重难点03函数的单调性（6种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

重难点03函数的单调性（6种考法）

【目录】

一．函数的单调性

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．

 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．

设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么

①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．

 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．

【命题方向】

 函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．

二、函数单调性判断

【解题方法点拨】

 证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．

 利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．

第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．

第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．

第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．

第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

    从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．

三、复合函数的单调性

【解题方法点拨】

 求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：

（1）确定定义域；

（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；

（3）分别确定两基本初等函数的单调性；

（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．

【命题方向】

 理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．

四．函数奇偶性

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．

【命题方向】函数奇偶性的应用．

 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．

五、奇偶性与单调性的综合

【解题方法点拨】

 参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

【命题方向】奇偶性与单调性的综合．

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．

考法1：定义法判断或证明函数的单调性

一、单选题

1．（2023·北京顺义·统考一模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·浙江台州·统考二模）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为(    )

A． B．

C． D．

3．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·辽宁大连·统考一模）已知对于每一对正实数，，函数满足：，若，则满足的的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、多选题

5．（2023·山东·校联考二模）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（    ）

A．，是“正方和谐函数”

B．若 为“正方和谐函数”，则

C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数

D．若为“正方和谐函数”，则对，成立

6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数的定义域D关于原点对称，且，当时，；且对任意且，都有，则（    ）

A．是奇函数 B．

C．是周期函数 D．在上单调递减

三、填空题

7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________.

8．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数，若对定义域内两任意的（），都有成立，则a的取值范围是________．

9．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为__________．

四、解答题

10．（2023·吉林·东北师大附中校考二模）已知函数，其中．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)已知在区间上存在唯一的极小值点．

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）记在区间上的极小值为，讨论函数的单调性．

考法2：根据函数的单调性求参数值

一、单选题

1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2023·北京丰台·统考一模）已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（    ）

A．3 B． C．2 D．

3．（2023·河南洛阳·校联考三模）若对任意的，，且，，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·天津河东·统考二模）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为

A． B． C． D．

5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

6．（2023·天津河西·统考二模）函数在的图像大致为

A．   B．

C． D．

7．（2023·陕西汉中·统考二模）已知函数的定域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为（    ）．

A． B． C． D．

8．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的定义域为

B．在上的值域为

C．若在上单调递减，则

D．若，则在定义域上单调递增

三、填空题

10．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为___________.

11．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=ex-alnx+c（a>0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是_________.

四、解答题

12．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数.

(1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围；

(2)设的导函数为，若满足，证明：.

13．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知函数.

(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

(2)若方程有两个实根，，且，求证：.

参考数据：，.

考法3：复合函数的单调性

一、单选题

1．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是

A． B． C． D．

二、多选题

4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）定义在上的函数满足，且当时，，则（    ）

A． B．的一个周期为3

C．在上单调递增 D．

考法4：根据函数的单调性解不等式

一、单选题

1．（2023·全国·模拟预测）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023·新疆·统考二模）设是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

4．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（    ）

A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数

C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数

5．（2023·山东聊城·统考一模）已知奇函数的定义域为，，对于任意的正数，都有，且时，都有，则（    ）

A．

B．函数在内单调递增

C．对于任意都有

D．不等式的解集为

三、填空题

6．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是________．

7．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数的定义域为，在上单调递减，且对任意的，都有，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

考法5：比较函数值的大小

一、单选题

1．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023·海南海口·校联考一模）设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2023·河南新乡·统考三模）已知，，，则下列关系正确的为（    ）

A． B．

C． D．

5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．（2023·全国·模拟预测）已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2023·江苏·校联考模拟预测）若函数，且，则（    ）

A． B．

C． D．

8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（    ）

A． B．的图象关于直线对称

C． D．仅有一个极值点

三、填空题

9．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若､是钝角三角形的两个锐角，对（1），为奇数；（2）；（3）；（4）；（5）.则以上结论中正确的有______________.(填入所有正确结论的序号).

10．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知，，，则的大小关系是___________.

四、解答题

11．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.

（1）求切点坐标和切点的坐标；

（2）已知在上是递减的，求证：.

考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性

一、单选题

1．（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2023·贵州毕节·统考二模）已知函数，则的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

3．（2023·北京朝阳·统考一模）已知函数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是（    ）

A．4 B． C．6 D．

5．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知三个互异的正数，，满足，，则关于，，下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．（2023·浙江·校联考二模）已知函数，则（    ）

A．f（x）是单调递增函数 B．

C． D．

三、填空题

7．（2023·全国·模拟预测）已知关于x的方程有解，则实数a的取值范围为___________.