2022-2023学年河南省南阳市六校高一（下）第二次联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市六校高一（下）第二次联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数为虚数单位，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角的弧度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  函数的部分图象如图所示，则(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在平行四边形中，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，角，，所对的边分别为，，，且若有两解，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知向量满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列选项中，正确的是(    )

A. 若，则
B.
C. 在任意斜中
D. 在中，角，，所对的边分别为，，，则

10.  已知，，则(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知函数，则(    )

A. 函数的最小正周期为
B. 将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称
C. 函数的一个对称中心为
D. 函数在区间上单调递减

12.  已知函数在上单调，且满足，若在有且仅有个零点，则下列说法正确的是(    )

A.
B.
C. 与在上有且仅有个公共点
D. 在上单调递增

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知，且，则向量的坐标为______ ．

14.  已知，则 ______ ．

15.  计算 ______ ．

16.  将函数且的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数，其中为虚数单位，．
若是纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

18.  本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，且．
若，求实数的值；
若，求面积的最大值．

19.  本小题分
设函数．
求的最小正周期和单调递减区间；
当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的．

20.  本小题分
“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高米，转轮直径约为米，共有个酷似太空舱胶囊的全景式进口轿厢，每个轿厢可容纳人“湾区之光”旋转一圈的时间是分钟，摩天轮开启后按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动单位：后距离地面的高度为单位：．
若以摩天轮在地面上的投影所在直线为轴，过摩天轮的中心且垂直轴的直线为轴建立直角坐标系，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
若游客甲进舱分钟后游客乙进舱，在运行一周的过程中，记单位：表示甲、乙两人距离地面的高度差，求游客甲进舱多长时间后，第一次达到最大值，最大值是多少？

21.  本小题分
已知．
求的值；
求的值．

22.  本小题分
已知向量，，设函数．
求函数在上的零点；
当时，关于的方程有个不等实根，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
由．
故选：．
利用复数的四则运算化简复数，由即可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：令扇形的圆心角的弧度数为，半径为，
则，
解得，
又，
故．
故选：．
利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可．
本题考查了扇形的面积公式以及弧长公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
由题意，
所以．
故选：．
由诱导公式、倍角余弦公式得，三角函数定义知，代入求值即可．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据函数的部分图象，
，，，．
再根据五点法作图，可得，，
故．
故选：．
由函数的图象的顶点坐标求出和，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出和，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，

所以，
则．
故选：．
根据向量对应线段的数量及位置关系，用表示出，求出参数，进而得结果．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，垂足为，则，

若有两解，所以，则，
即，
得．
故选：．
由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得出答案．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，解得：，
，解得：．
故选：．
根据向量坐标运算和数量积运算的性质，结合可求得，由此可得，进而求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积应用以及模长计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据诱导公式、倍角余弦公式得，将条件代入求值即可．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：：，错；
：，对；
：，
所以
，
注意不能有直角，即为任意斜，上述等式成立，对；
：由，
根据正弦边角关系知：，对．
故选：．
应用诱导公式判断；利用平方关系化简判断；由商数关系、三角形内角性质、和角正余弦公式及正弦边角关系化简、判断、．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：， ，则，
即，故为钝角，故A正确；
再根据 ，故D正确；
由可得，，，
故选：．
由题意，利用同角三角函数的基本关系，求得的正弦、余弦、正切值，属于基础题．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由于，最小正周期，故A对；
由于，显然不关于轴对称，故B错；
由于，故的一个对称中心为，故C错；
在上，，根据正弦型函数性质知，单调递减，
所以在区间上单调递减，故D对．
故选：．
由辅助角公式得，由正弦型函数性质求最小正周期、代入判断对称中心、整体法判断区间单调性，根据图象平移写出解析式判断奇偶性，即可知各项正误．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：在上单调，，，
的对称中心为，且，则，，
且，的对称轴为，
从而，且，，
，，
又在有且仅有个零点，
，即，，
，又，，A正确；
，
令，则，，
，，，
，，，，，，
，，共有个解，
则与在上有且仅有个公共点，C正确；
由，，
得，
即在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减，
BD错误．
故选：．
由已知得的对称中心为，对称轴为，可确定，，再根据的性质判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：令，则，可得或，
所以或，经检验满足要求．
故答案为：或．
设，由向量垂直坐标表示、模长的坐标公式列方程求坐标即可．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
将分母“”化为，应用齐次运算求值即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：
，
由，，
所以，
综上，．
故答案为：．
利用诱导公式、倍角正弦公式得，再由，关系求值即可．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：将函数且的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，
且纵坐标保持不变，所得图象的函数为，
又与为同一函数，
，即
．
故答案为：．
先求出变换之后的函数解析式，然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得，，然后可解．
本题考查函数的图象变换，三角函数的性质，方程思想，属中档题．
 

17.【答案】解：由是纯虚数，则，故．
由在复平面内对应的点在第四象限，，解得，
故的取值范围为 

【解析】由纯虚数定义列方程求参数；
由复数对应点所在象限列不等式组求参数范围．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：由是锐角，且，则，
又，可得．
由知：，即，
所以，当且仅当时等号成立，
又，则，
所以面积的最大值为． 

【解析】由二倍角余弦公式易得，结合已知及余弦定理列方程求值．
由余弦定理可得，应用基本不等式可得，注意等号成立条件，最后应用三角形面积公式求面积最大值即可．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：
，
所以的最小正周期是，
由，解得，
所以函数的单调递减区间为．
当时，，
所以当即时，；
当即时，．
所以时，；时，． 

【解析】先根据三角恒等变换将整理化简得到，然后根据正弦函数的性质得到，解不等式即得解；
求出，再利用正弦函数的图象和性质进行求解．
本题主要三角函数最值的求解，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，最高点，最低点，最小正周期，
若，且，，，
则，，，
所以，
又因为函数过，即，
所以，则，
故；
由题意，甲乙所在太空舱夹角为，
所以游客乙进舱后，则高度差，
所以，
要使达到最大，则且，可得，，
所以时，第一次达到最大值，此时，米，
综上，游客甲进舱 后，第一次达到最大值，最大值是米． 

【解析】由题意确定最高点、最低点及最小正周期，令，且，，，且过求参数，即可得解析式；
游客乙进舱后，则高度差，利用和差角余弦公式化简，结合正弦型函数的性质求最值．
本题主要考查三角函数的实际应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：，且，，，
，
，且，，
，
 ；
，，，
 ，
，
，
，
． 

【解析】利用 ，求出相关的三角函数值即可求解；
求出相关角的范围，利用，求解即可．
本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．
 

22.【答案】解：由题设

，
令，则，
而当时，，
所以或或，
即或或，
综上，在上的零点有、、．
，
所以在上有个不等实根，
由，则，
且在上递增，上递减，
所以在的图象如下：

所以，
解得，
则实数的取值范围为． 

【解析】应用向量数量积坐标表示、倍角正余弦公式及辅助角公式化简得，令求上的零点；
问题化为在上有个不等实根，画出在的图象，数形结合求参数的范围．
本题考查三角函数与平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．