2023年新高考天津数学高考真题试卷及答案

这是一份2023年新高考天津数学高考真题试卷及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, B = {1, 2, 4} ，则ðU B U A = （ ）

A. {1, 3, 5}
B. {1, 3}
C. {1, 2, 4}
D. {1, 2, 4,5}


2. “ a2 = b2 ”是“ a2 + b2 = 2ab ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 若 a = 1.010.5, b = 1.010.6, c = 0.60.5 ，则 a, b, c 的大小关系为（ ）


A. c > a > b
C. a > b > c
B. c > b > a
D. b > a > c

4. 函数 f ( x) 的图象如下图所示，则 f ( x) 的解析式可能为（ ）



( )
5 ex - e-x
A.
x2 + 2
( )
5 ex + e-x
C
x2 + 2
5sin x


B. x2 + 1
5cos x
D. x2 + 1

5. 已知函数 f ( x) 的一条对称轴为直线 x = 2 ，一个周期为 4，则 f ( x) 的解析式可能为（ ）

A. sin æp x ö B. cosæp x ö
ç 2 ÷ ç 2 ÷

è ø

C. sin æp x ö


è ø

D. cosæp x ö



ç 4 ÷ ç 4 ÷
è ø è ø





第 1页/共 5页

6. 已知{an}为等比数列， Sn 为数列{an}的前 n 项和， an+1 = 2Sn + 2 ，则 a4 的值为（ ）
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 r = 0.8245 ，下列说法正确的是
（ ）


A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性

B 花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

8. 在三棱锥 P - ABC 中，线段 PC 上的点 M 满足 PM = 1 PC ，线段 PB 上的点 N 满足 PN = 2 PB ，则
3 3
三棱锥 P - AMN 和三棱锥 P - ABC 的体积之比为（ ）

1
A. B.
9
2 C. 1 D. 4
9 3 9

x2 y2



F、F F

9. 双曲线 a2 - b2 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 1 2 ．过 2 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 P ．已


2
知 PF = 2 ，直线 PF 的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）

4
2 1


A
x2 - y2 =



x2 y2
1
1
- =
B.

8 4 4 8


1
- =
x2 y2
C.
x2 y2
1
- =
D.

4 2 2 4

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给
3 分，全部答对的给 5 分．
5 + 14i

10. 已知i 是虚数单位，化简
2 + 3i
的结果为 ．





第 2页/共 5页

ç
11. 在æ 2x3 -
è
1 ö6
x
÷
ø

的展开式中， x2 项的系数为 ．


12. 过原点的一条直线与圆C : (x + 2)2 + y2 = 3 相切，交曲线 y2 = 2 px( p > 0) 于点 P ，若 OP = 8 ，则 p 的值为 ．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5 : 4 : 6 ．这三个盒子中黑球占总数的比
例分别为40%, 25%, 50% ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将


三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
a, AC
14. 在VABC 中， ÐA = 60o ， BC = 1 ，点 D 为 AB 的中点，点 E 为CD 的中点，若设 AB = r

= b ，

r uuur 1 uuur
则 AE 可用 a, b 表示为 ；若 BF = 3 BC ，则 AE × AF 的最大值为 ．
15. 若函数 f ( x) = ax2 - 2x - x2 - ax + 1 有且仅有两个零点，则a 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．


16. 在VABC 中，角 A, B, C 所对的边分別是 a, b, c ．已知 a =
（1） 求sinB 的值；
（2） 求c 的值；
（3） 求sin ( B - C ) ．
39, b = 2, ÐA = 120o ．


17. 三棱台 ABC - A1B1C1 中，若 A1A ^ 面 ABC, AB ^ AC, AB = AC = AA1 = 2, A1C1 = 1 ， M , N 分别是
BC , BA 中点.


（1） 求证： A1N //平面C1MA ；





第 3页/共 5页

（2） 求平面C1MA 与平面 ACC1A1 所成夹角的余弦值；

（3） 求点C 到平面C1MA 的距离．


x2 y2


A , A
A F = 3, A F = 1

18. 设椭圆 +
a2 b2
= 1(a > b > 0) 的左右顶点分别为 1 2 ，右焦点为 F ，已知 1 2 ．


（1） 求椭圆方程及其离心率；

（2） 已知点 P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2 P 交 y 轴于点Q ，若三角形 A1PQ 的面积是三角形 A2FP 面积的二倍，求直线 A2P 的方程．
19. 已知{an} 是等差数列， a2 + a5 = 16, a5 - a3 = 4 ．


2 -1
n
（1） 求{an}的通项公式和 å ai ．
i=2n-1

（2） 已知{bn}为等比数列，对于任意 k Î N* ，若2k -1 £ n £ 2k -1，则bk < an < bk +1 ，

k
（Ⅰ）当 k ³ 2 时，求证： 2k -1 < b < 2k +1 ；

（Ⅱ）求{bn}的通项公式及其前 n 项和．
20 已知函数 f ( x ) = æ 1 + 1 ö ln (x + 1) ．
ç x 2 ÷
è ø
（1） 求曲线 y = f ( x) 在 x = 2 处切线的斜率；
（2）当 x > 0 时，证明： f ( x) > 1；
（3）证明： 5 < ln (n!) - æ n + 1 öln (n )+ n £ 1 ．
6 ç 2 ÷
è ø





















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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 3}, B = {1, 2, 4} ，则ðU B U A = （ ）

A. {1, 3, 5}
{1, 2, 4, 5}
【答案】A
【解析】
B. {1, 3}
C. {1, 2, 4} D.

【分析】对集合 B 求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由ðU B = {3, 5}，而 A = {1, 3} ， 所以ðU B U A = {1, 3, 5} .
故选：A

2. “ a2 = b2 ”是“ a2 + b2 = 2ab ”的（
）

A. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
【答案】B
【解析】

B. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 a2 = b2 ，则 a = ±b ，当a = -b ¹ 0 时 a2 + b2 = 2ab 不成立，充分性不成立； 由 a2 + b2 = 2ab ，则(a - b)2 = 0 ，即 a = b ，显然 a2 = b2 成立，必要性成立；
所以 a2 = b2 是 a2 + b2 = 2ab 的必要不充分条件. 故选：B
3. 若 a = 1.010.5, b = 1.010.6 , c = 0.60.5 ，则 a, b, c 的大小关系为（ ）

A. c > a > b
C. a > b > c
【答案】D
【解析】
B. c > b > a
D. b > a > c

【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 y = 1.01x 在 R 上递增，则 a = 1.010.5 < b = 1.010.6 ， 由 y = x0.5 在[0, +¥) 上递增，则a = 1.010.5 > c = 0.60.5 .


所以b > a > c .
故选：D
4. 函数 f ( x ) 的图象如下图所示，则 f ( x ) 的解析式可能为（ ）



( )
5 ex - e-x
A.
x2 + 2
5(ex + e-x )
5sin x
B. x2 + 1
5cos x



C.
x2 + 2
【答案】D
【解析】
D. x2 + 1

【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断 B 中函数的奇偶性，再判断 A、C 中函数在(0, +¥) 上的函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于 y 轴对称，其为偶函数，且 f (-2) = f (2) < 0 ，
由 5sin(-x) = - 5sin x 且定义域为 R，即 B 中函数为奇函数，排除；

(-x)2 +1 x2 +1

当 x > 0 时故选：D
5(ex - e-x )


x2 + 2

> 0 、
5(ex + e-x )


x2 + 2

> 0 ，即 A、C 中

(0, +¥)

上函数值为正，排除；

5. 已知函数 f ( x ) 的一条对称轴为直线 x = 2 ，一个周期为 4，则 f ( x ) 的解析式可能为


（ ）
A. sinæpx ö



B. cosæpx ö



ç 2 ÷ ç 2 ÷

è ø
C. sinæpx ö


è ø
D. cosæpx ö



ç 4 ÷ ç 4 ÷
è ø è ø
【答案】B
【解析】
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 x = 2 处的函数值，排除不合题意的选


项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：


A 选项中



C 选项中
T = 2p = 4
p


2
T = 2p = 8
p


4


，B 选项中



，D 选项中
T = 2p = 4
p ，

2
T = 2p = 8
p ，

4

排除选项 CD，
ç ´
对于 A 选项，当 x = 2 时，函数值sinæp
2

2ö = 0 ，故(2, 0) 是函数的一个对称中心，排除

÷
è ø
选项 A，

ç ´
对于 B 选项，当 x = 2 时，函数值cosæp
2
2ö = -1，故 x = 2 是函数的一条对称轴，

÷
è ø
故选：B.
6. 已知{an}为等比数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，an+1 = 2Sn + 2 ，则 a4 的值为（ ）
A. 3 B. 18 C. 54 D. 152
【答案】C
【解析】
【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组 确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得 a4 的值.
【详解】由题意可得：当 n = 1 时， a2 = 2a1 + 2 ，即 a1q = 2a1 + 2 ， ①

当 n = 2 时， a = 2 (a + a ) + 2 ，即 a q2 = 2 (a
+ a q ) + 2 ， ②

3 1 2 1 1 1

联立①②可得 a1 = 2, q = 3 ，则 a = a q3 = 54 .
4 1

故选：C.
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 r = 0.8245 ，下列说法正确的是（ ）


A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断 ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断 D 选项.
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B 选项错误，C 选项正确；
由于 r = 0.8245 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，
即取出的数据的相关系数不一定是0.8245 ，D 选项错误故选：C
8. 在三棱锥 P - ABC 中，线段 PC 上的点 M 满足 PM = 1 PC ，线段 PB 上的点 N 满足
3
PN = 2 PB ，则三棱锥 P - AMN 和三棱锥 P - ABC 的体积之比为（ ）
3

1
A. B.
9
2 C. 1 D. 4
9 3 9

【答案】B
【解析】
【分析】分别过 M , C 作 MM ¢ ^ PA, CC¢ ^ PA ,垂足分别为 M ¢,C¢ .过 B 作 BB¢ ^ 平面
PAC ，垂足为 B¢ ，连接 PB¢ ,过 N 作 NN ¢ ^ PB¢,垂足为 N ¢ .先证 NN ¢ ^ 平面 PAC ，则可
得到 BB¢//NN ¢ ， 再证 MM ¢ //CC¢ . 由三角形相似得到 MM ¢ = 1 ， NN ' = 2 ， 再由


VP- AMN VP- ABC

= VN - PAM
VB- PAC


即可求出体积比.
CC¢ 3
BB ' 3

【详解】如图，分别过 M , C 作 MM ¢ ^ PA, CC¢ ^ PA ,垂足分别为 M ¢,C¢ .过 B 作 BB¢ ^ 平面 PAC ，垂足为 B¢ ，连接 PB¢ ,过 N 作 NN ¢ ^ PB¢,垂足为 N ¢ .



因为 BB¢ ^ 平面 PAC ， BB¢ Ì 平面 PBB¢ ，所以平面 PBB¢ ^ 平面 PAC .
又因为平面 PBB¢ I 平面 PAC = PB¢ ， NN ¢ ^ PB¢ ， NN ¢ Ì 平面 PBB¢ ，所以 NN ¢ ^ 平面 PAC ，且 BB¢//NN ¢ .

在△PCC¢ 中，因为 MM ¢ ^ PA, CC¢ ^ PA ，所以 MM ¢ //CC¢ ，所以 PM
MM ¢ 1
= = ，


在△PBB¢ 中，因为 BB¢//NN ¢ ，所以 PN

NN ¢ 2
= = ，

PC CC¢ 3

PB BB¢ 3

1 S × NN ¢
1 ×æ 1 PA × MM ¢ ö × NN ¢

V V V PAM
3 ç 2 ÷ 2

所以 P- AMN
= N - PAM = 3 = è ø = .


VP- ABC
VB- PAC 1 S


× BB¢
1 ×æ 1 PA × CC¢ ö × BB¢ 9



3 V PAC
3 ç 2 ÷


故选：B

-
x2 y2
9. 双曲线


è ø


> > 的左、右焦点分别为 F、F ．过 F 作其中一条渐近线的垂

a2 b2 (a
0, b 0)
1 2 2



2
1
线，垂足为 P ．已知 PF = 2 ，直线 PF 的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）

2


1
- =
x2 y2
A.
4
1
- =
x2 y2
B.

8 4 4 8

1
- =
x2 y2
C.
x2 y2
1
- =
D.

4 2
【答案】D
【解析】

【分析】先由点到直线的距离公式求出b ，设ÐPOF2
2 4



b
OP
=q，由tanq= = b 得到
a



OP = a ，OF2 = c .再由三角形的面积公式得到 yP ，从而得到 xP ，则可得到 a
= 2 ，


解出a ，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

a2 + 2 4





因为 F2
(c, 0) ，不妨设渐近线方程为 y = b x ，即bx - ay = 0 ，
a


所以 PF2 =

PF2 OP
b
OP
所以b = 2
= bc = b ，
bc
a2 + b2
c



设ÐPOF2
=q,则tanq=
= = b ，所以 OP a
= a ，所以 OF2
= c .



因为 1 ab = 1 c × y ,所以 y =
2 2 P P
ab ，所以tanq= yP
c xP
ab
= c
xP

2
a
= b ，所以 xP = ，
a c


æ a2 ab ö
所 以 P ç c , c ÷ ，
è ø
因为 F1 (-c, 0) ，
ab

所以 k


= c = ab = 2a

= a = 2 ，


PF1
a2
+
c
c
a2 + c2
a2 + a2 + 4
a2 + 2 4

2
所以 2 (a2 + 2) = 4a ，解得 a = ，

2
2
1
所以双曲线的方程为 x - y =
2 4
故选：D
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，
答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分．
5 + 14i

10. 已知i 是虚数单位，化简

【答案】 4 + i ## i + 4
【解析】
2 + 3i
的结果为 ．

【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以 2 - 3i ，然后计算其运算结果即可.


【详解】由题意可得 5 +14i = (5 +14i)(2 - 3i) = 52 +13i = 4 + i .
2 + 3i (2 + 3i)(2 - 3i) 13
故答案为： 4 + i .

ç
11. 在æ 2x3 -
è
【答案】60
【解析】
1 ö6
x
÷
ø

的展开式中， x2 项的系数为 ．

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式T = (-1)k ´ 26-k ´ Ck ´ x18-4k ，令
k +1 6
k
18 - 4k = 2 确定 k 的值，然后计算 x2 项的系数即可.

【详解】展开式的通项公式T = Ck (2x3 )6-k æ - 1 ö
= (-1)k ´ 26-k ´ Ck ´ x18-4k ，

k +1 6
ç x ÷ 6

è ø
令18 - 4k = 2 可得， k = 4 ，
6
则 x2 项的系数为(-1)4 ´ 26-4 ´ C4 = 4 ´15 = 60 .
故答案为：60.
12. 过原点的一条直线与圆C : (x + 2)2 + y2 = 3 相切，交曲线 y2 = 2 px( p > 0) 于点 P ，若
OP = 8 ，则 p 的值为 ．
【答案】6
【解析】
【分析】根据圆( x + 2)2 + y2 = 3 和曲线 y2 = 2 px 关于 x 轴对称，不妨设切线方程为 y = kx ，
k > 0 ，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆( x + 2)2 + y2 = 3 和曲线 y2 = 2 px 关于 x 轴对称，不妨设切线方程为 y = kx ，
k > 0 ，
ìx = 2 p

2k
1+ k 2
3
3
= ìï y = 3x ìx = 0 ï 3

所以 ，解得： k = ，由í y2 = 2 px 解得： í y = 0 或í
，
2 3 p

îï î

æ 2 p ö2
2
ç 3 ÷ + ç
æ 2
3 p ö
è ø
è
3
÷
ø
4 p
ï y =
ï
î 3

所以 OP =
= = 8 ，解得： p = 6 ．
3


3
当 k = - 时，同理可得． 故答案为： 6 ．
13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5 : 4 : 6 ．这三个盒子中


黑球占总数的比例分别为40%, 25%,50% ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
3

【答案】 ①. 0.05 ②.

【解析】
## 0.6
5

【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n, 4n, 6n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为 40%´ 5n = 2n ，白球个数为3n ；
甲盒中黑球个数为 25%´ 4n = n ，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为50%´ 6n = 3n ，白球个数为3n ；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，
P ( A) = 0.4´ 0.25´ 0.5 = 0.05 ；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 B ， 黑球总共有 2n + n + 3n = 6n 个，白球共有9n 个，

所以， P ( B ) =
9n 15n
= 3 ．
5

故答案为： 0.05 ； 3 ．
5
14. 在 VABC 中， ÐA = 60o ， BC = 1 ，点 D 为 AB 的中点，点 E 为 CD 的中点，若设
r r uuur 1 uuur
AB = a, AC = b ，则 AE 可用 a, b 表示为 ；若 BF = 3 BC ，则 AE × AF 的最大值为 ．

【答案】 ①.
1 r 1 r 13
a + b ②.

4 2 24
【解析】
a, b
【分析】空 1：根据向量的线性运算，结合 E 为CD 的中点进行求解；空 2：用 r 表示出

AF ，结合上一空答案，于是
AE × AF
可由 r 表示，然后根据数量积的运算和基本不等

a, b
式求解.

ì
uuur uuur uuur
ï AE + ED = AD

【详解】空 1：因为 E 为CD 的中点，则 ED + EC = 0 ，可得íuuur uuur uuur ，
ïî AE + EC = AC

两式相加，可得到 2 AE = AD + AC ，



uuur
1 r r uuur
1 r 1 r

即 2 AE =
a + b ，则 AE =
2
a + b ；
4 2

uuur 1 uuur
空 2：因为 BF = BC ，则
3

2FB + FC = 0
uuur uuur uuur
ì
ï AF + FC = AC
，可得íuuur uuur uuur ，
ïî AF + FB = AB

( )
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
得到 AF + FC + 2 AF + FB = AC + 2AB ，
uuur 2 r 1 r
1
r 2
r r r 2
即3AF = 2a + b ，即 AF = 3 a + 3 b .

uuur uuur
æ 1 r
于是 AE × AF = ç a +
b ÷ ×ç a + b÷ =
(2a
+ 5a× b+ 2b ).

1 r ö æ 2 r
1 rö
è 4 2
记 AB = x, AC = y ，
ø è 3 3 ø 12

则
uuur uuur 1
AE × AF =


r 2 r r r2 1 2a + 5a ×b + 2b =

(2 x2


+ 5xy cos 60 o

+ 2 y 2 )= 1

ç
æ2x 2

+ 5 xy + 2 y 2 ö

(
)
÷
12 12 12 è 2 ø
，
在VABC 中，根据余弦定理： BC 2 = x2 + y2 - 2xy cos 60o = x2 + y2 - xy = 1 ，

uuur uuur 1 æ
5xy
ö 1 æ 9 xy ö

于是 AE × AF = 12 ç 2xy + 2 + 2 ÷ = 12 ç 2 + 2 ÷ ，
è ø è ø
由 x2 + y2 - xy = 1和基本不等式， x2 + y2 - xy = 1 ³ 2xy - xy = xy ， 故 xy £ 1，当且仅当 x = y = 1 取得等号，
24
则 x = y = 1 时， AE × AF 有最大值 13 .


1 r
故答案为： a +
1 r 13
b ； .

4 2 24
15. 若函数 f ( x) = ax2 - 2x - x2 - ax + 1 有且仅有两个零点，则a 的取值范围为 ．
【答案】(-¥, 0) È(0,1) È(1, +¥)

【解析】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a 的取值范围．


【详解】（1）当 x2 - ax +1 ³ 0 时， f ( x ) = 0 Û (a -1) x2 + (a - 2 ) x -1 = 0 ， 即 éë(a -1) x -1ùû ( x +1) = 0 ，
若 a = 1 时， x=-1 ，此时 x2 - ax +1 ³ 0 成立；


若 a ¹ 1时， x =
1


a -1

或 x=-1 ，

若方程有一根为 x=-1 ，则1+ a +1 ³ 0 ，即 a ³ -2 且 a ¹ 1；
è ø
1 æ 1 ö2 1


若方程有一根为 x = a -1 ，则ç a -1÷

- a ´ + 1³ 0 ，解得： a £ 2 且 a ¹ 1；
a -1


若 x =
1


a -1

= -1时， a = 0 ，此时1+ a +1 ³ 0 成立．

（2）当 x2 - ax +1 < 0 时， f ( x ) = 0 Û (a +1) x2 - (a + 2 ) x +1 = 0 ， 即 éë(a +1) x -1ùû (x -1) = 0 ，
若a = -1时， x = 1 ，显然 x2 - ax +1 < 0 不成立；


若a ¹ -1时， x = 1 或 x =
1
，
a +1

若方程有一根为 x = 1 ，则1- a +1 < 0 ，即a > 2 ；
è ø
1 æ 1 ö2 1


若方程有一根为 x = a +1 ，则ç a +1÷
- a ´ + 1< 0 ，解得： a < -2 ；
a +1


若 x =

综上，
1
a +1

= 1时， a = 0 ，显然 x2 - ax +1 < 0 不成立；


当 a < -2 时，零点为
1
，
a +1
1
1
；
a -1

当-2 £ a < 0 时，零点为


a -1
， -1；

当 a = 0 时，只有一个零点-1；
1

当0 < a < 1 时，零点为


a -1
， -1；

当 a = 1 时，只有一个零点-1；
1

当1 < a £ 2 时，零点为


a -1
， -1；

当a > 2 时，零点为1, -1．
所以，当函数有两个零点时， a ¹ 0 且 a ¹ 1．


故答案为： (-¥, 0) È(0,1) È(1, +¥) ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出 对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. 在VABC 中，角 A, B, C 所对的边分別是 a, b, c ．已知 a =
（1） 求sinB 的值；
（2） 求c 的值；
（3） 求sin ( B - C ) ．
【答案】（1） 13
13
39, b = 2, ÐA = 120o ．

（2） 5
（3） - 7 3
26
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2） 根据余弦定理即可解出；
（3） 由正弦定理求出sin C ，再由平方关系求出cos B, cos C ，即可由两角差的正弦公式求出．
【小问 1 详解】


由正弦定理可得，

【小问 2 详解】
a


sin A
= b
sin B
，即 39 sin120o
= 2 sin B

，解得： sin B =
13 ；
13

由余弦定理可得， a2 = b2 + c2 - 2bc sin A ，即39 = 4 + c2 - 2´ 2´ c ´æ - 1 ö ，
ç 2 ÷
è ø
解得： c = 5 或c = -7 （舍去）．
【小问 3 详解】


a
由正弦定理可得， =
c ，即 39 =
5 ，解得：sin C = 5 13 ，而 A = 120o ，


sin A
sin C
sin120o
sin C 26

所以 B, C 都为锐角，因此cos C =
= 3 39 ， cos B =
1 - 25
52
26
= 2 39 ，
1 - 1
13
13

故sin (B - C ) = sin B cos C - cos B sin C =
13 ´ 3 39 - 2 39 ´ 5 13 = - 7 3 ．
13 26 13 26 26


17. 三棱台 ABC - A1B1C1 中，若 A1A ^ 面 ABC, AB ^ AC, AB = AC = AA1 = 2, A1C1 = 1 ，
M , N 分别是 BC , BA 中点.


（1） 求证： A1N //平面C1MA ；
（2） 求平面C1MA 与平面 ACC1 A1 所成夹角的余弦值；
（3） 求点C 到平面C1MA 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2） 2
3
4
（3）
3
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 MNA1C1 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；
（2） 利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；
（3） 方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解
【小问 1 详解】





连接 MN ,C1 A .由 M , N 分别是 BC , BA 的中点，根据中位线性质， MN // AC ，且
MN = AC = 1 ， 2
由棱台性质， A1C1 // AC ，于是 MN // A1C1 ，由 MN = A1C1 = 1可知，四边形 MNA1C1 是平行四边形，则 A1N // MC1 ，
又 A1 N Ë 平面C1MA ， MC1 Ì 平面C1MA ，于是 A1N //平面C1MA .
【小问 2 详解】
过 M 作 ME ^ AC ，垂足为 E ，过 E 作 EF ^ AC1 ，垂足为 F ,连接 MF ,C1E .
由 ME Ì 面 ABC ， A1 A ^ 面 ABC ，故 AA1 ^ ME ，又 ME ^ AC ， AC∩AA1 = A ，
AC, AA1 Ì 平面 ACC1 A1 ，则 ME ^ 平面 ACC1 A1 .
由 AC1 Ì 平面 ACC1 A1 ，故 ME ^ AC1 ，又 EF ^ AC1 ， ME Ç EF = E ， ME, EF Ì 平面 MEF ，于是 AC1 ^ 平面 MEF ，
由 MF Ì 平面 MEF ，故 AC1 ^ MF .于是平面C1MA 与平面 ACC1 A1 所成角即ÐMFE .

1
5
2
5
2
5
又 ME = AB = 1，cos ÐCAC = ，则sin ÐCAC = ，故 EF = 1´sin ÐCAC = ，

2 1 1 1

1+ 4
5
3
5
在RtVMEF 中， ÐMEF = 90o ，则 MF = = ，

于是cos ÐMFE = EF = 2
MF 3




















[方法一：几何法]
【小问 3 详解】







过C1 作C1P ^ AC ，垂足为 P ，作C1Q ^ AM ，垂足为Q ，连接 PQ, PM ，过 P 作 PR ^ C1Q ， 垂足为 R .
5
C P 2 + PM 2
1
5
由题干数据可得， C A = C C = ， C M = = ，根据勾股定理，
1 1 1


5 - æ
2 ö
2
ç 2 ÷
è ø
3 2
C1Q = = 2 ，

由C1P ^ 平面 AMC ，AM Ì 平面 AMC ，则C1P ^ AM ，又C1Q ^ AM ，C1Q I C1P = C1 ，
C1Q,C1P Ì 平面C1PQ ，于是 AM ^平面C1PQ .



又 PR Ì 平面C1PQ ，则 PR ^ AM ，又 PR ^ C1Q ， C1Q I AM C1MA ，故 PR ^ 平面C1MA .
= Q ， C1Q, AM Ì 平面



1 2
PC × PQ 2 ×
3 2
1
在RtVC PQ 中， PR = =
= 2 ，

2
QC1 3
2
又CA = 2PA ，故点C 到平面C1MA 的距离是 P 到平面C1MA 的距离的两倍，
即点C 到平面C MA 的距离是 4 .

1 3
[方法二：等体积法]





辅助线同方法一.
设点C 到平面C1MA 的距离为 h .

V = 1 ´ C P ´ S
= 1 ´ 2 ´ 1 ´( 2 )2 = 2 ，

C1 - AMC 3 1
V AMC
3 2 3



V = 1 ´ h ´ S

= 1 ´ h ´ 1 ´

2´ 3 2 = h .


C -C1MA 3
VAMC1
3 2 2 2

由V = V Û h = 2 ，即 h = 4 .

C1 - AMC C -C1MA 2 3 3

x2 y2



A , A

18. 设椭圆 +
a2 b2
= 1(a > b > 0) 的左右顶点分别为 1 2 ， 右焦点为 F ， 已知



A1F
= 3, A2 F
= 1．


（1） 求椭圆方程及其离心率；
（2） 已知点 P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2 P 交 y 轴于点Q ，若三角形A1PQ的面积是三角形 A2FP 面积的二倍，求直线 A2 P 的方程．

2
2
【答案】（1）椭圆的方程为 x + y
4 3
= 1 ，离心率为
e = 1 .
2



（2） y = ±

【解析】
6 ( x - 2) .
2

3
ía - c = 1
【分析】（1）由ìa + c = 3 解得 a = 2, c = 1 ，从而求出b = ，代入椭圆方程即可求方程，
î
再代入离心率公式即求离心率.
2
（2）先设直线 A2 P 的方程，与椭圆方程联立，消去 y ，再由韦达定理可得 xA × xP ，从而得


到 P 点和Q 点坐标.由 SV A QA
= SV A PQ + SV A A P = 2SV A PF + SV A A P 得 2 yQ
= 3 yP
，即可得

2 1 1 1 2 2 1 2

到关于 k 的方程，解出 k ，代入直线 A2 P 的方程即可得到答案.
【小问 1 详解】如图，

22 -12
3
ía - b =c = 1
由题意得ìa + c = 3 ，解得a = 2, c = 1 ，所以 = ，
î
所以椭圆的方程为 x2 + y2 = ，离心率为e = c = 1 .

1
4 3 a 2
【小问 2 详解】
由题意得，直线 A P 斜率存在，由椭圆的方程为 x2 + y2 = 可得 A (2, 0) ，

2 1 2
4 3
设直线 A2 P 的方程为 y = k ( x - 2)，



ï
1
ì x2 + y2 =
联立方程组í 4 3
，消去 y 整理得： (3 + 4k 2 ) x2 -16k 2 x +16k 2 -12 = 0 ，

ïî y = k ( x - 2)
16k 2 -12


8k 2 - 6

A
由韦达定理得 x
2
× xP =
3 + 4k 2
，所以 xP = 3 + 4k 2 ，

æ 8k 2 - 6 -12k ö
è ø
所以 P ç 3 + 4k 2 , - 3 + 4k 2 ÷ ， Q (0, -2k ) .



所以 S
= 1 ´ 4´ y , S

= 1 ´1´ y , S

= 1 ´ 4´ y ，


V A2QA1 2
Q V A2 PF 2
P V A1 A2 P 2 P

所以 SV A QA = SV A PQ + SV A A P = 2SV A PF + SV A A P ，
12k
3 + 4k 2
2 1 1 1 2 2 1 2

所以 2 yQ
= 3 yP
，即 2 -2k
= 3 - ，

6
解得 k = ± ，所以直线 A2 P 的方程为 y = ±
2
6 ( x - 2) .
2

19. 已知{an}是等差数列， a2 + a5 = 16, a5 - a3 = 4 ．


2 -1
n
（1） 求{an}的通项公式和 å ai ．
i=2n -1
（2） 已知{bn }为等比数列，对于任意 k Î N* ，若2k -1 £ n £ 2k -1，则bk < an < bk+1 ，
k
（Ⅰ）当 k ³ 2 时，求证： 2k -1 < b < 2k +1 ；
（Ⅱ）求{bn }的通项公式及其前 n 项和．


å
2n -1
【答案】（1） an = 2n +1， ai
= 3´ 22n-1 ；

i=2n-1

n
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) b = 2n ，前 n 项和为2n+1 - 2 .
【解析】
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得 a1 =3,d =2，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前 n 项和公式计算

å
2n -1
可得 ai
= 3´ 22n-1 .

i=2n-1

(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当2k -1 £ n £ 2k -1时， bk < an ，
取n = 2k -1 ，当 2 k -2 £ n £ 2 k -1 - 1 时， an < bk ，取 n = 2 k -1 - 1 ，即可证得题中的不等式；


n
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想b = 2n ，然后分别排除 q > 2 和 q < 2 两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 n 项和公式即可计算其前 n 项和.
【小问 1 详解】
ìa2 + a5 = 2a1 + 5d = 6 ìa1 = 3

由题意可得í
a - a
= 2d = 4
，解得í d = 2 ，

î 5 3 î
则数列{an}的通项公式为 an = a1 + (n -1) d = 2n +1，


注意到 a
= 2´ 2n-1 +1 = 2n +1，从 a - 到a
共有 2n -1 - 2n-1 + 1 = 2n-1 项，

2n-1

2n -1
2n 1 2n-1
2
2n -1 (2n -1 - 1)

故 å ai
i = 2n-1
= 2n -1 ´ (2n + 1) + ´ 2 = 22 n -1 + 2n -1 + 22 n - 2 - 2n -1 = 3 ´ 22 n -1


【小问 2 详解】
(Ⅰ)由题意可知，当2k -1 £ n £ 2k -1时， bk < an ，

取n = 2k -1 ，则bk
< a k-1
= 2´ 2k-1 +1 = 2k +1，即b < 2k +1，

2
k
当 2 k -2 £ n £ 2 k -1 - 1 时， an < bk ，
k
n 2k -1 -1
取 n = 2 k -1 - 1 ，此时 a = a = 2 (2k -1 -1) + 1 = 2k -1，据此可得 2k -1< b ，
k
综上可得： 2k -1 < b < 2k +1 .
n
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：1 n-1 n-1 n-1
1 1
否则，若数列的公比 q > 2 ，则bn = bq > b ´2 > 2 ，
n
注意到 2n-1 - (2n -1) = 1 - 2n-1 ，则 2n-1 - (2n - 1) > 0 不恒成立，即 2n-1 > 2n -1不恒成立， 此时无法保证 2n -1< b ，
n-1 n-1 n-1
1 1
若数列的公比 q < 2 ，则bn = bq < b ´2 < 3´2 ，
n
注意到3´ 2n-1 - (2n + 1) = 2n-1 -1 ，则 2 n -1 - 1 < 0 不恒成立，即3 ´ 2n-1 < 2n + 1 不恒成立，此时无法保证b < 2n +1，
n
综上，数列的公比为 2 ，则数列的通项公式为b = 2n ，


其前 n

项和为： Sn =
2 ´(1- 2n )


1- 2

= 2n+1

- 2 .


【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式 和前 n 项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
20. 已知函数 f ( x) = æ 1 + 1 öln( x + 1) ．
ç x 2 ÷
è ø
（1） 求曲线 y = f ( x) 在 x = 2 处切线的斜率；
（2）当 x > 0 时，证明： f ( x) > 1 ；
（3）证明： 5 < ln (n!) - æ n + 1 öln(n) + n £ 1．
6 ç 2 ÷
è ø
【答案】（1） 1 - ln 3
3 4
（2） 证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
2x 2x

（2）问题化为 x > 0 时ln ( x +1) >
调性，即可证结论；


x + 2
，构造 g(x) = ln ( x +1) -


x + 2
，利用导数研究单

（ 3 ） 构造 h(n) = ln (n!) -æ n + 1 öln (n) + n ， n Î N* ， 作差法研究函数单调性可得
ç 2 ÷
è ø
h(n) £ h(1) = 1，再构造j(x) = ln x - (x + 5)(x -1) 且 x > 0 ，应用导数研究其单调性得到
4x + 2

ln x £ (x + 5)(x -1)
4x + 2

恒 成 立 ， 对
h(n) - h(n +1)

作 放 缩 处 理 ， 结 合 累 加 得 到

h(1) - h(n) < 3 ln 2 -1+ 1 < 1 ，即可证结论.

2 12 6
【小问 1 详解】
f (x) = ln(x +1) + ln(x +1) ，则 f ¢(x) =


1 + 1


- ln( x +1) ，


x 2 x(x +1) 2(x +1) x 2
所以 f ¢(2) = 1 - ln 3 ，故 x = 2 处的切线斜率为 1 - ln 3 ；
3 4 3 4
【小问 2 详解】
要证 x > 0 时 f ( x) = æ 1 + 1 öln ( x +1) > 1 ，即证ln ( x +1) > 2x ，

ç x 2 ÷
x + 2

è ø


=
2
2
2x ¢ 1 4 x2

令 g(x) = ln ( x +1) -
且 x > 0 ，则 g (x) = -
> 0 ，

x + 2 x +1 (x + 2) (x +1)(x + 2)

所以 g(x) 在(0, +¥) 上递增，则 g ( x) > g (0) = 0 ，即ln ( x +1) >
所以 x > 0 时 f ( x) > 1.
【小问 3 详解】
设 h(n) = ln (n!) -æ n + 1 öln (n) + n ， n Î N* ，


2x
.
x + 2

ç 2 ÷
è ø
则 h(n +1) - h(n) = 1+ (n + 1) ln (n) - (n + 1) ln (n +1) = 1- (n + 1) ln(1+ 1 ) ，
2 2 2 n
由（2）知： x = 1 Î(0,1]，则 f ( 1) = (n + 1) ln(1+ 1) > 1，
n n 2 n
所以 h(n +1) - h(n) < 0 ，故 h(n) 在 n Î N* 上递减，故 h(n) £ h(1) = 1；
下证ln(n!) - (n + 1 ) ln(n) + n > 5 ，
2 6


令j(x) = ln x -
(x + 5)(x -1) 4x + 2

且 x > 0 ，则j¢(x) =
(x -1)2 (1- x)
，
x(2x +1)2

当0 < x < 1 时j¢ (x) > 0 ，j(x) 递增，当 x > 1时j¢ (x) < 0 ，j(x) 递减，
所以j(x) £ j(1) = 0 ，故在 x Î(0, +¥) 上ln x £ (x + 5)(x -1) 恒成立，
4x + 2

则

1 1 1


1 1
(6 +
)( )


1 1 1 1

h(n) - h(n +1) = (n +

，
) ln(1+
2
) -1 £ (n +
n
) × n n
2 2(3 + 2)
n
-1 = < (
4n(3n +2) 12
n -1 - n)


所以 h(2) - h(3) <
1 (1- 1 ) ，h(3) - h(4) <
12 2
1 ( 1 - 1) ，…，h(n -1) - h(n) <
12 2 3
1 ( 1
12 n -1
- 1) ，
n


累加得： h(2) - h(n) <
1 (1- 1 ) ，而 h(2) = 2 - 3 ln 2 ，则-h(n) < 1 (1- 1 ) - 2 + 3 ln 2 ，

12 n 2 12 n 2
所以 h(1) - h(n) < 3 ln 2 -1+ 1 (1- 1 ) < 3 ln 2 -1+ 1 < 1 ，故 h(n) > 5 ；
2 12 n 2 12 6 6
综上， 5 < h(n) £ 1 ，即 5 < ln (n!) - æ n + 1 öln(n) + n £ 1.
6 6 ç 2 ÷
è ø
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究 h(n) = ln (n!) -æ n + 1 öln (n) + n 单调性证右侧
ç 2 ÷
è ø



不 等关 系 ， 再 构 造 j(x) = ln x -
(x + 5)(x -1) 4x + 2

且 x > 0 ， 导数 研 究其 函 数符 号 得

ln x £ (x + 5)(x -1) 恒成立，结合放缩、累加得到 h(1) - h(n) < 3 ln 2 -1+ 1 (1- 1 ) 为关键.


4x + 2
2 12 n