2022-2023学年湖南省部分校教育联盟高三（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省部分校教育联盟高三（上）入学数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省部分校教育联盟高三（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|lgx＜1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜10} C．{x|0＜x＜10} D．{x|0＜x＜4}
2．（5分）若复数（i4+2i）z＝4+3i，则复数z的虚部是（　　）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1
3．（5分）从0，2，4，6，8中任取2个不同的数分别记作a，b，则|a﹣b|≥3的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（　　）

A．e1＜e3＜e2 B．e2＜e3＜e1 C．e3＜e2＜e1 D．e2＜e1＜e3
5．（5分）已知（x2+a）（x）5的展开式中各项系数的和为﹣3，则该展开式中x的系数为（　　）
A．0 B．﹣120 C．120 D．﹣160
6．（5分）两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a，且AB⊥b．已知AE＝6，BF＝8，EF＝2，则线段AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．
7．（5分）已知a＝2，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
8．（5分）已知tanα，tanβ是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，有以下四个命题：
甲：；
乙：tanαtanβ＝7：3；
丙：；
丁：tanαtanβtan（α+β）﹣tan（α+β）＝5：3．
如果其中只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和﹣0.85，则乙组数据的线性相关性更强
B．已知样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则2x1+30，2x2+30，⋯，2xn+30的标准差是4
C．在检验A与B是否有关的过程中，根据所得数据算得χ2＝6.352，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则有99%的把握认为A和B有关
D．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10），其线性回归方程是yx+1，且x1+x2+x3+⋯+x10＝3（y1+y2+y3+⋯+y10）＝9，则实数的值是
（多选）10．（5分）若函数f（x）sin2x+2cos2x+m在区间[0，]上的最大值为6，则下列结论正确的是（　　）
A．f（π）＝5
B．2π是函数f（x）的一个周期
C．当x∈[0，]时，不等式c＜f（x）＜c+4恒成立，则实数c的取值范围是[2，3）
D．将函数f（x）的图像向左移动个单位得到函数g（x）的图像，则函数g（x）是一个偶函数
（多选）11．（5分）树人中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动．两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第n（n∈N*，n≥2）天募得的捐款数为800（1）元．若甲小组前n天募得捐款数累计为Sn元，乙小组前n天募得捐款数累计为Tn元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（　　）
A．S6＞T6
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有Sn＜Tn
D．Tn＝800n+800•，2≤n≤14且n∈N*
（多选）12．（5分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x＝4交于P，Q两点，且OP⊥OQ．抛物线C的准线与x轴交于点M，G（x0，y0）是以M为圆心，|OM|为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．则（　　）
A．p＝4
B．直线AB的方程为2x﹣y0y+2x0＝0
C．﹣2≤x0＜0
D．△ABG面积的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）的极大值点是 　 　．
14．（5分）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝﹣2与抛物线交于点A，且|AF|．写出抛物线的一个标准方程 　 　．
15．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+2x，则曲线y＝f（x）上的点到直线y＝﹣x+1的最小距离为 　 　．
16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC，底面ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，且CE⊥EF，若M为三棱锥P﹣ABC外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2bcosB＝acosC+ccosA．
（1）求B；
（2）若c＝2，求a的取值范围．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，O是AC的中点．
（1）证明：BC⊥平面B1OA1；
（2）求直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值．

19．（12分）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的90%分位数；
（2）采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取9人．若从这9人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．

20．（12分）已知数列{an}满足anan+1＝2n﹣1，且a1＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，Sn，求证：1≤Sn＜6．
21．（12分）设F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，O为坐标原点，若点P在双曲线C的右支上，且|OP|＝|OF1|＝2，△PF1F2的面积为3．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的两顶点分别为A1（﹣a，0），A2（a，0），过点F2的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
22．（12分）已知函数g（x）＝alnx+x2，h（x）＝（a+2）x，其中a∈R．
（1）若直线y＝h（x）是曲线y＝g（x）的切线，求负数a的值；
（2）设f（x）＝g（x）﹣h（x）．
（i）讨论函数f（x）的单调性；
（ii）若函数f（x）的导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．

2022-2023学年湖南省部分校教育联盟高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|lgx＜1}，则A∩B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜10} C．{x|0＜x＜10} D．{x|0＜x＜4}
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，
B＝{x|lgx＜1}＝{x|0＜x＜10}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜4}，
故选：D．
2．（5分）若复数（i4+2i）z＝4+3i，则复数z的虚部是（　　）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1
【解答】解：∵复数（i4+2i）z＝4+3i，
∴（1+2i）z＝4+3i，
可得：z2﹣i，
∴复数z的虚部是﹣1，
故选：C．
3．（5分）从0，2，4，6，8中任取2个不同的数分别记作a，b，则|a﹣b|≥3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：从0，2，4，6，8中任取2个不同的数a，b，共有个基本事件，
取出的2个数之差的绝对值等于2有（0，2），（2，4），（4，6），（6，8）共4个基本事件，
所以所求概率为，
故选：D．
4．（5分）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（　　）

A．e1＜e3＜e2 B．e2＜e3＜e1 C．e3＜e2＜e1 D．e2＜e1＜e3
【解答】解：因为椭圆的离心率e，所以长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大．
因为，所以e1＞e3＞e2．
故选：B．
5．（5分）已知（x2+a）（x）5的展开式中各项系数的和为﹣3，则该展开式中x的系数为（　　）
A．0 B．﹣120 C．120 D．﹣160
【解答】解：∵（x2+a）（x）5的展开式中各项系数的和为（1+a）×（1﹣2）＝﹣3，∴a＝2，
∴（x2+a）（x）5＝（x2+2）（x）5＝（x2+2）（•x5﹣2••x3+4••x﹣8••x﹣1+16••x﹣3﹣32•x﹣5），
故它的展开式中x的系数为﹣82×40，
故选：A．
6．（5分）两条异面直线a，b所成的角为60°，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使AB⊥a，且AB⊥b．已知AE＝6，BF＝8，EF＝2，则线段AB的长为（　　）
A．8 B． C． D．
【解答】解：由已知得，
两边平方可得222①，
因为AB⊥a，AB⊥b，AE与BF所成的角为60°，所以EA，BF所成的角为60°或120°，又AE＝6，BF＝8，EF＝2，
所以0，
代入①式得（2）2＝62+AB2+82+2×6×8cos，，
当，60°时，代入上式可得AB＝0（舍去）；
当，120°时，AB＝4，
故AB的长度为4．
故选：B．
7．（5分）已知a＝2，b，c，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【解答】解：由题意，可得，
所以令，则，
令，则，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）＜0，所以f′（x）＜0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为2＜e＜3，所以f（2）＞f（e）＞f（3），
即，
所以，
所以，即b＜c＜a，
故选：A．
8．（5分）已知tanα，tanβ是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，有以下四个命题：
甲：；
乙：tanαtanβ＝7：3；
丙：；
丁：tanαtanβtan（α+β）﹣tan（α+β）＝5：3．
如果其中只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：因为tanα，tanβ是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，所以，
则甲：；
丙：．
若乙、丁都是真命题，
则，所以，
，
两个假命题，与题意不符，所以乙、丁一真一假，
假设丁是假命题，由丙和甲得（a﹣c）＝2b，﹣5（a+c）＝4b，所以2（a﹣c）＝﹣5（a+c），
即7a+3c＝0，所以c：a＝﹣7：3，与乙不符，假设不成立；
假设乙是假命题，由丙和甲得7a+3c＝0，又（a﹣c）＝2b，所以3b＝5a，
即b：a＝5：3与丙相符，假设成立；故假命题是乙，
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和﹣0.85，则乙组数据的线性相关性更强
B．已知样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则2x1+30，2x2+30，⋯，2xn+30的标准差是4
C．在检验A与B是否有关的过程中，根据所得数据算得χ2＝6.352，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则有99%的把握认为A和B有关
D．对具有线性相关关系的变量x、y，有一组观测数据（xi，yi）（i＝1，2，⋯，10），其线性回归方程是yx+1，且x1+x2+x3+⋯+x10＝3（y1+y2+y3+⋯+y10）＝9，则实数的值是
【解答】解：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；
B中样本数据x1，x2，⋯，xn的方差为4，则2x1+30，2x2+30，⋯，2xn+30的方差为22×4＝16，标准差为4，故B正确；
C中由6.352＜6.635，没有99%的把握判断认为A和B有关，故C不正确；
D中，，由b1，得b，故D不正确．
故选：AB．
（多选）10．（5分）若函数f（x）sin2x+2cos2x+m在区间[0，]上的最大值为6，则下列结论正确的是（　　）
A．f（π）＝5
B．2π是函数f（x）的一个周期
C．当x∈[0，]时，不等式c＜f（x）＜c+4恒成立，则实数c的取值范围是[2，3）
D．将函数f（x）的图像向左移动个单位得到函数g（x）的图像，则函数g（x）是一个偶函数
【解答】解：函数f（x）sin2x+2cos2x+msin2x+1+cos2x+m＝2sin（2x）+1+m，
因为x∈[0，]，所以2x∈[，π]，
所以函数的最大值为2+1+m＝6，可得m＝3，且2x，即x时函数取到最大值，
所以f（x）＝2sin（2x）+4；
这时最小值为2×（）+4＝3，此时2xπ，即x．
A中，f（π）＝sin（2π）+4＝4，所以A不正确；
B中，最小正周期Tπ，所以2π也是周期，所以B正确；
C中，由题意可得f（x）∈[3，6]，所以，可得c∈（2，3），所以C不正确；
D中，函数f（x）的图像向左移动个单位得到函数g（x）＝2sin[2（x）]+4＝2sin（2x）+4＝2cos2x+4，显然g（x）是偶函数，所以D正确；
故选：BD．
（多选）11．（5分）树人中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动．两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第n（n∈N*，n≥2）天募得的捐款数为800（1）元．若甲小组前n天募得捐款数累计为Sn元，乙小组前n天募得捐款数累计为Tn元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（　　）
A．S6＞T6
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有Sn＜Tn
D．Tn＝800n+800•，2≤n≤14且n∈N*
【解答】解：设第n天甲小组募得捐款为an，且an＞0，
对于甲小组，a1＝1000，d＝﹣50，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣50n+1050＞0，∴1≤n≤20，
∴25n2+1025n，n≤14，且n∈N*，
∴S4＝9450，故B错误；
设bn代表第n天乙小组募得捐款，由题可知bn，
∴Tn＝b1+b2+•••+bn＝400+800（1）+800（1）+•••+800（1）
＝400+800（n﹣1）+800（）
＝800n+400，n∈N*，故D错误；
∵S6＝5250，T6＝5175＜S6，故A正确；
令∁n＝Tn﹣Sn＝25n2﹣225n400，∴C7＝34＞0，
当n≥7时，Cn+1﹣∁n＝50n200＞0，
∴数列{∁n}为递增数列，
∴Sn﹣Tn＜0，∴Sn＜Tn，故C正确．
故选：AC．
（多选）12．（5分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x＝4交于P，Q两点，且OP⊥OQ．抛物线C的准线与x轴交于点M，G（x0，y0）是以M为圆心，|OM|为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．则（　　）
A．p＝4
B．直线AB的方程为2x﹣y0y+2x0＝0
C．﹣2≤x0＜0
D．△ABG面积的最大值是
【解答】解：依题意可设P（4，y0），Q（4，﹣y0），则，
因为OP⊥OQ，所以，
所以，故，
又，所以p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，A错误；
不妨设A（x1，y1）在第一象限，B（x2，y2）在第四象限，
由y2＝4x可得，，
所以直线GA的斜率为，则直线GA的方程为，
整理可得2x﹣y1y+2x1＝0；同理可求GB的方程为2x﹣y2y+2x2＝0，
因为点G在直线GA，GB上，所以，
又A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标都满足2x﹣y0y+2x0＝0，故可得直线AB的方程为2x﹣y0y+2x0＝0，B正确；
由A的分析可知抛物线的准线方程为x＝﹣1，故M（﹣1，0），
所以以M为圆心，|OM|为半径的圆的方程为（x+1）2+y2＝1，
由于G（x0，y0）为圆上动点（非原点），故﹣2≤x0＜0，C正确；
联立方程组，整理得y2﹣2y0y+4x0＝0，，
则y1+y2＝2y0，y1y2＝4x0，
故，
点G（x0，y0）到直线AB的距离，
故△ABG的面积，
由题可知，M（﹣1，0），|OM|＝1，则圆M的方程为（x+1）2+y2＝1，
故，因为﹣2≤x0＜0，
所以，所以，
故△ABG面积的最大值为，D错误；
故选：BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）函数f（x）的极大值点是 　　．
【解答】解：由题意，函数，可得，
令f′（x）＝0，即4lnx＝2，解得，
当时，f′（x）＞0，故f（x）在上为单调递增函数，
当时，f′（x）＜0，故f（x）在上为单调递减函数，
所以函数的极大值点是．
故答案为：．
14．（5分）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝﹣2与抛物线交于点A，且|AF|．写出抛物线的一个标准方程 　y2＝2x，或y2＝﹣2x，或y2＝8x，或y2＝﹣8x（四种形式之一即可）　．
【解答】解：根据题意，抛物线的焦点F在x轴上，可设抛物线的标准方程为y2＝2px，
其准线方程为x，
又直线y＝﹣2与抛物线相交于点A，故A点坐标为（，﹣2），
∵|AF|，即A的准线的距离为，
则有||，
当p＞0时，解得：p＝1，或p＝4，
当p＜0时，解得：p＝﹣1，或p＝﹣4，
故抛物线的标准方程为：y2＝2x，或y2＝﹣2x，或y2＝8x，或y2＝﹣8x；
故答案为：y2＝2x，或y2＝﹣2x，或y2＝8x，或y2＝﹣8x（四种形式之一即可）．
15．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x）+2x，则曲线y＝f（x）上的点到直线y＝﹣x+1的最小距离为 　　．
【解答】解：由对称性可知，只需要比较x＞0与x＝0时的距离，
设x＞0，﹣x＜0，因为函数是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝2x﹣lnx，则，
设点P（x1，y1），则，解得：，此时点P到直线y＝﹣x+1的距离，
设x＝0，则原点（0，0）到直线y＝﹣x+1的距离，
因为d2＜d1，所以曲线y＝f（x）上的点到直线y＝﹣x+1的最小距离为．
故答案为：．
16．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC，底面ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，且CE⊥EF，若M为三棱锥P﹣ABC外接球上的动点，则点M到平面ABC距离的最大值为 　　．
【解答】解：∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，
∴P﹣ABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC，又E、F分别为PA、AB中点，
∴EF∥PB，
∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，
∴EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，
∴∠APB＝90°，
∴PA＝PB＝PC，
∴P﹣ABC为正方体的一部分，
故2R，即R，
∵M为三棱锥P﹣ABC外接球上的动点，
∴当M位于正方体的如图所示的顶点处，点M到平面ABC距离最大，设为h，
∴可求得三棱锥M﹣ABC的体积为：（）3，
∴，
解得：h，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2bcosB＝acosC+ccosA．
（1）求B；
（2）若c＝2，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2bcosB＝acosC+ccosA，
∴2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcsA，即2sinBcosB＝sin（A+C）＝sinB，
即cosB，∴B．
（2）∵锐角△ABC中，c＝2，A+C，A，∴C，tanC．
由正弦定理可得，
∴a1∈（1，4）．
故a的取值范围为（1，4）．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，∠ABC＝90°，AB＝BC，四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，O是AC的中点．
（1）证明：BC⊥平面B1OA1；
（2）求直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值．

【解答】证明：（1）连接A1C，因为四边形ACC1A1是菱形，则AC＝AA1，
因为∠A1AC＝60°，故△AA1C为等边三角形，所以A1O⊥AC，
因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，所以A1O⊥BC，
因为B1A1|BA，∠ABC＝90°，所以BC⊥A1B1，
又OA1∩B1A1＝A1，所以BC⊥平面B1OA1；
解：（2）连接BO，因为∠ABC＝90°，AB＝BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC，
又因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，BO⊂平面ABC，
所以BO⊥平面ACC1A1，
设AC＝2，因为A1O⊥BC，
以点O为坐标原点，OA，OA1，OB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
设平面OB1C1的法向量是（x2，y2，z2），
则，取，可得，设直线OA与平面OB1C1所成角为θ，
所以，
∴直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值是．
19．（12分）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台，诠释着新时代中国的从容姿态，传递出中华儿女与世界人民“一起向未来”的共同心声．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会开幕式和闭幕式的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计样本数据的90%分位数；
（2）采用样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在[200，280]的学生中抽取9人．若从这9人中随机抽取3人在全校交流观看体会，设抽取的3人中观看时长在[200，240）的人数为X，求X的分布列和数学期望．

【解答】解：（1）由题意，40×（0.0005+0.002×2+2a+0.006+0.0065）＝1，解得a＝0.004．
由频率分布直方图知，观看时长在200分钟以下占比为40×（0.005+0.002+0.004+0.006+0.0065）＝0.76．
观看时长在240分钟以下占比为0.76+40×0.004＝0.92．
所以90%分位数位于[200，240）内，90%分位数为200+40235．
（2）由题意，观看时长[200，240）、[240，280]对应的频率分别为0.16和0.08，
所以采用分层随机抽样的方式在两个区间中应分别抽取6人和3人．
于是抽取的3人中观看时长在[200，240）中的人数X的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3）．
X的分布列为
X
0
1
2
3
P




所以E（X）＝12．
20．（12分）已知数列{an}满足anan+1＝2n﹣1，且a1＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，Sn，求证：1≤Sn＜6．
【解答】解：（1）∵anan+1＝2n﹣1，且a1＝1，
∴an+1an+2＝2n，a2＝1．
相除可得：2，
∴数列{an}的奇数项与偶数项都成等比数列，公比为2．
∴a2k﹣1＝2k﹣1，a2k＝2k﹣1，k∈N*．
∴an．
（2）证明：bn，
Sn1，
Sn，
相减可得：Sn＝1+2（）1+2，
整理为：Sn＝6．
∵0，
∴数列{}单调递减，即数列{Sn}单调递增．
∴S1≤Sn＜6，即1≤Sn＜6．
21．（12分）设F1，F2是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，O为坐标原点，若点P在双曲线C的右支上，且|OP|＝|OF1|＝2，△PF1F2的面积为3．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的两顶点分别为A1（﹣a，0），A2（a，0），过点F2的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【解答】解：（1）由|OP|＝|OF1|＝2，得P在以F1F2为直径的圆上，则PF1⊥PF2，
又△PF1F2的面积为3，得|PF1||PF2|＝6，①
由勾股定理可得16，②
，③
联立①②③解得a＝1，则b．
∴双曲线C的渐近线方程为y；
（2）由题意可得A1（﹣1，0），A2（1，0），F2（2，0），
设直线MN的方程为x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
由（1）求得双曲线方程为，
联立，得（3t2﹣1）y2+12ty+9＝0．
∴，，
直线A1M：y，直线A2N：，
联立两直线方程，解得，
．
∴直线A1M与直线A2N的交点Q在定直线x上．
22．（12分）已知函数g（x）＝alnx+x2，h（x）＝（a+2）x，其中a∈R．
（1）若直线y＝h（x）是曲线y＝g（x）的切线，求负数a的值；
（2）设f（x）＝g（x）﹣h（x）．
（i）讨论函数f（x）的单调性；
（ii）若函数f（x）的导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
【解答】解：（1）因为g（x）＝alnx+x2，所以g′（x）2x，x＞0，
由直线y＝h（x）是曲线y＝g（x）的切线可知2x＝a+2，即（2x﹣a）（x﹣1）＝0，
又a＜0，所以x＝1，则切点坐标为（1，1），所以1＝a+2，
故a＝﹣1．
（2）（i）f′（x）2x﹣（a+2），x＞0，
①若0即a≤0，f′（x）＞0的解为x＞1，
所以当x∈（0，l）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
②若01即0＜a＜2，f′（x）＞0的解为0＜x或x＞1，
所以当x∈（0，），（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
③若1即a＝2，f′（x）0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
④若1即a＞2，f′（x）＞0的解为x＜1或x，
所以当x∈（0，1），（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上所述：若a≤0，当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增；
若0＜a＜2，当x∈（0，），（1，+∞）时，f（x）单调递增，x∈（，1）时，f（x）单调递减；
若a＝2，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若a＞2，当x∈（0，1），（，+∞）时，f（x）单调递增，x∈（1，）时，f（x）单调递减．
（ii）证明：f′（x）在区间（ 1，e）上存在零点，
设零点为x0，x0∈（1，e），则a＝2x0∈（2，2e），
所以f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，e）上单调递增，
故f（x）min＝f（x0）＝2x0lnx0+x02﹣（2x0+2）x0＝2x0lnx0﹣x02﹣2x0，
设F（x）＝2xlnx﹣x2﹣2x，x∈（1，e），则F′（x）＝2lnx﹣2x，
设G（x）＝F′（x）＝2lnx﹣2x，x∈（1，e），则G′（x）2＜0，G（x）在（1，e）内单调递减，
又F′（1）＝G（1）＝﹣2，故F′（x）＝2lnx﹣2x＜0在（1，e）上恒成立，故F（x）在（1，e）内单调递减，
所以F（x）＞F（e）＝﹣e2，
故当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．
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