2021年中考数学真题复习汇编：专题23锐角三角函数（共65题）（第01期）（含解析）

这是一份2021年中考数学真题复习汇编：专题23锐角三角函数（共65题）（第01期）（含解析），共86页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题23锐角三角函数（共65题）
一、单选题
1．（2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．
【详解】
解：A、，此选项正确；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法，熟知相关计算法则即定义是解决本题的关键．
2．（2021·福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
解直角三角形，已知一条直角边和一个锐角，求斜边的长．
【详解】

，
．
故选D．
【点睛】
本题考查解直角三角形应用，掌握特殊锐角三角函数的值是解题关键．
3．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】
过点A作，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了（ ）

A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】C
【分析】
根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD=CEsinβ与AD=ABsinα，两线段作差即可．
【详解】
解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ，
在Rt△ECD中，sin，
∴CD=，
在Rt△ABD中，sin，
∴，
∴AC=CD-AD=8-6=2．
故选择C．

【点睛】
本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．
5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）．

A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【分析】
结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得：
∵米
∴米
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
6．（2021·天津中考真题）的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】
解：由题意可知，，
故选：A．
【点睛】
本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．
7．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．
①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
①三点共线，直接计算可得；
②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出；
③方法同②．
【详解】
如图过E点作交的延长线于点M，


则

①当时,三点共线，

小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．
②当时，

等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．
③当时，

等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．
综上所述：说法正确的为：①②，共2个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键．
8．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为，坡顶D到BC的垂直距离米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：；；）

A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【答案】D
【分析】
作DF⊥AB于F点，得到四边形DEBF为矩形，首先根据坡度的定义以及DE的长度，求出CE，BE的长度，从而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函数求解即可得出结论．
【详解】
如图所示，作DF⊥AB于F点，则四边形DEBF为矩形，
∴,
∵斜坡CD的坡度（或坡比）为，
∴在Rt△CED中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ADF中，∠ADF=50°，
∴，
将代入解得：，
∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，
故选：D．

【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．
9．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°，

∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，
延长CB到E，使BE=BC，连接EC，
∵C、C1关于PB对称，
∴∠EC1C=∠BQC=90°，
∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，
当点P与点A重合时，点C1与点E重合，
当点P与点D重合时，点C1与点F重合，

此时，，
∴∠PBC=30°，
∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=，
∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，，
线段扫过的区域的面积是．
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．
10．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
【详解】
解：∵是的直径，弦于点E，
∴
在中，，
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
又
∴
∴，故选项B正确，符合题意；
又
∴
∵
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．
11．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（ ）

A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】
根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。
【详解】
解：因为AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
所以AD=，
因为sin∠C=，
所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF==1，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．
12．（2021·云南中考真题）在中，，若，则的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【分析】
根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB==80，
故选D．
【点睛】
本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．
13．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，计算出建筑物的高度约为（ ）（参考数据：）

A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【答案】A
【分析】
作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点，根据坡度求出DF=50，AF=120，从而分别在△BEG和△CEG中求解即可．
【详解】
如图，作DF⊥AB于F点，EG⊥BC于G点，
则四边形DFBG为矩形，DF=BG，
∵斜坡的坡度，
∴，
∵AD=130，
∴DF=50，AF=120，
∴BG=DF=50，
由题意，∠CEG=60°，∠BEG=45°，
∴△BEG为等腰直角三角形，BG=EG=50，
在Rt△CEG中，CG=EG=50，
∴米，
故选：A．

【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．
14．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．
【详解】
解：过点C作的延长线于点，

与是等高三角形，












设



，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，中，，，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使，连结CE，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出，在结合题意可得，即证明，从而得出，即易证，得出．再由等腰三角形的性质可知，，即证明，从而可间接推出．最后由，即可求出的值，即的值．
【详解】
∵在中，点D是边BC的中点，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
16．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：）

A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
【答案】C
【分析】
分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可．
【详解】
解：∵，DF的坡度i=1：1.25，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴顶端M与顶端N的高度差为，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
17．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把边AB沿对角线BD平移，点，分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点，，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线的对称点的距离为48；③的最大值为15；④的最小值为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C到BD的距离，从而对②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于 证明 是最小值时的位置，再利用勾股定理求解，对④做出判断．
【详解】
解：由平移的性质可得AB//
且AB=
∵四边形ABCD为矩形
∴AB//CD，AB=CD=15
∴//CD且=CD
∴四边形CD为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD中，BD===25
过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN

∴S△ABD=AB·CD= BD·AM
∴AM=CN==12
∴点C到的距离为24
∴点C到它关于直线的对称点的距离为48
∴故②正确
∵
∴当在一条直线时最大，
此时与D重合
∴的最大值==15
∴故③正确，
如图，作关于的对称点，交于 连接，过作于 分别交于
则 为的中位线， ，


由可得，

此时最小，
由②同理可得：

设 则
由勾股定理可得：

整理得：

解得：（负根舍去），


∴故④正确
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据勾股定理和三角函数求解．
【详解】
∵在中，，
∴
在中，，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
19．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，点E，F分別在边AB，BC上，，的周长为，则AD的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接BD，过点E作EM⊥AD，可得ME=，AM=1，再证明△BDF≌△ADE，可得是等边三角形，从而得DE=，进而即可求解．
【详解】
连接BD，过点E作EM⊥AD，
∵，，
∴ME=AE×sin60°=2×=，AM= AE×cos60°=2×=1，

∵在菱形ABCD中，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD，
又∵，
∴△BDF≌△ADE，
∴∠BDF=∠ADE，DE=DF，
∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°，
∴是等边三角形，
∵的周长为，
∴DE=×=，
∴DM=，
∴AD=AM+DM=1+．
故选C．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．
20．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，判断出，再根据∠BCP=90°和∠BPC=90°两种情况判断出点P的位置，启动改革免费进行求解即可．
【详解】
解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，

∵△BPC为等腰直角三角形，且点P在菱形ABCD的内部，
很显然，
①若∠BCP=90°，则CP=BC=2
这C作CE⊥AD,交AD于点E，
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°
∴CE=CDsin∠D=2
∴点P在菱形ABCD的外部，
∴与题设相矛盾，故此种情况不存在；
②∠BPC=90°
过P作PF⊥BC交BC于点F，
∵△BPC是等腰直角三角形，
∴PF=BF=BC=1
∴P(1,1)，F(1,0)
过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ABG中，∠ABG=60°
∴∠BAG=30°
∴BG=，AG=
∴A，
∴点F与点G重合
∴点A、P、F三点共线
∴
∴


∴
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．
21．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】
在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】
在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程．
22．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】
解：四边形是矩形，，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
在中，，
在中，，，
，
；
（2）如图，当点在上，即时，

四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，
，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
23．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．
【详解】
解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，
点在第四象限，， ，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
24．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，小明利用一个锐角是的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离为，为（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据题意得出AD的长，在Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出ED的长，由CE＝CD＋DE即可得出结论．
【详解】
解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝15m，AB＝1.5m，
∴AD＝BC＝15m，DC＝AB＝1.5m，
在Rt△AED中，
∵∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴ED＝AD•tan30°＝15×＝5，
∴CE＝CD＋DE＝．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键，属于基本知识的考查．
25．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）


A．（36）cm2 B．（36）cm2 C．24 cm2 D．36 cm2
【答案】A
【分析】
过点C作，过点B作，根据折叠的性质求出，，分别解直角三角形求出AB和AC的长度，即可求解．
【详解】
解：如图，过点C作，过点B作，

∵长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查折叠的性质、解直角三角形，掌握折叠的性质是解题的关键．
26．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（ ）


A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据菱形的性质得出D点的坐标，利用反比例函数的图象经过线段DC的中点N，求出C点的坐标，进而得出；根据菱形的性质可得，，可判定是等边三角形；最后找到ME、AM、AE、OB之间的数量关系求解．
【详解】
∵菱形ABCD，
∴
∴D点的坐标为（0，2）
设C点坐标为（，0）
∵线段DC的中点N
∴设N点坐标为（，1）
又∵反比例函数的图象经过线段DC的中点N
∴，解得
即C点坐标为（，0），
在中，
∴
∵菱形ABCD
∴，，
∴是等边三角形
又∵于E点，于O点
∴，
∵，，
∴
∴
又∵在中，
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和特殊角的三角函数．菱形的性质，四边相等，对角相等，对角线互相垂直且平分一组对角．等边三角形的判定，有一个角为角的等腰三角形是等边三角形．特殊角的三角函数，，，．
27．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，内接于是的直径，若，则（ ）

A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】
首先过点O作OF⊥BC于F，由垂径定理可得BF＝CF＝BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C与∠BAC的度数，由BD为⊙O的直径，即可求得∠BAD与∠D的度数，又由AD＝3，即可求得BD的长，继而求得BC的长．
【详解】
解：过点O作OF⊥BC于F，

∴BF＝CF＝BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，
∵AD＝3，
∴BD＝AD÷cos30°＝3÷=2，
∴OB＝BD＝，
∴BF＝OB•cos30°＝×＝，
∴BC＝3．
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．

二、填空题
28．（2021·江苏无锡市·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．
【答案】
【分析】
根据题意画出图形，设BC=x，则AB=7x，AC=，列出方程，进而即可求解．
【详解】
解：设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x=，
故答案为：．

【点睛】
u本题主要考查勾股定理和坡度，掌握坡度的定义，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．
29．（2021·广东中考真题）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则______．

【答案】
【分析】
首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．
【详解】
∵，
∴△ADE为直角三角形，
又∵，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图

在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【点睛】
本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．
30．（2021·安徽中考真题）如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．

【答案】
【分析】
先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可
【详解】
解：连接OB、OC、作OD⊥AB

∵
∴∠BOC=2∠A=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=30°又
∴∠ABO=45°
在Rt△OBD中，OB=1
∴BD==
∵OD⊥AB
∴BD=AD=
∴AB=
故答案为：
【点睛】
本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键
31．（2021·海南中考真题）如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．

【答案】
【分析】
根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．
【详解】
的坐标分别是





轴
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．
32．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________．


【答案】6
【分析】
先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案．
【详解】
解： 是边的中点，，



矩形，



故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键．
33．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．

【答案】
【分析】
由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键．
34．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，，，交于点．点为线段上的动点，则的最小值为________．

【答案】
【分析】
过点P作PH⊥AB于点H，由题意易得BD=4，则有AD=3，然后可得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解．
【详解】
解：过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
若使的值为最小，也就相当于为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示：

∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可．
35．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上；航行到达点，这时测得小岛在北偏东方向上．小岛到航线的距离是__________（，结果用四舍五入法精确到0.1）．

【答案】10.4
【分析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，从而得到AC=BC=12,利用sin60°=计算AD即可
【详解】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，得∠ABC=30°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠CAB=30°，
∴AC=BC=12,

∵sin60°=，
∴AD=AC sin60°=12=6≈10.4
故答案为：10.4.
【点睛】
本题考查了方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键．
36．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长________米．（结果保留根号）

【答案】
【分析】
先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD计算即可
【详解】
解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°
∴∠CAD=30°
∴△ADC是等腰三角形，
∴DA=DC又DC=5米
故AD=5米
在Rt△ADB中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD=米
故答案为：
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键
37．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点，点为直线上的一动点，点，，于点，连接．若直线与正半轴所夹的锐角为，那么当的值最大时，的值为________．

【答案】
【分析】
设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH＝α，由三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质得到比例式，于是得到GB（n+2）（3﹣n）（n）2，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图，设直线y＝﹣2与y轴交于G，过A作AH⊥直线y＝﹣2于H，AF⊥y轴于F，

∵BH∥x轴，
∴∠ABH＝α，
在Rt△ABH中， ,，
即=
∵sinα随BA的减小而增大，
∴当BA最小时sinα有最大值；即BH最小时，sinα有最大值，即BG最大时，sinα有最大值，
∵∠BGC＝∠ACB＝∠AFC＝90°，
∴∠GBC+∠BCG＝∠BCG+∠ACF＝90°，
∴∠GBC＝∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴，
∵，
即，
∴BG（n+2）（3﹣n）（n）2，
∵
∴当n时，BG最大值
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．
38．（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，，．
（1）椅面CE的长度为_________cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为________cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）

【答案】40 12.5
【分析】
（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，，列比例求出CM长度，则CE=AB-CM；（2）根据图2可得，对应袋图3中求出CD长度，列比例求AB即可．
【详解】
解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，


∵椅面CE与地面平行，
∴，
∴，
解得：CM=8cm，
∴CE=AB-CM=48-8=40cm；
故答案为：40；
（2）在图2中，
∵，椅面CE与地面平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵H是CD的中点，
∴，
∵椅面CE与地面平行，
∴，
∴，
图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，
因为 ，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：12.5．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．
39．（2021·浙江中考真题）如图，已知在中，，则的值是______．

【答案】
【分析】
在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】
解： ，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．
40．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________．

【答案】2
【分析】
由与关于直线对称，矩形证明再证明 可得 再求解 即可得的长； 先证明 可得： 设 则 再列方程，求解 即可得到答案．
【详解】
解： 与关于直线对称，矩形













矩形


为的中点，



如图， 四边形都是矩形，






设 则

解得：
经检验：是原方程的根，但不合题意，舍去，


故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
41．（2021·四川乐山市·中考真题）在中，．有一个锐角为，．若点在直线上（不与点、重合），且，则的长为________．
【答案】或或2
【分析】
依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．
【详解】
解：情形1：，则，
，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
情形2：，则，，，

∵，
∴，
∴，解得；
情形3：，则，，，

∵，
∴；
故答案为：或或2．
【点睛】
本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
42．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，．当，转动到，时，点到的距离为_____________cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）

【答案】6.3
【分析】
作辅助线如图，则四边形CDGF是矩形，可得CD=FG，然后分别解直角△ABG和直角△BCF求出BG和BF的长即可．
【详解】
解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，
在直角△ABG中，，，
∴（cm），∠ABG=30°，
∵，
∴∠CBF=20°，
∴∠BCF=70°，
在直角△BCF中，，∠BCF=70°，
∴（cm），
∴CD=FG=（cm），
即点到的距离为6.3cm；
故答案为：6.3．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确添加辅助线构建直角三角形、掌握求解的方法是关键．
43．（2021·山西中考真题）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯的坡度（为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端，则王老师上升的铅直高度为__________米．

【答案】
【分析】
根据坡比列比例求解即可．
【详解】
解：∵的坡度，
∴，
∵米，
∴，
解得：，
故答案为：．
．

【点睛】
本题主要考查坡比的概念，根据坡比列出比例是解决本题的关键．
44．（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用表示）

【答案】
【分析】
根据等边三角形性质求出相关的边、角数值，计算出扇形面积和弓形面积，从而推算出阴影面积即可．

【详解】
解：如下图：

过点作于点D，
∵为等边三角形，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：

【点睛】
本题考查的圆内阴影面积的求法、扇形面积的计算、等边三角形性质与面积计算、锐角三角函数等相关知识点，根据题意找见相关的等量是解题关键．
45．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为_____（结果保留小数点后一位）．（参考数据，，）

【答案】
【分析】
先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．
【详解】
解：由题意得：，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，即，
解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，

即建筑物的高约为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
46．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．


【答案】
【分析】
过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】
过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：

【点睛】
本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
47．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．


【答案】
【分析】
添加辅助线，连接，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．
【详解】
如图所示，连接，过点作交ON与点P．


∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段
∴，
∴
即
∵点在线段的垂直平分线上
∴，

∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
48．（2021·新疆中考真题）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分別交BD，CD于点M，N．若，则__________．

【答案】
【分析】
过点E作EP⊥BD于P，将∠EDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的长，然后用三角函数的定义即可解决．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1，．
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．
∵AB∥DC，
∴．

∴．
∴．
整理得，．
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴．
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，


设DP=y，则．
∵，
∴．
解得，．
∴．
∴在Rt△DEP中，
．即 ．

故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．
49．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．

【答案】．
【分析】
首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．
【详解】
如图所示，∵边长为6的等边，

∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，
∴
∴，
∴
又∵
∴，
∴
即
故答案为：
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．

三、解答题
50．（2021·广东中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．

（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】
(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；
(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．
【详解】
解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，

∵为垂直平分线，
∴，


∵，
∴．
(2)设，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．
51．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）计算；

【答案】
【分析】
利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简计算即可得答案．
【详解】

=2+1-2×+
=．
【点睛】
本题考查了实数的计算，包含负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，熟练掌握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
52．（2021·湖南中考真题）“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行．该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角，塔顶D的仰角，斜坡米，求宝塔的高（精确到1米）（参考数据：）

【答案】宝塔的高约为27米．
【分析】
先在中，解直角三角形分别求出的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据即可得．
【详解】
解：在中，（米），
（米），
在中，（米），
则，
，
，
（米），
答：宝塔的高约为27米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
53．（2021·湖南中考真题）已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：．

（1）如图1，若，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）过C作于点D，解直角三角形即可；
（2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长
【详解】
（1）如图，过C作于点D

,





即

（2），，,


在中，设，则

在中，
即:
解得：（不符题意，舍）

【点睛】
本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
54．（2021·湖南张家界市·中考真题）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点，观测到桥面，的仰角分别为，测得长为320米，求观测点到桥面的距离．（结果保留整数，参考数据：）

【答案】277米
【分析】
过点作交的延长线于点，根据已知条件可得，在中，求出AD即可
【详解】
解：过点作交的延长线于点

由图可知：，AM∥CD
∴∠B=∠BAM=30°，∠DCA=∠CAM=60°
∴
∴
∴
在中，
∴，即
∴（米）
答．观测点到桥面的距离是277米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、根据三角函数正确列方程是解题的关键．
55．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据）

【答案】点到水平地面的距离约为．
【分析】
过作交于，过作交延长线于，证明四边形FMDN为矩形，得到MF=DN，在Rt△BDN中求出DN的长，再在Rt△MED中求出EM的长，最后将EM与MF相加即得到答案．
【详解】
解：过作交于，过作交延长线于，如下图所示：

在中，，
由30°所对直角边等于斜边的一半可知，，
，
，
，
，
，
在中：，代入数据：
，

∴四边形是矩形，
，
，
，
又已知，
在中：，
，
，
故点到水平地面的距离约为．
【点睛】
本题考查了三角函数解直角三角形等知识点，属于基础题，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．
56．（2021·浙江宁波市·中考真题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．


（1）求的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）
【答案】（1）20cm；（2）26.4cm
【分析】
（1）根据中点的性质即可求得；
（2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵B为中点，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，过点B作于点E．


∵，
∴．
∵平分，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．
【点睛】
此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．
57．（2021·江西中考真题）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．

图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析
【分析】
（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解；
（2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断．
【详解】
解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK，
∴∠MBK=90-=23.6，
∴∠ABC=23.6+90=113.6，
答：∠ABC的度数为113.6；
（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90，
∴∠BMN，∠BMK，
∴∠NMH，
在Rt△NMH中，
，
∴(cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)，
∵，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
58．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为．
问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：，．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

【答案】
【分析】
设，再利用锐角三角函数用含的代数式表示再列方程，解方程可得答案．
【详解】
解： 设，
在中，，
在中，，

，

解得，．
答：宝塔的高度约为．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键．
59．（2021·青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据，，）．

【答案】1.4米
【分析】
作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【详解】
解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1．
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=35°，
∴BE=AB•sin∠A=≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD-AE-DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM=≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
60．（2021·四川成都市·中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：）

【答案】8米
【分析】
过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tan∠MBF=，解得 米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．
【详解】
解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，
∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，
∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，
∴MF=EF=x,
∴FB=FE+EB=x+3.5，
∴tan∠MBF=，
∴解得 米，
经检验米符合题意，
∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米．

【点睛】
本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．
61．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【答案】420米
【分析】
过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF＝140,在Rt△ADF中，利用三角函数可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）．
【详解】
解∶过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．
由题意得，＝37°．
在R△CDE中
∵，
，．
，
．
∴四边形 BEDF 是矩形，
∴BE＝DF，BF＝DE＝160，
∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
在Rt△ADF中，，
∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60.
∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）．
所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．

【点睛】
本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．
62．（2021·四川广元市·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，小区楼房的高度为米．

（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
【答案】（1）米；（2）秒
【分析】
（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，进而得到DH的值；
（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，接着求出∠GFA的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG和GF，进而得到DF的值，最后除以无人机速度即可．
【详解】
解：如图1，过D点作DH⊥AB，垂足为点H，过C点作CE⊥DH，垂足为点E，


可知四边形EHBC为矩形，
∴EH=CB，CE=HB，
∵无人机测得小区楼房顶端点C处的俯角为，测得操控者A的俯角为，DM∥AB，
∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，
∴∠CDE=∠ECD=45°，
∴CE=DE，
设CE=DE=HB=x，
∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+，
在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=，
即，
解得：x=30，
∴DH=
∴此时无人机的高度为米；
（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF刚好经过点C，
过A点作AG⊥DF，垂足为点G，此时，由（1）知，AG=（米），


∴；
∵，
∴
∵DF∥AB，
∴∠DFA=∠CAB=30°，
∴,
∴,
因为无人机速度为5米/秒，
所以所需时间为（秒）；
所以经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【点睛】
本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
63．（2021·四川资阳市·中考真题）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：）

（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔的高．
【答案】（1）5米；（2）19.25米
【分析】
（1）过点D作DE⊥CM，根据坡度及勾股定理求DE的长度；
（2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形
【详解】
解：（1）过点D作DE⊥CM
∵斜坡的坡度为
∴设DE=x，则CE=2.4x
在Rt△CDE中，
解得：x=±5（负值舍去）
∴DE=5
即D处的竖直高度为5米；
（2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形
∴GF=DE=5，CE=2.4DE=12，
由题意可得：∠ACF=45°，∠ADG=53°
设AF=CF=a，则DG=EF=a-12，AG=AF-GF=a-5
∴在Rt△ADG中，，
解得：a=33
经检验：符合题意，
∴DG=33-12=21，
又∵斜坡的坡度为
∴，
解得：BG=8.75
∴AB=AF-GF-BG=19.25
即基站塔的高为19.25米．

【点睛】
本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．
64．（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】
（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;
（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】

（1）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，
∴，即，
∴，
由，∴，
∴，即，
∴．
又，∴，
∴，即，
∴，
即到岸边的距离为．
（2）过点作，垂足为，延长交于点，
则，垂足为．
由，∴，∴，
即，∴．
由，∴，∴，
即，∴．
∴，
∴，
即点到岸边的距离为．
【点睛】
本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．
65．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

【答案】（1）2米；（2）米
【分析】
（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】
解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中，，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH===，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH=+6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB=，
解得：AB=，
即大树AB的高度为米．

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．