重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（原卷版）

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重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）【目录】考向一：函数零点个数的判断考法1：方程法判断零点个数考法2：数形结合法判段函数零点个数考法3：转化法判断函数零点个数考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数考向二：利用零点求参数的值（范围）考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数一、函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．考向一：函数零点个数的判断考法1：方程法判断零点个数一、单选题1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数，，则在区间上的零点个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（    ）A．若与图象至多有2个公共点B．若与图象至少有2个公共点C．若与图象至多有2个公共点D．若与图象至少有2个公共点三、填空题4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数=__．①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增．5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰 有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．四、解答题6．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？  7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.   8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x  0010-1000 0(1)请填写上表的空格处，并画出函数图像(2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式．(3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．     考法2：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，则的零点个数为（    ）A．2023 B．2025 C．2027 D．20292．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（    ）．A．1348 B．1347 C．1346 D．13453．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数在上零点的个数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数﹐定义在区间上的函数满足：当时，且对任意的，都有．若与n有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于x的方程的实数解的个数为（    ）A．n B． C． D．二、多选题5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆，则（    ）A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切三、填空题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________.  考法3：转化法判断函数零点个数一、单选题1．（2022秋·全国·高一专题练习）方程解的情况是（    ）A．有且只有一个根 B．不仅有根还有其他根C．有根和另一个负根 D．有根和另一个正根2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（    ）．①当时，函数没有零点；②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数；③当时，函数有两个不同零点；④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1．A．①② B．②③ C．②④ D．③④3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则函数的零点个数不可能是（    ）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·全国·高三专题练习）对于任意正实数，关于的方程的解集不可能是（    ）A． B． C． D．二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ）A．2 B．4 C．6 D．8三、填空题7．（2023·四川绵阳·统考二模）若函数，，则函数的零点个数为______．四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）证明：函数的图象与的图象有且仅有一个公共点．     9．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，当时， （1）求，的值；（2）求的解析式并画出函数的简图；（3）讨论方程的根的情况.          考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在上的奇函数满足在，则在上的零点至少有（    ）个A．6 B．7C．12 D．132．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________.三、解答题4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数是自然对数的底数.(1)讨论函数的极值点的个数；(2)证明：函数在区间内有且只有一个零点.          考向二：利用零点求参数的值（范围）考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．4．（2023·四川自贡·统考三模）设函数有唯一的零点，则实数m为（    ）A．2 B． C．3 D．5．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题6．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是函数和的零点，则（    ）A． B． C．               D．三、填空题7．（2023·四川凉山·三模）若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______．8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________.9．（2023·全国·校联考二模）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是______.10．（2023·天津河西·统考一模）已知，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______．四、解答题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数．(1)求实数k的值．(2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围．(3)函数（且），函数有2个零点，求实数m的取值范围．     12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，．(1)求的单调性；(2)若函数在上有唯一零点，求实数a的取值范围．                 考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数一、单选题1．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）函数 ，若，有，则的取值范围是（    ）A．  B． C．  D． 2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数且有两个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于______.4．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知，函数，若存在不相等的三个实数，使得，则实数的取值范围是________.三、解答题5．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.     6．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知函数．(1)求的最值；(2)当时，函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围．