北京市门头沟区2019年中考数学模拟试卷（含解析）

2019年北京市门头沟区中考数学模拟试卷

一．选择题（满分16分，每小题2分）

1．下列说法不正确的是（　　）

A．三角形的三条高线交于一点 

B．直角三角形有三条高

C．三角形的三条角平分线交于一点 

D．三角形的三条中线交于一点

2．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣1且 x≠1 B．x≥﹣1 C．x≠1   D．x≥﹣1且 x≠1

3．如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B． 

C． D．

4．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠4＝180°

5．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

6．如图，数轴上表示实数的点可能是（　　）

A．点P B．点Q C．点R D．点S

7．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（　　）

A．甲超市的利润逐月减少 

B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加 

C．8月份两家超市利润相同 

D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市

8．小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（km）与所花时间t（min）间的函数关系；下列说法：①他步行了1km到校车站台；②他步行的速度是100m/min；③他在校车站台等了6min；④校车运行的速度是200m/min；其中正确的个数是（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题（满分16分，每小题2分）

9．若△ABC∽△DEF，请写出 2 个不同类型的正确的结论______、_______．

10．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝_________．

11．化简：＝_______　．

12．你喜欢足球吗？下面是对某学校七年级学生的调查结果：

则男同学中喜欢足球的人数占全体同学的百分比是________．

13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A＝32°，则∠D＝___________度．

14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程___________．

15．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段

PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是________．

16．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．

已知线段a，c如图．

小芸的作法如下：

①取AB＝c，作AB的垂直平分线交AB于点O；

②以点O为圆心，OB长为半径画圆；

③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；

④连接BC，AC．

则Rt△ABC即为所求．

老师说：“小芸的作法正确．”

请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是______________．

三．解答题（共12小题，满分68分）

17．（5分）计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣cos45°．

18．（5分）解不等式组

19．（5分）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB．

（1）求∠ACE；

（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，证明：△CFD是直角三角形．

20．（5分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．

（1）求n和b的值；

（2）求△OAB的面积；

（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．

21．（5分）如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，AC的垂直平分线EF分别交BC.AD于点E和F，EF交AC于点O．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若AC＝8，EF＝6，求BC的长．

22．（5分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围．

（2）当m为正整数时，求方程的根．

23．（5分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．

（1）求证：AC平分∠DAE；

（2）若cosM＝，BE＝1，①求⊙O的半径；②求FN的长．

24．（5分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：

根据上面的数据，将下表补充完整：

（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0～7.9万元为良好，6.0～6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格）

两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

结论  （1）估计乙业务员能获得奖金的月份有________个；

（2）可以推断出____-业务员的销售业绩好，理由为______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

25．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，BC＝3厘米，AC＝4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B.P两点间的距离为y厘米．

小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小新的探究过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

经测量m的值是______（保留一位小数）．

（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．

26．（7分）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．

27．（7分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0＜α＜120°），得△A1BC1，交AC于点E，AC分别交A1C1.BC于D.F两点．

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图②，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求ED的长．

28．（8分）如图，已知一次函数y＝x+4 与x轴交于点A，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+b经过点C与x轴交于点B．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点P为x轴上方直线BC上一点，点G为线段BP的中点，点F为线段AB的中点，连接GF，取GF的中点M，射线PM交x轴于点H，点 D 为线段PH的中点，点E为线段AH的中点，连接DE，求证：DE＝GF；

（3）在（2）的条件下，延长 PH 至 Q，使 PM＝MQ，连接 AQ、BM，若∠BAQ+∠BMQ＝∠DEB，求点 P 的坐标．

参考答案

一．选择题

1．解：A.三角形的三条高线所在的直线交于一点，错误；

B.直角三角形有三条高，正确；

C.三角形的三条角平分线交于一点，正确；

D.三角形的三条中线交于一点，正确；

故选：A．

2．解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，

解得：x≥﹣1，且x≠1，

故选：D．

3．解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，

故选：D．

4．解：如图，∵AB∥CD，

∴∠3+∠5＝180°，

又∵∠5＝∠4，

∴∠3+∠4＝180°，

故选：D．

5．解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：B．

6．解：∵2＜＜3，

∴数轴上表示实数的点可能是点Q．

故选：B．

7．解：A.甲超市的利润逐月减少，此选项正确；

B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；

C.8月份两家超市利润相同，此选项正确；

D.乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；

故选：D．

8．解：根据题意得：

小明用了10分钟步行了1km到校站台，

即小明步行了1km到校车站台，①正确，

1000÷10＝100m/min，

即他步行的速度是100m/min，②正确，

小明在校车站台从第10min等到第16min，

即他在校车站台等了6min，③正确，

小明用了14min的时间坐校车，走了7km的路程，

7000÷14＝500m/min，

即校车运行的速度是500m/min，④不正确，

即正确的是①②③，

故选：C．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．解：∵△ABC∽△DEF，

∴∠ABC＝∠DEF，＝＝，

故答案为：∠ABC＝∠DEF；＝＝．

10．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，

在Rt△ABC中，∠B＝45°，

∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，

∵两个同样大小的含45°角的三角尺，

∴AD＝BC＝2，

在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝

∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，

故答案为：﹣1．

11．解：原式＝＝，

故答案为：．

12．解：由题可得，男同学中喜欢足球的人数占全体同学的百分比是：

×100%＝50%，

故答案为：50%．

13．解：连接OC，

由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝64°，

∵CD为⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠D＝90°﹣∠COD＝26°，

故答案为：26．

14．解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：

﹣＝．

故答案为：﹣＝．

15．解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB＝4，O为AB的中点，

∴A（﹣2，0），B（2，0）．

设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB．

由旋转的性质可知：PC＝PB．

在△ECP和△FPB中，

，

∴△ECP≌△FPB．

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．

∴C（x+y，y+2﹣x）．

∵AB＝4，O为AB的中点，

∴AC＝＝．

∵x2+y2＝1，

∴AC＝．

∵﹣1≤y≤1，

∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．

故答案为：3．

16．解：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．

故答案为直径所对的圆周角为直角．

三．解答题（共12小题，满分68分）

17．解：原式＝4﹣3+1﹣×

＝2﹣1

＝1．

18．解：解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，

解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜3，

则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．

19．解：（1）∵∠A＝30°，∠B＝62°，

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝88°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝44°；

（2）∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠BCD＝90°﹣∠B＝28°，

∴∠FCD＝∠ECB﹣∠BCD＝16°，

∵∠CDF＝74°，

∴∠CFD＝180°﹣∠FCD﹣∠CDF＝90°，

∴△CFD是直角三角形．

20．解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，

得k＝1×4，1+b＝4，

解得k＝4，b＝3，

∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，

∴n＝＝﹣1；

（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，

∵当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；

（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），

∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．

21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵EF垂直平分AC，

∴AF＝FC，AE＝EC，

∴∠FAC＝∠FCA，

∴∠FCA＝∠ACB，

∵∠FCA+∠CFE＝90°，∠ACB+∠CEF＝90°，

∴∠CFE＝∠CEF，

∴CE＝CF，

∴AF＝FC＝CE＝AE，

∴四边形AECF是菱形．

证法二：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，∠AFO＝∠CEO，

∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∴△AOF≌△COE，

∴OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形

∴OC＝AC＝4，OE＝EF＝3

∴CE＝＝＝5，

∵∠COE＝∠ABC＝90，∠OCE＝∠BCA，

∴△COE∽△CBA，

∴＝，

∴＝，

∴BC＝．

22．解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．

解得m＜2；

（2）由（1）知，m＜2．

有m为正整数，

∴m＝1，

将m＝1代入原方程，得

x2﹣2x＝0

x（x﹣2）＝0，

解得x1＝0，x2＝2．

23．（1）证明：连接OC，如图，

∵直线DE与⊙O相切于点C，

∴OC⊥DE，

又∵AD⊥DE，

∴OC∥AD．

∴∠1＝∠3

∵OA＝OC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AC平方∠DAE；

（2）解：①∵AB为直径，

∴∠AFB＝90°，

而DE⊥AD，

∴BF∥DE，

∴OC⊥BF，

∴＝，

∴∠COE＝∠FAB，

而∠FAB＝∠M，

∴∠COE＝∠M，

设⊙O的半径为r，

在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，即＝，解得r＝4，

即⊙O的半径为4；

②连接BF，如图，

在Rt△AFB中，cos∠FAB＝，

∴AF＝8×＝

在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，

∴CE＝3，

∵AB⊥FM，

∴，

∴∠5＝∠4，

∵FB∥DE，

∴∠5＝∠E＝∠4，

∵＝，

∴∠1＝∠2，

∴△AFN∽△AEC，

∴＝，即＝，

∴FN＝．

24．解：如图，

（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；

（2）可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．

故答案为0，1，3，0，2，4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．

25．解：（1）经测量，当t＝6时，BP＝3.0．

（当t＝6时，CP＝6﹣BC＝3，

∴BC＝CP．

∵∠C＝60°，

∴当t＝6时，△BCP为等边三角形．）

故答案为：3.0．

（2）描点、连线，画出图象，如图1所示．

（3）在曲线部分的最低点时，BP⊥AC，如图2所示．

26．解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），

设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．

∵该函数图象经过点A（1，0），

∴0＝a（x﹣3）2﹣2，

解得a＝

∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．

（2）如图所示：

当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；

当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；

当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；

当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；

当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．

27．解：（1）EA1＝FC．理由如下：

∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，

∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1，

∴∠ABE＝∠C1BF，AB＝BC＝A1B＝BC1，

在△ABE和△C1BF中，，

∴△ABE≌△C1BF（ASA），

∴BE＝BF，

∴A1B﹣BE＝BC﹣BF，

即EA1＝FC；

（2）四边形BC1DA是菱形．理由如下：

∵旋转角α＝30°，

∠ABC＝120°，

∴∠ABC1＝∠ABC+α

＝120°+30°＝150°，

∵∠ABC＝120°，AB＝BC，

∴∠A＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，

∴∠ABC1+∠C1＝150°+30°＝180°，

∠ABC1+∠A＝150°+30°＝180°，

∴AB∥C1D，AD∥BC1，

∴四边形BC1DA是平行四边形，

又∵AB＝BC1，

∴四边形BC1DA是菱形；

（3）过点E作EG⊥AB，

∵∠A＝∠ABA1＝30°，

∴AG＝BG＝AB＝1，

在Rt△AEG中，AE＝＝＝，

由（2）知AD＝AB＝2，

∴DE＝AD﹣AE＝2﹣．

28．（1）解：∵一次函数y＝x+4 与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴C（0，4），A（﹣5，0）．

∵一次函数y＝﹣x+b经过点C，

∴b＝4，

∴一次函数解析式为y＝﹣x+4．

（2）证明：如图1中，连接AP．

在△APB中，∵PG＝GB，AF＝FB，

∴FG＝AP，

在△APH中，∵AE＝EH，PD＝DH，

∴DE＝AP，

∴FG＝DE．

（3）解：如图2中，延长GF交AQ于K，连接PE．

∵GM＝MF，∠PMG＝∠QMF，PM＝MQ，

∴△PGM≌△QFM，

∴QF＝PG＝GB，∴∠FQM＝∠MPG，

∴QF∥PB，

∴四边形FGBQ是平行四边形，

∴BQ＝FG＝DE，BQ∥DE，可得△DEH≌△QBH，

∴EH＝HB＝AE，

∴H（1，0），设GM＝a，则MF＝a，PA＝4a，

∵GK∥AP，PM＝MQ，

∴AK＝KQ，

∴MK＝2a，FK＝a，

∴FM＝FK，∠MFB＝∠AFK，BF＝AF，

∴△AFK≌△BFM，

∴∠FAK＝∠MBF，

∴BM∥AQ，

∴∠BAQ＝∠ABM，

∵∠BAQ+∠BMQ＝∠DEB＝∠PAB，

∴∠ABM+∠BMQ＝∠PAB＝∠PHA，

∴PA＝PH，∵AE＝EH，

∴PE⊥AH，

设AE＝EH＝x，

则EO＝x﹣1，EO＝OA﹣AE＝5﹣x，

∴5﹣x＝x﹣1，

∴x＝3，

∴PE＝EB＝6，EO＝2，

∴P（﹣2，6）．