2019年辽宁省丹东市第十八中学中考二模数学试题（解析版）

这是一份2019年辽宁省丹东市第十八中学中考二模数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了已知点 A，分解因式等内容，欢迎下载使用。

辽宁省丹东市2019年第十八中学九年级第二次模拟数学试题
一选择题：（每题3分，共24分）
1.下列运算正确的是（ )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘法的运算法则分别判断各选项即可解答.
【详解】解：A. ，故A正确；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D.
故选A.
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘法的运算法则，准确计算是解题的关键.
2.7名学生参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己是否进前4名，他除了知道自己成绩外，还要知道这7名学生成绩的（ ）
A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】
7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有7个人，且他们分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少；
故选D．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
3.函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A. x>1 B. x≤1 C. x<1 D. x≥1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可解答.
【详解】解：根据题意得 ，解得x<1；
故选C.
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义，熟练掌握是解题的关键.
4.下面是一个几何体的俯视图，那么这个几何体是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据各个选项中的几何体的俯视图即可解答.
【详解】解：由图可知，
选项B中的图形是和题目中的俯视图看到的一样，
故选B．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，俯视图是从上向下看得到的图纸，熟练掌握是解题的关键.
5.如图二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（）下列结论正确的是（ ）

A. abc>0 B. a=b
C. a=4c-4 D. 方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向及抛物线与y轴交点位置，即可得出a＜0、c＞0；由抛物线顶点的横坐标可得出，解得a=-b；由抛物线顶点的纵坐标可得出 ，进而可得出4ac-b2=4a；然后分别判断各选项即可解答.
【详解】解：∵抛物线顶点的横坐标可得出，∴a=-b，故B错误；
∵抛物线开口方向及抛物线与y轴交点位置，∴a＜0、c＞0；
∴abc＜0，故A错误，
∵抛物线顶点的纵坐标可得出，∴4ac-b2=4a，
又a=-b，∴a=4c-4，故C正确；
函数y=的图像与x轴的交点只有一个，故D错误；
综上所述，故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握是解题的关键
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（　　）

A. AD=CD B. ∠A=∠DCE C. ∠ADE=∠DCB D. ∠A=2∠DCB
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，故A正确，
∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，
∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，
故选D．
【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．
7.已知点 A（-1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：∵A（-1，1），B（1，1），∴A与B关于y轴对称，故C，D错误；
∵B（1，1），C（2，4），当x＞0时，y随x的增大而增大，而B（1，1）在直线y=x上，C（2，4）不在直线y=x上，所以图象不会是直线，故A错误；故B正确．
故选B．
8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：
①∠ACD=30°，②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC=：6；④S△OCF=2S△OEF，⑤△OEF∽△BCF成立的个数有（　　）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】D
【解析】
分析】
由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故③正确；由三角形的中位线可得BC∥OE，可判断△OEF∽△BCF，故⑤正确；根据相似三角形的性质得到=2，求得S△OCF=2S△OEF；故④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE=∠BCE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=CE，
∵AB=2BC，
∴AE=BC=CE，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴AC=BC，
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE=BC，
∴OE：AC=：6；故③正确；
∵AO=OC，AE=BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，故⑤正确；
∴=2
∴S△OCF：S△OEF==2，
∴S△OCF=2S△OEF；故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
二、填空：（每题3分，共24分）
9.分解因式：x4-1=_________________________
【答案】
【解析】
【分析】
运用平方差公式进行因式分解即可解答.
【详解】解：x4-1=（x²+1）（x²-1）=（x²+1）（x+1）（x-1）；
故答案为（x²+1）（x+1）（x-1）.
【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
10.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__．

【答案】40°
【解析】
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
【详解】如图所示：

∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°．
故答案为40°．
【点睛】主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
11.一个扇形的圆心角是120°，它所对的弧长是cm，则此扇形的面积为____________
【答案】cm2
【解析】
【分析】
利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积=弧长×半径÷2．
【详解】解：∵，
∴r=9cm，
∴扇形的面积=6π×9÷2=27π，
故答案为27πcm2．
【点睛】题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式，熟练掌握是解题的关键.
12.不等式组的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】
分别解两个不等式，找出两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.
【详解】解： ，
解①可得x＞，解②可得x≤3，
故不等式组的解集为＜x≤3；
故答案为＜x≤3.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，准确计算是解题的关键.
13.如图，正方形的边长为，边在轴负半轴上，反比例函数的图象经过点和边中点，则的值为__________．

【答案】；
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，有AB=AD=1，设B（k，1），由E是CD边中点，得到，代入反比例函数，即可得到答案.
【详解】解：在正方形ABCD中，AB=AD=1，则设点B坐标为（k，1），
∵E是CD边中点，
∴，
∴，
解得：；
故答案为.
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，要知道，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
14.129000000用科学记数法表示为_____
【答案】
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.
【详解】解：将129000000用科学记数法表示为1.29×108．
故答案为1.29×108．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握是解题的关键.
15.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______
【答案】k≥－1且k≠0 ；
【解析】
试题解析：关于的一元二次方程有实数根，
则
解得：且
故答案为且
16.如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1=90°，∠A0OA1=30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…，Rt△OA2018A2019，若点A0（1，0），则点A2019的横坐标为_______

【答案】0
【解析】
【分析】
由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1、OA2，得出规律，即可得出结果．
【详解】解：∵∠OA0A1=90°，OA1=，∠A2OA1=30°，
同理：OA2=，…，OAn=，
∴OA2019长度为；
∵2019×30°÷360=168…3，
∴OA2019与OA3重合，
∴点A2019的横坐标为0；
故答案为0.
【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的知识，通过计算得出规律是解题的关键．
三、解答题：
17.化简求值： 其中
【答案】-2.
【解析】
【分析】
通过因式分解然后通分进行计算即可解答.
【详解】解：a==1+(-5)+3=-1,
原式＝
【点睛】本题考查了利用因式分解进行化简计算，准确计算是解题的关键.
18.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）直接写出点B2，C2的坐标．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）点B2（4，－2），C2（1，－3）．
【解析】
试题分析：（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．
试题解析：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．

19.家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．
（1）下列选取样本的方法最合理的一种是　 　．（只需填上正确答案的序号）
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．
（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：

①m=　 　，n=　 　；
②补全条形统计图；
③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？
④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．
【答案】（1）③；（2）①20，6；②补图见解析；③B类；④18万户.
【解析】
试题分析：（1）根据简单随机抽样的定义即可得出答案.
（2）①依题可得出总户数为1000户，从而求出m和n的值.
②根据数据可求出C的户数，从而补全条形统计图.
③根据调查数据，利用样本估计总体可知，该市市民家庭处理过期药品最常见方式是直接丢弃.
④根据样本估计总体，即可求出送回收点的家庭户数.
试题解析：（1）简单随机抽样即按随机性原则，从总体单位中抽取部分单位作为样本进行调查，以其结果推断总体有关指标的一种抽样方法．随机原则是在抽取被调查单位时，每个单位都有同等被抽到的机会，被抽取的单位完全是偶然性的.由此可以得出答案为③
（2）①依题可得：510÷51%=1000（户）.
∴200÷1000×100%=20%.
∴m=20.
∴60÷1000×100%=6%．
∴n=6.
②C的户数为：1000×10%=100（户），补全的条形统计图如下：

③根据调查数据，利用样本估计总体可知，该市市民家庭处理过期药品最常见方式是直接丢弃.
④∵样本中直接送回收点为10%，根据样本估计总体，送回收点的家庭约为：
180×10%=18（万户）.
考点：1、用样本估计总体，2、扇形统计图，3、条形统计图
20.传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其它一切均相同．
（1）小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为 ；
（2）若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性是否会增大？请说明理由．
【答案】（1）；（2）会增大．
【解析】
试题分析：（1）首先分别用A，B，C表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小文都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小文吃前两个都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给小文再增加一个花生馅的粽子，比较大小即可．
试题解析：解：（1）分别用A，B，C表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，小文吃前两个粽子刚好都是花生馅的有2种情况，∴小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率：=，故答案为；
（2）会增大，理由：分别用A，B，C表示一个枣馅粽，一个肉馅粽，三个花生馅粽，画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，两个都是花生的有6种情况，∴都是花生的概率为： =＞；
∴给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性会增大．
点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2015年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
(1)实际每年绿化面积为多少万平方米？
(2)为加大创建力度，市政府决定从2018年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【答案】（1）实际每年绿化面积为54万平方米；（2）实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．
【解析】
【分析】
（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程；（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式．
【详解】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得

解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
54×2+2（54+a）≥360
解得：a≥72．
答：则至少每年平均增加72万平方米．
22.如图，点O在∠APB平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

【答案】(1)证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；
（2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=5，则PE=8．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．
试题解析：（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA．
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C， ∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径， ∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62， 解得x=．
则EC=2x=．

23.如图所示．在山顶上有一座电视塔AB（AB与水平面垂直），小明同学要测量电视塔AB的高度，在斜坡MN上取一点C，测得塔顶A的仰角为15°，小明沿斜坡MN上行300米到点D，在点D恰好平视电视塔顶A(即AD与水平地面平行），若斜坡MN的坡角为30〫，山高BM为400米，且N、D、C、M、P、B、A在同一平面内，A、B、M在同一条直线上，请根据以上数据帮助小明求出电视塔AB的高度（结果精确到1米）（）

【答案】电视塔AB的高度73米.
【解析】
【分析】
先过C作CF⊥AB于F，过A作AE⊥DC于E，根据角度关系可得AE=CE，设AE=CE=x，则DE=300+x，在Rt△ADE中可得DE=，所以 300+x=，可求出x的值，在Rt△AEM中AM=，可计算出AM的值，已知BM=400,近一步求出AB的值即可解答.
【详解】解：如图，过C作CF⊥AB于F，过A作AE⊥DC于E，

∵塔顶A的仰角为15°，斜坡MN的坡角为30〫，
∴∠ACE=45°，∠ADE=30°，∠AME=60°，
三角形ACE是等腰直角三角形，设AE=CE=x，则DE=300+x，
在Rt△ADE中∠ADE=30°，可得DE==,
∴300+x=，解得x=150（）,
在Rt△AEM中∠AME=60°，可得AM===100（3+），
所以AB=AM-BM=100（3+）-400≈73（m）；
答：电视塔AB的高度为73m.
【点睛】本题考查了解直角三角形、三角函数，准确作出辅助线是解题的关键.
24.某商场对某种商品进行销售，第x天的销售单价为m元/件，日销售量为n件，其中m，n分别是x（1≤x≤30，且x为整数）的一次函数，销售情况如下表：

（1）过程表中数据，分别直接写出m与x，n与x的函数关系式： ， ；
（2）求商场销售该商品第几天时该商品的日销售额恰好为3600元？
（3）销售商品的第15天为儿童节，请问：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第几天时该商品的日销售额最多？商场决定将这天该商品的日销售额捐献给儿童福利院，试求出商场可捐款多少元？
【答案】（1）m=﹣x+50；n=5x+40；（2）第10天的日销售额为3600元；（3）在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第14天时该商品的日销售额最多，商场可捐款3960元．
【解析】
试题分析：（1）由表格中数据的变化，用含x的代数式表示出m、n即可；
（2）根据总价=单价×数量即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由1≤x≤30可确定x的值；
（3）设日销售额为w元，根据总价=单价×数量即可找出w关于x的函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
试题解析：解：（1）观察表中数据可知：每过一天，销售单价降低1元/件、销量增加5件，∴m=49﹣（x﹣1）=﹣x+50，n=45+5（x﹣1）=5x+40．
故答案为m=﹣x+50；n=5x+40．
（2）根据题意得：（﹣x+50）（5x+40）=3600，整理得：x2﹣42x+320=0，解得：x1=10，x2=32．
∵32＞30，∴x=32舍去．
答：第10天的日销售额为3600元．
（3）设日销售额为w元，根据题意得：w=（﹣x+50）（5x+40）=﹣5x2+210x+2000=﹣5（x﹣21）2+4205．
∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．
又∵对称轴为直线x=21，∴当1≤x≤14时，w随x的增大而增大，∴当x=14时，w取最大值，最大值为3960．
答：在儿童节前（不包括儿童节当天）销售该商品第14天时该商品的日销售额最多，商场可捐款3960元．
点睛：本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据表中数据的变化找出m、n与x的函数关系式；（2）根据总价=单价×数量列出关于x的一元二次方程；（3）根据总价=单价×数量找出w关于x的函数关系式．
25.边长为6的等边△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DE∥AB，EC ＝2

（1）如图1，将△DEC 沿射线EC 方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC 的交点为M ，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N.当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC 绕点C 旋转∠α(0°<α<360°)，得到△D ′E′C，连接AD′，BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP ，当AP 最大时，求AD′的值．(结果保留根号)
【答案】(1) 当CC'=时，四边形MCND'是菱形，理由见解析；(2)①AD'=BE'，理由见解析；②．
【解析】
【分析】
（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM，即可求出CC'；
（2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论；
②先判断出点A，C，P三点共线，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）当CC'=时，四边形MCND'是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC'=180°-∠ACB=120°，
∵CN是∠ACC'的角平分线，
∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B，
∴∠D'E'C'=∠NCC'，
∴D'E'∥CN，
∴四边形MCND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵E'C'=2，
∵四边形MCND'是菱形，
∴CN=CM，
∴CC'=E'C'=；
（2）①AD'=BE'，
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，
由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，
∴△ACD'≌△BCE'，
∴AD'=BE'，
当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，
即：AD'=BE'，
综上可知：AD'=BE'．
②如图连接CP，

在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，
如图1，

在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'=，
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'=．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（2）的关键是判断出点A，C，P三点共线时，AP最大．
26.如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，抛物线y=ax2+bx经过点C、A.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于R、S两点，问：四边形PRSM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点Q,过点Q作x轴的垂线，垂足为H,使得以O、Q、H为顶点的三角形与∆OAB相似，如果存在，直接写出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）有，最大值为10，过程略；（3）存在，Q1(2,4)；Q2 ().
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；
（2）四边形PRSM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，-a2+4a）则由抛物线的对称性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，PR=MS=-a2+4a，则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PRSM的周长的最大值．
（3）分别计算△OHQ∽△BAO和△OHQ∽△OAB时Q点的坐标，分析后即可解答.
【详解】解：（1）∵OA=4，AB=2，△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，∴点C的坐标为（2，4）．
又∵点A的坐标为（4，0），抛物线经过原点，故设y=ax2+bx（a≠0），把（2，4），（4，0）代入，得 ，
解得，所以抛物线的解析式为y=-x2+4x；
（2）有最大值．如图，

理由如下：设点P的坐标为P（a，-a2+4a），PR=MS=-a2+4a，
则由抛物线的对称性知OR=AS，所以RS=PM=4-2a，
则矩形PRSM的周长L=2[4-2a+（-a2+4a）]=-2（a-1）2+10，
所以当a=1时，矩形PRSM的周长有最大值，Lmax=10．
（3）设H点坐标为（n，0）,则OH=n，QH=-n²+4n，
①假设△OHQ∽△BAO，则 ,
可得，解得=2，=0（舍去），
代入可得Q点坐标为（2，4）；
②假设△OHQ∽△OAB，则,
，解得= ，=0（舍去），
代入可得Q点坐标为（，）；
综上所述Q点坐标为（2，4）或（，）.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、相似三角形、旋转的性质，综合性较强，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.