素养拓展07 导数中利用构造函数解不等式（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展07 导数中利用构造函数解不等式（精讲+精练）

一、构造函数解不等式解题思路

利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

二、构造函数解不等式解题技巧

求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形

模型1.对于，构造

模型2.对于不等式，构造函数.

模型3.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型4.对于不等式，构造函数

模型5.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型6.对于不等式，构造函数

拓展：对于不等式，构造函数

模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造

（2）若，则构造

模型8.对于，构造.

模型9.对于，构造.

模型10.（1）对于，即，

构造．

（2）对于，构造．

模型11.（1） （2）

【典例1】定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【解析】令，则，则在R上单减，

又等价于，

即，由单调性得，解得.故选：B.

【典例2】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【详解】令，则，所以在单调递减，

不等式可以转化为，即，所以.故选：D.

【典例3】设函数是函数的导函数，，，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．          C．        D．

【解析】依题意，令函数，则，且，

所以是上的增函数，，解得．故选：A

【典例4】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，

且为奇函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【解析】设，则，

因为，所以，为定义在上的减函数，

因为为奇函数，所以，，，

，即，，，故选：C.

【典例5】已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（      ）

A． B．      C．   D．

【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，

∴当时，，

∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，

∵．当时，不等式等价于，

当时，不等式等价于，

∴原不等式的解集为．故选：D．

【题型训练】

1.加减法模型

一、单选题

1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时, 且,则的解集是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【详解】设，

可得

因为当x≥0时, ，

所以在上递增，

又因为是定义在R上的奇函数，

所以的图像关于对称，如图，

所以在R上递增，

又因为，所以，

则等价于，

所以，即的解集是，

故选：C.

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】令，

则，

所以在上单调递增，

,

等价于,

即，

即，

所以不等式的解集为.

故选：A.

3．（2023·漠河市高级中学）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B．       C．      D．

【答案】B

【解析】设，则

又上，，则，即函数在上单调递减，

又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减，

又,，即

可得：，解得：.故选：B.

4．（2023·全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则，又因为对恒有

所以恒成立，所以在R上单减.

又，所以的解集为故选：B

2.和模型

一、单选题

1．（2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．           C．          D．

【答案】A

【详解】设，则，所以在R上单调递减；

由，得，即，所以，解得.故选：A.

2.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.

所以.

构造函数，

所以在区间上单调递增，所以，

即，也即.

故选：A

3．（2023秋·陕西·高三校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】设函数，，则，

所以在上单调递减，从而，

即，则.

故选：A.

4．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________．

【答案】

【详解】令，取，则函数为偶函数，

当时，，故，即，

由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数，

又，故等价于或，

解得．

故答案为：

3.和模型

一、单选题

1．（2023·贵州贵阳·高三月考（理））已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先令，求导，根据题意，得到在区间上单调递增，再由题意，得到，进而可得出结果.

【详解】令，则，

因为对恒成立，所以对恒成立，∴在区间上单调递增；

又∵，是锐角三角形的两个内角，∴，∴，∴，

因此，即，∴.故选：C.

2．（2023·陕西渭南·高三期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C．     D．

【答案】A

【详解】构造函数,则,因为,故,

因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A

3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】构造函数，

在时恒成立，

所以在时单调递增，

所以，即，所以，

故选:C.

4.（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（    ）

A．在上有极大值 B．在上有极小值

C．在上既有极大值又有极小值 D．在上没有极值

【答案】D

【详解】解：根据题意，，故，

又，得，故，

令，

则，

即，

记，

所以，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，即，即，

所以在上单调递增，故在上没有极值.

故选项ABC说法错误，选项D说法正确.

故选：D

5.（2023秋·陕西汉中·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，则，

∴在上单调递减.

又，则.

∵等价于，即，

∴，即所求不等式的解集为.

故选：B．

6.（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】令，函数的定义域为，

因为

所以，

故

故在R上单调递减，

又因为

所以，，

所以不等式可化为，

所以，

所以的解集为

故选：B.

4.（sinx）和（cosx）模型

一、单选题

1．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：偶函数对于任意的满足，

令，则，即为偶函数．

又，故在区间上是减函数，

所以，

即，故B正确；

，故A错误；

，故C错误；

，故D错误；故选：B．

2.已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（    ）

A． B．

C． D．

【解析】由题意：构造函数，

则在恒成立，

所以在单调递减，

所以

所以，

即

故， ，，

故选：A

3.（2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】令，定义域为，

因为函数为奇函数，所以，

则函数是定义在上的奇函数，，

因为任意的，有，

所以当时，，则在上单调递增，

则函数是上的奇函数并且单调递增，

由，

因为，所以,，即，所以，

又因为，因此.故选：C.

4.（2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．      C．     D．

【答案】B

【详解】设，则，所以在上是减函数，

所以，即，A错；

，即，B正确；

，即，C错；

的正负不确定，因此与大小不确定，D不能判断．故选：B．

5.（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（　　）

A．（，π） B．      C．     D．

【答案】D

【详解】解：令，因为当时，有，

所以，当时，，所以，函数在(内为单调递减函数，

所以，当时，关于的不等式可化为，

即，所以；

当时，，则关于的不等式可化为，即

因为函数为奇函数，故，也即

所以，即，所以，．综上，原不等式的解集.故选：D．

6．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（　　）

A． B．     C．   D．

【答案】D

【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.

【详解】解：构造函数，则，

∵，∴，即在上为增函数，

由，即，即，故A正确；

，即，即，故B正确；

，即，即，故C正确；

由，即，即，即，

故错误的是D．故选D．