2019年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2019年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了下列四个数，若点P等内容，欢迎下载使用。

2019年辽宁省大连市中考数学模拟试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．下列四个数：，3.3030030003…，﹣π，﹣0.5，3.14，其中是无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥
3．若点P（a，b）在第三象限，则M（﹣ab，﹣a）应在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知反比例函数y＝﹣图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D． y2＞y3＞y1
5．如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB＝40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（　　）

A．60° B．80° C．100° D．120°
6．把抛物线y＝3x2向右平移1个单位长度后，所得的函数解析式为（　　）
A．y＝3x2﹣1 B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝3x2+1 D．y＝3（x+1）2
7．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）

A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
8．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（　　）

A． B． C． D．
9．一个圆锥的底面直径是8cm，母线长为9cm，则圆锥的全面积为（　　）
A．36πcm2 B．52πcm2 C．72πcm2 D．136πcm2
10．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B，C，G，H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上，顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC＝1，GH＝2，则正方形PCGQ的面积为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．10
二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为　 　．
12．某射击小组有7人，他们某次射击的数据如下：
8，7，9，7，8，9，8．
则这组数据的中位数是　 　．
13．n边形的内角和为900°，则n＝　 　，从一顶点可作对角线　 　条．
14．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是　 　
15．已知反比例函数为常数，k≠0）的图象经过点P（2，2），当1＜x＜2时，则y的取值范围是　 　．
16．如图，点C是以AB为直径的半圆上任意一点，AB＝4，D、E分别是、的中点，AD、BE交于点F，则∠AFE＝　 　度，△ABF的外接圆半径是　 　．

三．解答题（共4小题，满分39分）
17．（9分）计算：
（1）sin30°﹣cos45°+tan260°
（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|
18．（9分）先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2+，b＝2﹣．
19．（9分）如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE＝CF，求证：
（1）△ABF≌△CDE；
（2）AB∥CD．

20．（12分）某社区组织“献爱心”捐款活动，并对部分捐款户数进行调查和分组统计，数据整理成如下统计图表（图中信息不完整）．
捐款户数分组统计表
组别
捐款额（x）元
户数
A
1≤x＜100
2
B
100≤x＜200
10
C
200≤x＜300
c
D
300≤x＜400
d
E
x≥400
e
请结合以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　；
（2）d＝　 　，并补全图1；
（3）图2中，“B”所对应扇形的圆心角为　 　度；
（4）若该社区有500户住户，根据以上信息估计全社区捐款不少于300元的户数是　 　．

四．解答题（共3小题，满分28分）
21．（9分）某公司准备购进A，B两种型号的3D打印机．已知购买2台A型3D打印机和3台B型3D打印机共需19万元，购买3台A型30打印机和2台B型3D打印机共需21万元．
（1）求A、B两种型号的3D打印机每台各多少万元？
（2）报据市场需求，该公司筹集了不超过115万元的资金准备一次性购进3D打印机共30台，如果这30台3D打印机可以全部销售，销售后利润不少于35万元，其中，A型3D打印机每台售价6.5万元，B型3D打印机每台售价4万元，那么有哪几种购进打印机的方案可供选择？（写出具体方案）
22．（9分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下到问题：
（1）货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为　 　；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．

23．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的长．（结果保留π）

五．解答题（共3小题，满分35分）
24．（11分）某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①﹣②﹣③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC坐标的交点．
该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2＝BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．

25．（12分）已知，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上，点E在AB边上，，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F．
（1）如图1，当AB＝AC时：
①∠EBF的度数为　 　；
②求证：DE＝2BF．
（2）如图2，当AB＝kAC时，求的值（用含k的式子表示）．

26．（12分）定义：若直线（不与y轴平行）与抛物线只有一个公共点，则称该直线为物线的切线，其公共点称为切点．
已知点P是直线l：y＝﹣1上一点，过点P作抛物线y＝x2的切线．
（1）若P的横坐标为0，求切线的函数解析式．
（2）求证：过直线l上任意给定的一点P，都存在两条抛物线的切线．
（3）设（2）中的两个切点分别为M，N．问：直线MN是否恒过某一定点？若是，求该定点坐标；若不是，说明理由．

参考答案
一．选择题
1．解：：是分数，属于有理数；﹣0.5，3.14是有限小数，属于有理数；
无理数有：3.3030030003…，﹣π共2个．
故选：B．
2．解：∵主视图和左视图都是三角形，
∴此几何体为椎体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆锥．
故选：B．
3．解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣a＞0，﹣ab＜0，
∴点M（﹣ab，﹣a）在第二象限．
故选：B．
4．解：将A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）分别代入解析式y＝﹣得，
y1＝3.5，y2＝﹣7，y3＝﹣3.5．
于是可知y1＞y3＞y2．
故选：B．
5．解：∵QR∥OB，∴∠AQR＝∠AOB＝40°，∠PQR+∠QPB＝180°；
∵∠AQR＝∠PQO，∠AQR+∠PQO+∠RQP＝180°（平角定义），
∴∠PQR＝180°﹣2∠AQR＝100°，
∴∠QPB＝180°﹣100°＝80°．
故选：B．
6．解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝3x2向右平移1个单位长度后，所得的函数解析式为y＝3（x﹣1）2．
故选：B．
7．解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，
∵AC＜BD，
∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；
B、∵S△ABD＝S平行四边形ABCD，S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；
D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；
故选：B．
8．解：∵有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，
∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是；
故选：B．
9．解：圆锥的全面积＝π×42+×2π×4×9＝52π（cm2）．
故选： B．
10．解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC＝x，OG＝y，

由勾股定理可知：，
②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22＝0，
∴（x+y）2﹣22＝（y+2）2﹣x2，
∴（x+y+2）（x+y﹣2）＝（y+2+x）（y+2﹣x），
∵x+y+2≠0，
∴x+y﹣2＝y+2﹣x，
∴x＝2，代入①得到r2＝10，代入②得到：10＝4+（x+y）2，
∴（x+y）2＝6，
∵x+y＞0，
∴x+y＝，
∴y＝﹣2．
∴CG＝x+y＝，
∴正方形PCGQ的面积为6，
故选：B．
二．填空题
11．解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故答案为：5.5×104．
12．解：把这些数从小到大排列为：7，7，8，8，8，9，9，最中间的数是8，
则中位数是8；
故答案为：8．
13．解：这个多边形的边数是n，
则：（n﹣2）180°＝900°，
解得n＝7．
七边形从一顶点可作对角线4条．
故答案为：7；4
14．解：根据题意，得
．
故答案为：．
15．解：把（2，2）代入为常数，k≠0）得k＝2×2＝4，
所以反比例函数解析式为y＝，
当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝2；
所以当1＜x＜2时，函数值y的取值范围为2＜y＜4．
故答案为2＜y＜4．
16．解：连接AC，BC，
∵D、E分别是、的中点，
∴＝，＝，
∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠FBA+∠FAB＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AFE＝∠FAB+∠FBA＝45°；
∴∠AFB＝135°，
设△ABF的外接圆的圆心为O，取弦AB所对的弧上的点G与点F在AB的两侧，
∴∠AGB＝180°﹣∠AFB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝4，
∴OA＝AB＝2，
∴△ABF的外接圆半径是2，
故答案为：45，2．

三．解答题
17．解：（1）原式＝﹣×+×（）2
＝﹣+×3
＝1；
（2）原式＝
＝2．
18．解：

当，时，
＝．
19．证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．
又∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°．
在Rt△ABF与Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△CDE，
∴∠C＝∠A，
∴AB∥CD．
20．解：（1）本次调查的样本容量为20÷40%＝50，
故答案为：50；

（2）d＝50×28%＝14，
补全图形如下：

故答案为：14；

（3）图2中，“B”所对应扇形的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；

（4）估计全社区捐款不少于300元的户数是500×（28%+8%）＝180户，
故答案为：180户．
四．解答题
21．解：（1）设A型3D打印机每台x万元，B型3D打印机每天y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：A型3D打印机每台5万元，B型3D打印机每天3万元．
（2）设购进m台A型3D打印机，则购进（30﹣m）台B型3D打印机，
依题意，得：，
解得：10≤m≤12．
∵m为整数，
∴m＝10，11，12，
∴共三种进货方案：①购进10台A型3D打印机，20台B型3D打印机；②购进11台A型3D打印机，19台B型3D打印机；③购进12台A型3D打印机，18台B型3D打印机．
22．解：（1）设货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，根据题意得
5k1＝300，
解得k1＝60，
∴y＝60x，
即货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；
故答案为：y＝60x；

（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
，解得，
∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
解方程组，解得，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；

3）当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
23．（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：作OG⊥AE于点G，连接BD，如图2所示：
则AG＝CG＝AC＝4，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4+4＝8，∠DOG＝90°，
∴AB＝2OA＝16，
∵AC＝8，CE＝4，
∴AE＝AC+CE＝12，
∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴AD2＝192，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝8，
在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
则弧BD的长度为＝．


五．解答题
24．解：选择图①证明：连接DN．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝DO，∠DCN＝90°，
∵ON⊥BD，
∴NB＝ND，
∵∠DCN＝90°，
∴ND2＝NC2+CD2，
∴BN2＝NC2+CD2．
25．解：（1）①∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDE＝∠C＝22.5°，∠F＝90°，
∴∠DBF＝67.5°，
∴∠EBF＝∠DBF﹣∠ABC＝22.5°；
②如图1，过点D作DG∥AC，交BF延长线于点G，交AB于点H，
则∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，
∵＝∠GDB＝∠FDG，

又∵DF＝DF，∠DFB＝∠DFG＝90°，
∴△BDF≌△GDF（ASA），
∴BF＝GF＝BG，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠GDB，
∴HB＝HD，
∵∠BFD＝∠EHD＝90°，∠BEF＝∠DEH，
∴∠EBF＝∠EDH，
∴△GBH≌△EDH（ASA），
∴BG＝DE，
∴BF＝DE，即DE＝2BF；
故答案为：22.5°；

（2）过点D作DG∥CA，交BF延长线于点G，交AB于点H，

同理可证△DFB≌△DFG（ASA），BF＝GB，∠BHD＝∠BHG＝90°，∠EBF＝∠EDH，
∴△GBH∽△EDH，
∴＝，即＝，
又∵DG∥AC，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝，即＝＝k，
∴＝．
26．解：（1）点P（0，﹣1），设过点P的直线表达式为：y＝kx﹣1，
将直线表达式与抛物线表达式联立并整理得： x2﹣kx+1＝0，
△＝k2﹣1＝0，解得：k＝±1，
故切线的函数解析式为：y＝x﹣1或y＝x+1；

（2）设点P（m，﹣1），同理可得过点P的直线表达式为：y＝kx﹣1﹣km，
将直线表达式与抛物线表达式联立并整理得： x2﹣kx+1+km＝0，
△＝k2﹣1﹣km＝0，
△′＝m2+4＞0，故存在两个k值，
故过直线l上任意给定的一点P，都存在两条抛物线的切线；

（3）∵点M、点N为抛物线y＝x2上的点，
∴设M（2a，a2），N（2b，b2），
设直线PM的解析式为y＝kx+n，
∵直线PM过点M，∴a2＝2ak+n，∴n＝a2﹣2ak，
∴直线PM的解析式为y＝kx﹣2ak+a2，即y＝k（x﹣2a）+a2，
联立，
整理得x2﹣4kx+8ak﹣a2＝0，
∵直线PM（不与y轴平行）与抛物线只有一个公共点，
∴△＝16k2﹣4（8ak﹣a2）＝0，解得k＝a，
∴直线PM为y＝ax﹣a2，
同理证得直线PN为：y＝bx﹣b2，
把P（m，﹣2）分别代入直线PM和直线PN的解析式得，
解得m＝＝，∴a﹣＝b﹣，
∴a﹣b＝﹣，∴ab＝﹣2，
设直线MN的解析式为y＝mx+k，
∵M（2a，a2），N（2b，b2），
∴，解得：，
∴直线MN的解析式为y＝（a+b）x+1，
∴当x＝0时，y＝1，
故直线MN恒过（0，1）点．