∈Q，故①的集合与M相等；
对于②．令t＝a+b（a，b∈Q，t≠0），则＝＝+（），
其中，∈Q，故②的集合与M相等：
对于③．当x1＝a+b，x2＝﹣a﹣b，a∈Q，b∈Q时，x＝x1+x2＝0，故③的集合与M不相等；
对于④．令x1＝a1+b1，（a1，b1∈Q，x1≠0），x2＝a2+b2，（a2，b2∈Q，x2≠0）
x＝x1 x2＝（a1 a2+2b1 b2）+（a1 b2+b1 a2）
其中（a1 a2+2b1 b2），（a1 b2+b1 a2）∈Q，x≠0，故④的集合与M相等；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查集合的相等，属于中档题．
十二、 集合交、并、补全的运算

一．选择题（共6小题）
1．（2023•山西模拟）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜4}，B＝（﹣2，2），则A∪B＝（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣4，2） C．（﹣2，2） D．（﹣4，4）
【分析】分别将两个集合中的元素表示出来，再求并集．
【解答】解：A＝{x|x2﹣3x＜4}＝{x|（x﹣4）（x+1）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，
则A∪B＝（﹣2，4）．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
2．（2023•安徽二模）若集合A＝{x|x＝4k﹣3，k∈N}，B＝{x|（x+3）（x﹣9）≤0}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】分别化简两个集合，可得A∩B的元素个数．
【解答】解：集合B＝{x|（x+3）（x﹣9）≤0}＝{x|﹣3≤x≤9}，
集合A＝{x|x＝4k﹣3，k∈N}＝{﹣3，1，5，9，13...}，
则A∩B＝{﹣3，1，5，9}，即元素个数为4．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集运算，考查集合的表示方法，属于基础题．
3．（2023•海淀区一模）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【分析】根据交集定义，找出两个集合的公共元素即可．
【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
4．（2023•莆田模拟）设全集U＝{x∈N|≤2}，A＝{2，3}，则∁UA＝（　　）
A．{0，1} B．{0，4} C．{1，4} D．{0，1，4}
【分析】分别将集合U中的元素表示出来，再求∁UA．
【解答】解：集U＝{x∈N|≤2}，0≤x≤4，∴U＝{0，1，2，3，4}，
∴∁UA＝{0，1，4}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
5．（2023•安徽模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|2x﹣2＞1}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．{x|1＜x≤2} B．{x|2≤x＜3} C．{x|﹣1＜x≤2} D．{x|1＜x＜3}
【分析】分别将两个集合中的元素表示出来，再求补集，交集．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＜0，（x﹣3）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜3，则A＝（﹣1，3），
2x﹣2＞1，∴x﹣2＞0，∴x＞2，B＝（2，+∞），
∁RB＝（﹣∞，2]，∴A∩（∁RB）＝（﹣1，2]＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查二次不等式的解法，属于基础题．
6．（2023•古冶区校级一模）若集合A＝{x|}，B＝{﹣3，﹣1，0，3，4}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先化简集合A，要注意等号是否取到，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解：∵，∴（x+3）（x﹣3）≤0，且x≠3，∴﹣3≤x＜3，
A＝[﹣3，3），又B＝{﹣3，﹣1，0，3，4}，
则A∩B＝{﹣3，﹣1，0}，A∩B的元素个数为3个．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，分式不等式的解法，属于基础题．
二．填空题（共1小题）
7．（2022秋•朝阳区期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，集合B＝{x|0≤x≤1}，则A∪B＝　{x|﹣2＜x≤1}　．
【分析】由并集及其运算求解即可．
【解答】解：已知集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，集合B＝{x|0≤x≤1}，
则A∪B＝{x|﹣2＜x≤1}，
故答案为：{x|﹣2＜x≤1}．
【点评】本题考查了并集及其运算，属基础题．
三．解答题（共5小题）
8．（2022秋•保定期末）集合 A＝{x|x2﹣4≤0}，集合B＝{x|2﹣a＜x＜2a+1}．
（1）当a＝1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝1时，分别化简集合A，B，根据集合并集的定义求解；
（2）由A⊆B，列不等式组，解出a的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，
当a＝1时，B＝{x|2﹣a＜x＜2a+1}＝{x|1＜x＜3}，
A∪B＝{x|﹣2≤x＜3}；
（2）若A⊆B，
则，解得a＞4，
故实数a的取值范围是（4，+∞）．
【点评】本题考查集合的并集运算，考查集合间的关系的应用，属于基础题．
9．（2022秋•南通期末）已知集合A＝{x|﹣2x2+7x﹣3＞0}，集合B＝{x|x2﹣bx+4＜0，b∈R}．
（1）若A∩B＝（1，3），求b；
（2）若A∪B＝B，求b的取值范围．
【分析】（1）将集合A，B进行化简，利用A∩B＝（1，3）建立不等关系，求实数b的值即可；
（2）由A∪B＝B可得A⊆B，可得对任意的x∈（，3），x2﹣bx+4＜0恒成立，即，即可求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣2x2+7x﹣3＞0}＝{x|（2x﹣1）（x﹣3）＜0}＝{x|＜x＜3}，
∵A∩B＝（1，3），
∴x＝1必为方程x2﹣bx+4＝0的根，故12﹣b+4＝0，解得b＝5，
此时B＝{x|x2﹣5x+4＜0，b∈R}＝（1，4），符合题意，所以b＝5；
（2）∵A∪B＝B，∴A⊆B，
∴原问题等价于：对任意的x∈（，3），x2﹣bx+4＜0恒成立，
∴令f（x）＝x2﹣bx+4在区间（，3）上的最大值不大于0，
∴，解得，即b，
所以实数b的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题主要考查集合关系的应用，先将集合A，B进行化简是解决本题的关键，注意对区间端点值等号的取舍问题．
10．（2023春•天心区校级月考）集合，B＝{x|2ax2+（2﹣ab）x﹣b＜0}．
（1）用区间表示集合A；
（2）若a＜0，b＜0，A∩B＝A，求a，b的取值范围．
【分析】（1）原不等式化为（x+2）（x﹣3）≥0，且x≠3；（2）原不等式化为（ax+1）（2x﹣b）＜0，且由已知有A⊆B，从而可得a，b的取值范围．
【解答】解：（1）由，有，即（x+2）（x﹣3）≥0，且x≠3，
解得x≤﹣2或x＞3，
∴A＝（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）．
（2）2ax2+（2﹣ab）x﹣b＜0，可得（ax+1）（2x﹣b）＜0，
又a＜0，b＜0，解得或．
∵A∩B＝A，∴A⊆B，∴，∴，﹣4＜b＜0，
∴a，b的取值范围是，b∈（﹣4，0）．
【点评】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．
11．（2022秋•阿勒泰地区期末）（1）已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，∁UA；
（2）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，求A∩B，（∁UA）∪B．
【分析】直接按照集合运算的定义求解即可．
【解答】解：（1）A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，∁UA＝{1，2，6，7，8}；
（2）A∩B＝{x|﹣2＜x≤2}，
∁UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，（∁UA）∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
12．（2023•河曲县校级开学）已知函数f（x）＝lnx+，f（x）的定义域为集合A，f（x）的值域为集合B．
（1）求集合A∪（∁RB）；
（2）已知集合C＝{x|a≤x＜a+2}，若“x∈C”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．
【分析】（1）根据条件求出集合A，B，结合集合的基本运算法则进行计算即可．
（2）根据充分条件和必要条件与集合关系，进行转化求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得x＞0且lnx≠0得0＜x＜1或x＞1，故定义域A＝（0，1）∪（1，+∞），
令lnx＝t（t∈R），y＝t+的值域B＝（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），
故A∪（∁RB）＝（0，1）∪（1，+∞）∪（﹣2，2）＝（﹣2，+∞）．
（2）若“x∈C”是“x∈B”的充分不必要条件，可得C⫋B，
有a+2≤﹣2或a≥2，∴a≤﹣4或a≥2．
即a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及充分条件和必要条件的应用，求出集合A，B是解决本题的关键，是基础题．
十三、 元素、子集、集合个数
一．选择题（共3小题）
1．（2023•温江区校级模拟）集合A＝{1，2}，若A⊆B，则集合B可以是（　　）
A．{1} B．{2} C．{0，1，2} D．∅
【分析】集合B至少含有元素1，2，由此判断．
【解答】解：集合A＝{1，2}，若A⊆B，则集合B可以是：{0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的子集定义，属于基础题．
2．（2023春•永川区校级月考）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由集合的定义代入写出所有元素即可．
【解答】解：由题意知，
P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}＝{（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）}，
共有6个元素，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的性质及新定义的应用，属于基础题．
3．（2022秋•淮阳区校级期末）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）⋅（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】结合题意知C（A）＝2，从而可得C（B）＝1或C（B）＝3，即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，而由x2+ax＝0得x＝0或x+a＝0，分类讨论；当a＝0时，求解集合B，判断；当a≠0时，x2+ax＝0对应的根为0和﹣a，则C（B）＝3，再按方程x2+ax+2＝0的解的情况分两类讨论，进一步检验即可．
【解答】解：由题意知，C（A）＝2，
∵A*B＝1，
A*B＝，
∴C（B）＝1或C（B）＝3，
即方程（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，
若（x2+ax）•（x2+ax+2）＝0，
则x2+ax＝0或x2+ax+2＝0，
若x2+ax＝0，则x＝0或x+a＝0，
当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意；
当a≠0时，x2+ax＝0对应的根为0和﹣a，
若C（B）＝3，则有以下两种情况，
①当x2+ax+2＝0有两个相等的实数根时，
Δ＝a2﹣8＝0，
解得a＝±2，
当a＝2时，B＝{0，﹣，﹣2}，
C（B）＝3，符合题意；
当a＝﹣2时，B＝{0，，2}，
C（B）＝3，符合题意；
②当x2+ax+2＝0有两个不相等的实数根时，
则﹣a是x2+ax+2＝0的一个根，
即（﹣a）2+a•（﹣a）+2＝0，
无解；
综上所述，S＝{0，2，﹣2}；
故C（S）＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了新定义的应用及分类讨论的思想方法的应用，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2023•福建二模）对任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y＝[x]为高斯函数，又称取整函数．如下m个数：[]，[]，[]，…，[]可组成一个72元集合，则下列m的取值中不满足要求的有（　　）
A．100 B．105 C．110 D．115
【分析】由取整函数及集合的定义，转化为[]，[]，[]，[]，…，[]可组成一个72元集合，分两类判断元素的个数即可．
【解答】解：∵[]＝[]+1，
∴[]，[]，[]，…，[]可组成一个72元集合可转化为
[]，[]，[]，[]，…，[]可组成一个72元集合，
令﹣≥1得，
n≤44；
故[]，[]，[]，[]，…，[]各不相同，共有45个数；
而[]＝44，[]＝43，[]＝43，
而72﹣45＝27，43﹣27+1＝17，
故[]＝17，
故17≤＜18，
故＜m≤，
而≈112.3，＝119；
故113≤m≤119，
故选项A，B，C不满足要求．
故选：ABC．
【点评】本题考查了取整函数及集合的性质的应用，同时考查了分类讨论的思想的应用，属于中档题．
三．填空题（共1小题）
5．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜8，x∈N}，则满足条件A⊆C⫋B的集合C的个数为 　31　个．
【分析】本题考查集合的包含关系，先将A，B化简，再有A⊆C⫋B，结合真子集和子集的定义即可得出．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0，x∈R}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜8，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6，7}，
∵A⊆C，
∴1∈C，2∈C，
又∵C⫋B
∴集合C中一定含有1，2，且1，2，3，4，5，6，7不能都含有，
满足条件A⊆C⫋B的集合C的个数即为求集合{3，4，5，6，7}的真子集的个数，
即条件A⊆C⫋B的集合C的个数为25﹣1＝31．
故答案为：31．
【点评】本题考查了集合真子集和子集的定义，是基础题．
四．解答题（共5小题）
6．（2022秋•松山区月考）已知集合A＝{x|＜1}，集合B＝{x|（x﹣m）（x﹣m﹣1）＜0}．
（1）求集合A，B；
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
【分析】（1）将分式不等式转化为（x+2）（x﹣2）＜0，结合一元二次不等式的解法，即可求出集合A、B，即可得出答案；
（2）由（1）得A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|m＜x＜m+1}，列出关于实数m的不等式组，求解即可得出答案．
【解答】解（1）∵A＝{x|＜1}，
由＜1得（x+2）（x﹣2）＜0，解得﹣2＜x＜2，故A＝{x|﹣2＜x＜2}，
∵B＝{x|（x﹣m）（x﹣m﹣1）＜0}，
∴B＝{x|m＜x＜m+1}；
（2）由（1）得A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|m＜x＜m+1}，
∵B⊆A，
∴，解得﹣2≤m≤1，
故实数m的取值范围是{x|﹣2≤m≤1}．
【点评】本题考查集合的计算和包含关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．（2022秋•忻州月考）设A是正实数集的非空子集，称集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A且x≠y}为集合A的孪生集．
（1）当A＝{2，5，7}时，写出集合A的孪生集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集B＝{6，8，14，16，21，24}，并说明理由．
【分析】（1）由孪生集的定义求解即可；
（2）不妨设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，由不等式的性质可得a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，即集合B中元素个数至少为7，则集合B的子集个数的最小值为27，得解；
（3）假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其孪生集B＝{6，8，14，16，21，24}，不妨设A＝{a，b，c，d}，且0＜a＜b＜c＜d，结合不等式的性质可得ab＝6，cd＝24，ac＝8，bd＝21，则abcd＝6×24＝144，acbd＝8×21＝168，然后推出矛盾即可．
【解答】解：（1）已知A是正实数集的非空子集，称集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A且x≠y}为集合A的孪生集，
又A＝{2，5，7}，
则集合A的孪生集B＝{10，14，35}；
（2）已知A是由5个正实数构成的集合，
不妨设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
由不等式的性质可得a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，
即集合B中元素个数至少为7，
则集合B的子集个数的最小值为27＝128，
即孪生集B的子集个数的最小值为128；
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其孪生集B＝{6，8，14，16，21，24}，
不妨设0＜a＜b＜c＜d，
则ab＝6，cd＝24，ac＝8，bd＝21，
则abcd＝6×24＝144，acbd＝8×21＝168，
又144≠168，
即假设不成立，
即不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集B＝{6，8，14，16，21，24}．
【点评】本题考查了集合及其子集，重点考查了不等式的性质，属中档题．
8．（2022秋•闵行区校级月考）设A为非空集合，定义A×A＝{（x，y）|x，y∈A}（其中（x，y）表示有序对），称A×A的任意非空子集R为A上的一个关系．例如A＝{0，1，2}时，A×A与{（0，0），（2，1）}都是A上的关系．
设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
①（自反性）若对任意x∈A，有（x，x）∈R，则称R在A上是自反的；
②（对称性）若对任意（x，y）∈R，有（y，x）∈R，则称R在A上是对称的；
③（传递性）若对任意（x，y），（y，z）∈R，有（x，z）∈R，则称R在A上是传递的．
如果A上关系R同时满足上述3条性质，则称R为A上的等价关系．
任给集合S1，S2，…，Sm，定义S1∪S2∪…∪Sm为{x|x∈S1，x∈S2，…，或x∈Sm}．
（1）若A＝{0，1，2}，问：A上关系有多少个？A上等价关系有多少个？（不必说明理由）
（2）若集合A有n个元素（n≥1），A的非空子集A1，A2，…，Am（1≤m≤n）两两交集为空集，且A＝A1∪A2∪…∪Am，求证：R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（Am×Am）为等价关系．
（3）若集合A有n个元素（n≥1），问：对A上的任意等价关系R，是否存在A的非空子集A1，A2，…，Am（1≤m≤n），其中任意两个交集为空集，且A＝A1∪A2∪…∪Am，使得R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（Am×Am）？请判断并说明理由．
【分析】（1）先用列举法写出集合A×A，其非空子集个数即为其关系个数．等价关系也可用例举法列出来．
（2）要证R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（Am×Am）为集合A上的等价关系，只需证集合R在集合A上上满不满足自反性、对称性、传递性．
（3）只需判断针对集合A上包含不同元素个数的子集Ai对应的集合（Ai×Ai）⊆R即可．
【解答】解：（1）由题意得，A×A＝{（0，0），（0，1），（1，0），（1，1 ），（0，2），（2，0），（2，2），（1，2），（2，1）}，共有9个元素，
则有29﹣1＝512﹣1＝511个非空子集，即A上的关系有511个．
所有等价关系R1＝{（0，0），（1，1），（2，2）}，
R2＝{（0，0），（1，1），（2，2），（0，1），（1，0）}，
R3＝{（0，0），（1，1），（2，2），（0，2），（2，0）}，
R4＝{（0，0），（1，1），（2，2），（2，1），（1，2 ）}，
R5＝{（0，0），（1，1），（2，2），（0，1），（1，0），（0，2），（2，0），（2，1），（1，2）}，共有 5个．
（2）证明：令A＝{a1，a2，a3，…，an}（n≥1），
因为A的非空子集A1，A2，…，Am（1≤m≤n）两两交集为空集，且A＝A1∪A2∪…∪Am，
设as∈As（1≤s≤m≤n），则除了集合As外，其余集合不包含as，
则{（as，as）}⊆（As×As），又因为（As×As）⊆（A1×A1）∪（A2×A2）∪...∪（Am×Am），
则（as，as）∈R，即R在A上是自反的．
设as，at∈A（1≤t≤m≤n），则除了集合At外，其余集合不包含as，at，
则{（as，at），（at，as）}⊆（At×At），又因为（At×At），（At×At）⊆（A1×A1）∪（A2×A2）∪...∪（Am×Am）；
则（as，at）∈R，（at，as）∈R，即R在A上是对称的．
设as，at，ak∈A（1≤k≤m≤n），则除了集合Ak外，其余集合不包含as，at，ak，
则{（as，at），（as，ak），（at，as）}⊆（Ak×Ak），
又因为（Ak×Ak）⊆）⊆（A1×A1）∪（A2×A2）∪...∪（Am×Am）；
则{（as，at）∈R，（as，ak）∈R，（at，as）∈R，即R在A上是传递的；
综上所述，R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪...∪（Am×Am）为A上的等价关系．
（3）令A＝{a1，a2，a3，…，an}（n≥1），
因为R为A上的等价关系，则R为集合A×A＝{（x，y）|x，y∈A}的非空子集，
因为A的非空子集A1，A2，…，Am（1≤m≤n）两两交集为空集，且A＝A1∪A2∪…∪Am，
设as∈As（1≤s≤m≤n），则除了集合As外，其余集合不包含as，
则∀as∈As，必有（as，as）∈R，则（As×As）⊆R，
设ak，at∈A（1≤k≤t≤m≤n），则除了集合At外，其余集合不包含ak，at，
则（ak，ak）∈R，（at，at）∈R，（ak，at）∈R，∴（At×At）⊆R，
设ax，ay，az∈Ax（1≤x≤y≤z≤m≤n），则除了集合Ax外，其余集合不包含ax，ay，az，
则{（ax，ax），（ay，ay），（az，az）}⊆R，则（ax，ay）∈R，（ay，az）∈R，（ax，az）∈R，故（Ax×Ax）⊆R，
∴不管集合Ai（1≤i≤m≤n）中有几个元素，都能保证（Ax×Ax）⊆R，
则R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪...∪（Am×Am）；
综上所述，对A上的任意等价关系R，存在A的非空子集A1，A2，…，Am，（1≤m≤n），
其中任意两个交集为空集，且A＝A1∪A2∪…∪Am，
使得R＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪...∪（Am×Am）．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于中档题．
9．（2022秋•浦东新区校级期中）对于集合X，定义X﹣X＝{y|y＝x﹣x'，x，x'∈X}，设S＝{1，2，3，⋯，20}．
（1）设A1＝（3，4，6），A2＝{3，5，6}，求A1﹣A1，A2﹣A2；
（2）若B是S的子集且B﹣B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，求满足条件的B的个数；
（3）设n是正整数，若对S的任意一个n元子集C，都有{1，2，3}⊆C﹣C，求n的最小值．
【分析】第一问直接用列举法可得，第二，三问统一列表格，即可直观求出结果．
【解答】解：（1）由A1＝（3，4，6），则A1﹣A1如下表①，A2＝{3，5，6}，则A2﹣A2如下表②，行表示x，列表示x′，
y＝x﹣x′
3
4
6
3
0
1
3
4
﹣1
0
2
6
﹣3
﹣2
0
①
y＝x﹣x′
3
5
6
3
0
2
3
5
﹣2
0
1
6
﹣3
﹣1
0
②
则A1﹣A1＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，123}，A2﹣A2＝{﹣3，﹣2，﹣10，12，3}；
（2）由S＝{1，2，3，⋯，20}，则S﹣S如下表：行表示x，列表示x′，空白处为其它元素，
y＝x﹣x′
1
2
3
4
5
6
……
15
16
17
18
19
20
1
0
1
2
3












…………………






2
﹣1
0
1
2
3







3
﹣2
﹣1
0
1
2
3






4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2






5

﹣3
﹣2
﹣1
0
1






6


﹣3
﹣2
﹣1
0






7



﹣3
﹣2
﹣1






8




﹣3
﹣2






9





﹣3






10












11












12






3





13






2
3




14






1
2
3



15






0
1
2
3


16






﹣1
0
1
2
3

17






﹣2
﹣1
0
1
2
3
18






﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
19







﹣3
﹣2
﹣1
0
1
20








﹣3
﹣2
﹣1
0
要使B是S的子集且B﹣B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，即在S任选几个元素，它们在上表中所得的元素x﹣x'恰好为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，
由上表知：最多只可取连续的4个元素，如：B＝{1，2，3，4}、B＝{2，3，4，5}等，否则B﹣B会出现除﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3之外的元素，
所以，取连续的4个元素时，集合B共有17种：
以{3，4，5，6}为例，由（1）知：B＝{3，4，6}、B＝{3，5，6}有B﹣B＝{﹣3﹣2，﹣1，0，1，2，3}，而B＝{3.4.5}、B＝{4，5，6}不符合要求，
所以4个连续元素中有两个3元子集符合要求，故取连续的4个元素中3个元素所得集合B有17×2＝34种：
集合B不可能小于3个元素，若小于3个元素，则B﹣B的元素个数小于等于3个且必含元素0，不合要求；
综上，满足条件的B的个数共有51个；
（3）由（2）分析知：对S的任意一个n元子集C都有{1，2，3}⊆C﹣C，则n≥3，所以n的最小值为3．
【点评】本题考查子集定义、新定义，考察缜密的逻辑思维能力，属于难题．
10．（2023•延庆区一模）已知n为正整数，集合A＝{α|α＝（x1，x2，…，x2n），xi∈{﹣1，1}，i＝1，2，…，2n}具有性质P：“对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x2n），x1+x2+…+x2n＝0，且x1+x2+…+xi≥0，其中i＝1，2，…，2n﹣1”．集合A中的元素个数记为|P（A）|．
（Ⅰ）当n＝2时，求|P（A）|；
（Ⅱ）当n＝9时，求x1+x2+…+x9的所有可能的取值；
（Ⅲ）给定正整数n，求|P（A）|．
【分析】（Ⅰ）n＝2时，写出集合A中的元素为α1和α2，求出|P（A）|；
（Ⅱ）n＝9时，首先证明x1＝1，且x18＝﹣1，再推导出x1+x2+…+x9＝9为最大值，x1+x2+…+x9＝1为最小值，进而通过“移位”的方法，可得x1+x2+…+x9的所有可能的取值；
（Ⅲ）由题设，在x1，x2，…，x2n中，有n个+1，n个﹣1，从x1，x2，…，x2n中选n个+1，其余为﹣1的种数共有种，减去不满足x1+x2+…+xi≥0（i＝1，2，…，2n﹣1）的个数，即为|P（A）|．
【解答】解：（Ⅰ）n＝2时，集合A中的元素为α1＝（1，﹣1，1，﹣1），α2＝（1，1，﹣1，﹣1），
所以|P（A）|＝2．
（Ⅱ）n＝9时，首先证明x1＝1，且x18＝﹣1，
在x1+x2+…+xi≥0中，令i＝1，得x1≥0，从而有x1＝1，
在x1+x2+…+xi≥0中，令i＝17，得x1+x2+…+x17≥0．
又x1+x2+…+x18＝0，故x18＝﹣（x1+x2+…+x17）≤0，从而有x18＝﹣1，
考虑α＝（1，…，1，﹣1，…，﹣1），即x1＝x2＝…＝x9＝1，x10＝x11＝…＝x18＝﹣1，
此时x1+x2+…+x9＝9为最大值，
现交换x9与x10，使得x9＝﹣1，x10＝1，此时x1+x2+…+x9＝7，
现将x9＝﹣1逐项前移，直至x2＝﹣1，在前移过程中，显然x1+x2+…+x9＝7不变，这一过程称为1次“移位”，
依此类推，每次“移位”，x1+x2+…+x9的值依次递减2，经过有限次移位，x1，x2，…，x9 一定可以调整为1，﹣1交替出现．
注意到n＝9为奇数，所以x1+x2+…+x9＝1为最小值，
所以x1+x2+…+x9的所有可能取值为1，3，5，7，9．
（Ⅲ）由题设，在x1，x2，…，x2n中，有n个+1，n个﹣1，
显然，从x1，x2，…，x2n中选n个+1，其余为﹣1的种数共有种．
下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足x1+x2+…+xi≥0（i＝1，2，…，2n﹣1），记该数为tn，
如果x1，x2，…，x2n不满足x1+x2+…+xi≥0（i＝1，2，…，2n﹣1），
则一定存在最小的正整数s（s≤n），使得x1+x2+…+x2s﹣2＝0，且x2s﹣1＝﹣1，
将x1，x2，…，x2s﹣1统统改变符号，这一对应为：
x1，x2，…，x2s﹣1，x2s，…，x2n→﹣x1，﹣x2，…﹣x2s﹣1，x2s，…，x2n，
从而将x1，x2，…，x2n 变为n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组．
因此，tn就是n+1个+1，n﹣1个﹣1组成的有序数组的个数，即，
所以．
【点评】本题考查集合新定义，考查元素个数的求法，考查学生逻辑思维能力，属于难题．

十四、 推出法解充分必要条件
一．选择题（共4小题）
1．（2023•水富市校级模拟）“θ为第一或第四象限角”是“cosθ＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据x轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案．
【解答】解：cosθ＞0时，θ为第一或第四象限角或x轴正半轴上的角，
当θ为第一或第四象限角时，cosθ＞0，充分性成立，
但必要性不成立，
所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的符合，充分必要条件，属于基础题．
2．（2023•涪城区校级模拟）已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件．若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为（　　）
A．B为C的必要条件 B．B为A的必要条件
C．C为D的充分条件 D．B为D的必要条件
【分析】先由题设条件得到A⇐B，B⇒C，C⇐D，D⇐A，再利用充要条件的传递性，对选项逐一分析即可．
【解答】解：因为A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件，
所以A⇐B，B⇒C，C⇐D，D⇐A，即A⇐B⇒C⇐D⇐A，
对于A，若B为C的必要条件，即B⇐C，则A⇐B⇔C⇐D⇐A，
所以A、B、C、D互为充要条件，则A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，故A正确；
对于B，若B为A的必要条件，即B⇐A，则A⇔B⇒C⇐D⇐A，易得B不是C的必要条件，故B错误；
对于C，若C为D的充分条件，即C⇒D，则A⇐B⇒C⇔D⇐A，易得B不是C的必要条件，故C错误；
对于D，若B为D的必要条件，即B⇐D，则A⇐B⇒C⇔D⇐A且B⇐D，易得B不是C的必要条件，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件，属于基础题．
3．（2023•郑州模拟）已知a为实数，则“a＞log23”是“|a|＞log34”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用充分不必要条件的定义判断求解即可．
【解答】解：|a|＞log34可得a＞log34或a＜﹣log34，
∵log23＞log22＝，log34＜log33＝，
∴“a＞log23”是“|a|＞log34”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查对数的大小比较，属于基础题．
4．（2023•让胡路区校级二模）已知0＜α＜π，0＜β＜π，0＜γ＜π，则“tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ”是“α，β，γ为某斜三角形的三个内角”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用两角和差公式，适当的变形即可判断是什么条件．
【解答】解：α，β，γ为某斜三角形的三个内角，则α+β＝π﹣γ，
∴tan（α+β）＝tan（π﹣γ）＝﹣tanγ，
＝﹣tanγ，
整理得tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ，
又此三角形为斜三角形，无需考虑直角，
所以必要性成立；
若tanα+tanβ+tanγ＝tanα•tanβ•tanγ，
则tanα（1﹣•tanβ•tanγ）＝﹣（tanβ+tanγ）
则﹣tanα＝＝tan（β+γ），
若α＝β＝γ＝，上式也成立，但不能作为三角形的三个内角，
所以充分性不成立．
故应为必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查两角和差公式，考查充分必要条件，属于中档题．
二．填空题（共1小题）
5．（2022春•南阳期中）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过C城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过B城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过，由此可以判断乙去过的城市为 　A城市　．
【分析】由题意先判断丙去的地方，再有甲乙的说可知乙去的城市．
【解答】解：由甲，乙和丙说的可知，丙去过C城市，甲去的A，B城市，所以乙去的A城市，
故答案为：A城市．
【点评】本题考查合情推理的简单应用，属于基础题．
三．解答题（共2小题）
6．（2022秋•碑林区期末）已知命题p：函数的定义域为R，命题q：对任意实数x，y＝（2m﹣b）x是增函数；
（1）若p是q的充分不必要条件，求b的取值范围；
（2）当b＝3时，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．
【分析】（1）p所对应的集合是q对应集合的子集；（2）由已知，可得p，q一真一假，从而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）命题p：函数的定义域为R，
即4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，
则16（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3，
对于命题q：y＝（2m﹣b）x是增函数，
所以，
因为p是q的充分不必要条件，
所以，所以b≤1；
（2）命题p为真：1＜m＜3，命题q为真：b＝3⇒m＞2．
因为命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假，
p为假，q为真：，或p为真，q为假
解得m≥3或1＜m≤2，
∴m≥3或1＜m≤2．
故m的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）
【点评】本题考查充分必要条件，命题的真假，一元二次不等式的解法，属于基础题．
7．（2022秋•成都期末）已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线，命题q：a＜m＜a+4．
（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
（2）若a＝2，p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用焦点在x轴上的双曲线的特点：x2项对应的分母为正，y2项对应的分母为负确定范围；（2）p∧q假，p∨q为真，可得p，q一真一假，从而确定实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由方程表示焦点在x轴上的双曲线，可得，
∵p是q的充分不必要条件，∴（1，3）⊂（a，a+4），∴，
经检验，﹣1≤a≤1满足题意，∴实数a的取值范围为：[﹣1，1]；
（2）易得p：1＜m＜3，q：2＜m＜6，又p∧q假，p∨q为真，∴p，q一真一假，
当p真q假时有：1＜m＜3，且m≤2或m≥6，得1＜m≤2，
当p假q真时有，m≤1或m≥3，且2＜m＜6，得3≤m＜6，
综上所述，实数m的取值范围为：（1，2]∪[3，6）．
【点评】本题考查双曲线方程，考查简易逻辑，属于基础题．
十五、 集合法解充分必要条件
一．选择题（共2小题）
1．（2023•鼓楼区校级模拟）设p：4x﹣3＜1；q：x﹣（2a+1）＜0，若p是q的充分不必要条件，则（　　）
A．a＞0 B．a＞1 C．a≥0 D．a≥1
【分析】先解不等式得到命题p和q，再利用充分不必要条件的定义求解即可．
【解答】解：∵p：4x﹣3＜1，∴x＜1，
∵q：x﹣（2a+1）＜0，∴x＜2a+1，
∵p是q的充分不必要条件，
∴（﹣∞，1）⫋（﹣∞，2a+1），
∴2a+1＞1，∴a＞0，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法，充要条件的应用，属于基础题．
2．（2023•渝中区校级一模）已知，则p是q的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】解出p中的x的范围，结合集合的包含关系，判断即可．
【解答】解：关于p：，
∴，解得：﹣2＜x≤1，
q：﹣2≤x≤1，
那么p是q的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了解不等式问题，考查集合的包含关系，是一道基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）3．（2022秋•昌江区校级期末）不等式log5（3﹣2x）＜1成立的必要不充分条件是（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，+∞）
【分析】不等式log5（3﹣2x）＜1成立的必要不充分条件设为集合B，原不等式的解集为集合A，根据已知有A⊆B，由此可判断．
【解答】解：log5（3﹣2x）＜1可化为log5（3﹣2x）＜log55，
∴0＜3﹣2x＜1，∴1＜x＜，设为集合A＝（1，），
不等式log5（3﹣2x）＜1成立的必要不充分条件设为集合B，
则A⊆B，则C，D项符合．
故选：CD．
【点评】本题考查对数不等式的解法，考查充分必要条件，属于基础题．
三．填空题（共2小题）
4．（2022秋•呼和浩特期末）函数的定义域是A，函数y＝log2x的定义域为B，则x∈A是x∈B的 　必要不充分　条件（填写充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中的一个）．
【分析】利用必要不充分的定义求解即可．
【解答】解：令x2+x＞0，解得x＞0或x＜﹣1，
可得：A＝{x|x＞0或x＜﹣1}，B＝{x|x＞0}，
则x∈A是x∈B的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
【点评】本题考查充分必要条件，考查函数的定义域，属于基础题．
5．（2022•昆明一模）若“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的值可以是 　0　．（写出满足条件a的一个值即可）
【分析】若“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，则若“x＜2”表示的范围比“x＜a”表示的范围大，以此可解决此题．
【解答】解：因为“x＜2”是“x＜a”的必要不充分条件，所以“x＜2”表示的范围比“x＜a”表示的范围大，
当a＝0时满足．
故答案为：0．
【点评】本题考查充分、必要条件的应用，考查数学运算能力，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
6．（2022秋•西昌市期末）已知p：x2﹣4x+3≤0，q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0．
（1）若a＝2命题p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分别把两个集合明确表示出来，根据p∧q为真命题，求集合P，Q的交集即可；
（2）p是q的必要不充分条件，则Q⫋P，由此可求a的取值范围．
【解答】解：记集合P＝{x|1≤x≤3}，Q＝{x|a≤x≤a+1}
（1）a＝2时，Q＝{x|2≤x≤3}，∵p∧q为真，即求P，Q的交集，
∴x∈P∩Q＝{x|2≤x≤3}；
（2）∵p是q必要不充分条件
∴Q⫋P，∴，∴1≤a≤2．
则a的取值范围为[1，2]．
【点评】本题考查充分必要条件，考查命题的真假，属于基础题．
7．（2022秋•淮安期中）已知p：A＝，q：B＝{x|x2+x﹣m（m﹣1）≤0，m＞}，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】首先把两个集合先确定一下，然和根据子集关系确定字母的范围．
【解答】解：A＝，A＝[﹣2，1]．
∵x2+x﹣m（m﹣1）≤0，∴（x+m）[x+（1﹣m）]≤0，
∵，∴﹣m＜m﹣1，∴﹣m≤x≤m﹣1，∴B＝[﹣m，m﹣1]．
∵p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，
∴或，∴m＜2．
又m，∴．
则实数m的范围为：（，2）．
【点评】本题考查必要不充分条件，子集定义，属于基础题．
8．（2022秋•遂宁月考）已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合B．
（1）当a＝1时，求A∩B；
（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分别求出函数f（x）的值域和g（x）的定义域，即可得出答案；
（2）根据p是q的充分不必要条件，转化为A⫋B，即可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝1时，则，
由题意，解得x＜1或x≥2，
∴函数g（x）的定义域B＝{x|x＜1或x≥2}，
又函数的值域为集合A，
∴A＝（﹣3，2]，
∴A∩B＝（﹣3，1）∪{2}；
（2）由题意，即，
解得x≥a+1或x＜a，
∴B＝{x|x≥a+1或x＜a}，
由（1）得A＝（﹣3，2]，
又A⫋B，
∴a＞2或a+1≤﹣3，解得a＞2或a≤﹣4，
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪（2，+∞）．
【点评】本题考查函数的定义域、值域以及充分条件、必要条件，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9．（2022秋•四川月考）设函数f（x）＝x3﹣ax2﹣4x+1．已知p：f（x）在[﹣1，2]单调递减；q：存在x∈[1，m]，使得f′（x）＝0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若p是真命题，求a的取值范围；
（2）若“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，求m的取值范围．
【分析】（1）求出f'（x）＝x2﹣ax﹣4，若p为真命题，转化为f'（x）≤0在[﹣1，2]上恒成立，则，求解即可得出答案；
（2）若q是真命题，转化为a＝x﹣在x∈[1，m]上有解，构造函数g（x）＝x﹣，可得g（x）在[1，m]上单调递增，可得a的取值范围，转化为用集合法解决充分不必要条件，列出关于m的不等式组，即可得出答案．
【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣ax2﹣4x+1，则f'（x）＝x2﹣ax﹣4，
若p为真命题，转化为f'（x）≤0在[﹣1，2]上恒成立，
∴，即，解得0≤a≤3，
故实数a的取值范围为[0，3]；
（2）若q是真命题，即存在x∈[1，m]，使得x2﹣ax﹣4＝0，转化为a＝x﹣在x∈[1，m]上有解，
令g（x）＝x﹣，x∈[1，m]，
∴g（x）在[1，m]上单调递增，
∴当x＝1时，g（x）min＝g（1）＝1﹣4＝﹣3，
当x＝m时，g（x）max＝g（m）＝m﹣，
∴当命题q为真命题时，a的取值范围为[﹣3，m﹣]，
“p是真命题”是“q是真命题”的充分不必要条件，即p⇒q，q推不出p，
由（1）得[0，3]⫋[﹣3，m﹣]，且m＞1，
∴，解得m≥4，
故实数m的取值范围为[4，+∞）．
【点评】本题考查导数的概念、命题的真假和充分条件、必要条件，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，考查分离变量法和构造法，属于中档题．
10．（2022秋•武清区校级月考）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣2≤x≤4}，全集U＝R，若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】利用集合法求解此题，即利用A⊂B构造a的不等式组即可．
【解答】解：若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则A⊂B，
①当A＝Φ时，即a﹣1＞2a+3，解得a＜﹣4，此时A⊂B；
②当A≠Φ时，只需，解得﹣1，
综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]．
【点评】本题考查利用集合间的关系判断充分性与必要性问题，属于基础题．
11．（2022秋•海门市期中）已知集合，．
（1）求集合A；
（2）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）将含对数的不等式转化为整式不等式求解即可；
（2）求出（x﹣a﹣1）（x+1）＞0，分a＜﹣2，a＝﹣2，a＞﹣2讨论，通过集合的包含关系列式计算即可．
【解答】解：（1）由可得，
即（2log4x﹣1）（log2x﹣3）≤3，
即（log2x﹣1）（log2x﹣3）≤3
令t＝log2x，
得（t﹣1）（t﹣3）≤3，
即t2﹣4t≤0，
解得0≤t≤4，
即0≤log2x≤4，得1≤x≤16，
故A＝[1，16]；
（2）因为p是q的充分不必要条件，
所以A⫋B，
又由得，
即，
即（x﹣a﹣1）（x+1）＞0，
①当a+1＜﹣1，即a＜﹣2时，B＝（﹣∞，a+1）∪（﹣1，+∞），
此时必有[1，16]⫋（﹣∞，a+1）∪（﹣1，+∞）；
②当a+1＝﹣1，即a＝﹣2时，B＝（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
此时必有[1，16]⫋（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；
③当a+1＞﹣1，即a＞﹣2时，B＝（﹣∞，﹣1）∪（a+1，+∞），
又[1，16]⫋（﹣∞，﹣1）∪（a+1，+∞），
则a+1＜1，
即a＜0，
即﹣2＜a＜0，
综合①②③可得：实数a的取值范围为（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了充分必要条件，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型．
八、充分、必要条件的应用
一．选择题（共3小题）
1．（2023•天津二模）“|x|＜1”是“x3＜1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分不必要条件的定义求解．
【解答】解：|x|＜1即﹣1＜x＜1，x3＜1即x＜1，
因为﹣1＜x＜1能推出x＜1，而x＜1不能推出﹣1＜x＜1，
所以“|x|＜1”是“x3＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分不必要条件的判断，考查不等式的应用，属于基础题．
2．（2023•南昌县校级二模）下列四个命题中，正确的个数有（　　）
①两个变量间的相关系数|r|越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∉R，均有x2+x+1＞0”；
③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
④若函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1有极值0，则a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①根据两个变量间的相关系数与两变量间的线性相关程度越低，可知①正确的关系即可判断出正误；
②根据命题的否定，即可判断出正误；
③命题“p∧q为真”⇒命题“p∨q为真”，反之不正确，即可判断出正误；
④利用导数的运算法则可得f′（x）＝3x2+6ax+b，根据函数f（x）在x＝﹣1有极值0，可得f′（﹣1）＝3﹣6a+b＝0，f（﹣1）＝﹣1+3a﹣b+a2＝0，解得a，b，即可判断出正误．
【解答】解：①两个变量间的相关系数|r|越小，说明两变量间的线性相关程度越低，可知①正确；
②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此②不正确；
③命题“p∧q为真”⇒命题“p∨q为真”，反之不正确，∴命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，因此③不正确；
④f（x）＝x3+3ax2+bx+a2，f′（x）＝3x2+6ax+b，
∵函数f（x）在x＝﹣1有极值0，
∴f′（﹣1）＝3﹣6a+b＝0，f（﹣1）＝﹣1+3a﹣b+a2＝0，
解得a＝2，b＝9或a＝1，b＝3．
检验：a＝1，b＝3时，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0，
函数f（x）在R上单调递增，不满足函数f（x）在x＝﹣1有极值0，舍去．
因此④不正确．
综上：只有①正确．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、简易逻辑的判定方法、两个变量间的相关系数与两变量间的线性相关程度的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．（2023•白山三模）已知等比数列{an}的公比的平方不为1，bn∈N*，则“是等比数列”是“{bn}是等差数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由题意设等比数列{an}的公比为q，若“是等比数列”，则可得为常数，可证得{bn}为等差数列，反之也成立，可判断“是等比数列”是“{bn}为等差数列”的充要条件．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，若“是等比数列”，则＝＝q为常数，所以bn+1﹣bn为常数，可得{bn}为等差数列，这时“是等比数列”是“{bn}是等差数列”充分条件；
若{bn}为等差数列，设公差为d，则＝＝q＝qd为常数，所以“是等比数列”，这时“是等比数列”是“{bn}是等差数列”必要条件，
综上所述：“是等比数列”是“{bn}是等差数列”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列，等差数列的应用及充要条件的证明方法，属于基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）4．（2022秋•诸暨市期末）“直线l：y＝kx+b和圆O：x2+y2＝2有公共点”的一个充分不必要要条件是（　　）
A．b＝1 B．k＝1 C．b2﹣k2≤1 D．b2﹣2k2≤2
【分析】由已知，利用点线距公式列出不等式，逐一检验选项可得答案．
【解答】解：由直线l：y＝kx+b和圆O：x2+y2＝2有公共点，
可得圆心到直线的距离d＝≤，即|b|≤，
当b＝1时显然成立，A正确；
当k＝1时，需满足|b|≤2，B错误；
当b2﹣k2≤1时，b2≤k2+1≤2k2+2，C正确；
当b2﹣2k2≤2是“直线l：y＝kx+b和圆O：x2+y2＝2有公共点”的充要条件，D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查充分必要条件，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
三．解答题（共2小题）
5．（2022秋•广安区校级期末）已知方程（m∈R）表示双曲线．
（1）求实数m的取值集合A；
（2）关于x不等式x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0的解集记为B，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）已知方程（m∈R）表示双曲线，则m（4﹣m）＜0，然后求解即可；
（2）由题意可得B＝{x|a＜x＜a+1}，又x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B⫋A，即a≥4或a+1≤0，然后求解即可．
【解答】解：（1）已知方程（m∈R）表示双曲线，
则m（4﹣m）＜0，
即m＜0或m＞4，
即集合A＝{m|m＜0或m＞4}；
（2）由题意可得B＝{x|a＜x＜a+1}，
又x∈B是x∈A的充分不必要条件，
则B⫋A，
即a≥4或a+1≤0，
即实数a的取值范围为{|a≥4或a≤﹣1}．
【点评】本题考查了充分必要条件，重点考查了双曲线的性质，属基础题．
6．（2022秋•城关区校级期末）已知命题p：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0；命题q：方程y2＝（m2﹣6m+8）x表示经过第二、三象限的抛物线．
（1）当a＝1时，若命题p为假，且命题q为真，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由a＝1，结合命题p为假，命题q为真，建立m的不等式求解；
（2）根据充分与必要条件概念，建立m的不等式求解．
【解答】解：由题意，命题p中，由m2﹣4am+3a2＜0，可得（m﹣a）（m﹣3a）＜0，
因为a＞0，所以a＜m＜3a，即命题p：a＜m＜3a，
命题q中，由方程y2＝（m2﹣6m+8）x表示经过第二、三象限的抛物线，
可得m2﹣6m+8＜0，∴（m﹣2）（m﹣4）＜0，解得2＜m＜4，
即命题q：2＜m＜4，
（1）若a＝1，可得命题p：1＜m＜3，
因为命题p为假且q为真命题，所以，解得3≤m＜4，
所以的m的取值范围为[3，4）．
（2）由p是q的必要不充分条件，即Q＝（2，4）⫋P＝（a，3a），（a＞0），
由（1）可得，解得，经检验和a＝2满足条件，
所以实数a的取值范围是．
【点评】本题考查命题的真假的概念，充分与必要条件的概念，属基础题．
九、量词命题及其否定
1．（2023•新城区校级模拟）已知命题p：∃x＞0，x2﹣x﹣1≤0，命题q：∀x∈R，ex﹣1＞0，则下列是真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∨q C．￢p∧￢q D．p∧￢q
【分析】分别判断p，q命题的真假，再逐项判断即可．
【解答】解：x2﹣x﹣1≤0，≤x≤，则∃x＞0，x2﹣x﹣1≤0，p为真命题，
ex﹣1＞0，ex＞1，∴x＞0，则q为假命题，
则 p∧q 为假命题，￢p为假命题，￢p∨q，￢p∧￢q为假命题，
￢q是真命题，p∧￢q为真命题．
故选：D．
【点评】本题考查命题的真假，属于基础题．
2．（2023•丰城市模拟）下列叙述中，错误的是（　　）
A．命题“∃x0＞0，lnx0＝x0﹣1”的否定是“∀x＞0，lnx≠x﹣1”
B．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题
C．命题“不等式f（x）＜g（x）恒成立”等价于“[f（x）]max＜[g（x）]min”
D．已知三角形ABC中，角C为钝角，则sinA＜cosB
【分析】A选项：根据含有一个量词的否定判断即可；B，原命题与其逆否命题同真同假；C，等价于“[f（x）﹣g（x）]max＜0”；D，根据0＜A+B＜，及正弦函数的单调性可判断．
【解答】解：A正确，∃改成∀，同时对命题否定；
B：原命题正确，其逆否命题也正确，B项正确；
C：命题“不等式f（x）＜g（x）恒成立”等价于“[f（x）]max＜[g（x）]min”，
应等价于“[f（x）﹣g（x）]max＜0”，故C错误；
D：角C为钝角，则0＜A+B＜，∴0＜A＜﹣B＜，
y＝sinx在（0，）上单调递增，则有sinA＜sin（﹣B）＝cosB，
即sinA＜cosB，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查命题的判断，考查不等式恒成立，三角函数的单调性，属于中档题．
二．多选题（共1小题）
（多选）3．（2022秋•保定期末）下列结论不正确的有（　　）
A．不等式﹣x2+x﹣4＞0的解为∅
B．“∃x∈N*，x2﹣1＜0”是真命题
C．“α＜β”是“sinα＜sinβ”的充分不必要条件
D．若y＝f（x）为R上的奇函数，则y＝xf（x）为R上的偶函数
【分析】根据选项特点，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：对于A：﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣）2﹣＜0，故不等式﹣x2+x﹣4＞0的解为∅，故A正确；
对于B：x∈N*，x2﹣1在[1，+∞）上单调递增，则x2﹣1≥0，故B错误；
对于C：令α＝60°，β＝240°，α＜β，则sinα＝sin60°＝＞sin240°，故“α＜β”不一定能推出“sinα＞sinβ”，即“α＜β”是“sinα＜sinβ”不充分条件，
sin150°＝＜sin60°，此时α＝150°，β＝60°，故“sinα＜sinβ”是“α＜β”不必要条件，故“α＜β”是“sinα＜sinβ”既不充分不必要条件，故C错误；
对于D：∵y＝f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
∴令g（x）＝xf（x），g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），故y＝xf（x）为R上的偶函数，故D正确，
故选：BC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
三．填空题（共1小题）
4．（2022秋•西山区期末）命题“∃a∈[﹣1，2]，ax2+1＜0”的否定为 　∀a∈[﹣1，2]，ax2+1≥0　．
【分析】含有特称命题的否定，将特称变为全称，同时对命题做否定．
【解答】解：“∃a∈[﹣1，2]，ax2+1＜0”的否定为：∀a∈[﹣1，2]，ax2+1≥0．
故答案为：∀a∈[﹣1，2]，ax2+1≥0．
【点评】本题考查特称命题的否定，属于基础题．
四．解答题（共1小题）
5．（2022秋•碑林区期末）已知命题p：函数的定义域为R，命题q：对任意实数x，y＝（2m﹣b）x是增函数；
（1）若p是q的充分不必要条件，求b的取值范围；
（2）当b＝3时，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求m的取值范围．
【分析】（1）p所对应的集合是q对应集合的子集；（2）由已知，可得p，q一真一假，从而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）命题p：函数的定义域为R，
即4x2+4（m﹣2）x+1＞0在R上恒成立，
则16（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3，
对于命题q：y＝（2m﹣b）x是增函数，
所以，
因为p是q的充分不必要条件，
所以，所以b≤1；
（2）命题p为真：1＜m＜3，命题q为真：b＝3⇒m＞2．
因为命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p，q一真一假，
p为假，q为真：，或p为真，q为假
解得m≥3或1＜m≤2，
∴m≥3或1＜m≤2．
故m的取值范围为（1，2]∪[3，+∞）
【点评】本题考查充分必要条件，命题的真假，一元二次不等式的解法，属于基础题．