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2022-2023学年湖南省怀化市麻阳一中高三（上）开学数学试卷
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这是一份2022-2023学年湖南省怀化市麻阳一中高三（上）开学数学试卷，共18页。试卷主要包含了的部分图象如图所示，点等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省怀化市麻阳一中高三（上）开学数学试卷
一.选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}（e为自然对数的底数），则M∩N＝（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅
2．（5分）已知（1﹣i）2z＝2+2i，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
3．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•6，则cos，（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子．在其年幼时，对1+2+3+……+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成；因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于（ ）
A．1008 B．1009 C．2018 D．2019
5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点
A（0，），B（，0），则下列说法中错误的是（ ）
A．直线x是f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）在区间（，）上单调递增
6．（5分）F1、F2是双曲线的两个焦点，抛物线的准线l过双曲线的焦点F1，准线与渐近线交于点A，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）若3x﹣3y＞5﹣x﹣5﹣y，则（ ）
A． B．x3＞y3
C． D．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
8．（5分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF∥底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（ ）
A． B．32π C． D．
二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若a，b∈R，ab＞0且a+b＝1，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（多选）10．（5分）某位同学记录了100次上学所用时间（单位：分钟），得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝0.18
B．上学所用时间平均数的估计值小于14
C．上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.17
D．上学所用时间的众数和中位数的估计值相等
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（ ）
A．当x＜0时，f（x）＝ex（x+1）
B．函数f（x）有两个零点
C．若方程f（x）＝m有三个解，则实数m的取值范围是f（﹣2）＜m＜f（2）
D．∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|max＝2
（多选）12．（5分）2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图（n﹣1）中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为an，则下列说法正确的是（ ）
A．图（4）中共有294个正六边形
B．
C．{an}是一个递增的等比数列
D．记{Sn}为数列{an}的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有an＞Sn﹣1
三.填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某机构开展关于环境保护的知识问卷，从中抽取了8份试卷，成绩分别为72，85，80，81，86，81，92，90，则这8份试卷成绩的第60百分位数为 ．
14．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，则a等于 ．
15．（5分）已知，则的值是 ．
16．（5分）已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线的方程为 ．
四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（10分）已知Sn是数列{an}的前n项和，5Sn＝n（n+4）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R，且tanB+tanC
（1）求B和b的值；
（2）求△ABC面积的最大值．
19．（12分）《道路交通安全法实施条例》第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人．
（1）完成下面的2×2列联表，并由表中数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时使用手机的女性司机人数，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（χ2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
20．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的正切值为？若存在，确定N点位置；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知椭圆C：的左、右顶点分别A1，A2，上顶点为B，△A1A2B的面积为3，C的短轴长为2．
（1）求C的方程；
（2）斜率不为0的直线l交C于P，Q两点（异于点A1），D为PQ的中点，且|A1D|＝|PD|，证明：直线l恒过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝eax﹣x2，a＞0．
（1）若x轴与曲线y＝f（x）相切，求a的值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2﹣ax，若对任意的x1，x2∈[﹣2，2]，|g（x2）﹣g（x1）|≤e+2，求a的最大值．
2022-2023学年湖南省怀化市麻阳一中高三（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}（e为自然对数的底数），则M∩N＝（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅
【解答】解：∵集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，
N＝{y|y＝ex，x∈R}（e为自然对数的底数）＝{y|y＞0}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，
故选：C．
2．（5分）已知（1﹣i）2z＝2+2i，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵（1﹣i）2＝﹣2i，
又∵（1﹣i）2z＝2+2i，
∴﹣2iz＝2+2i，
∴，
∴．
故选：B．
3．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•6，则cos，（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：向量，满足||＝5，||＝6，•6，
可得||7，
cos，．
故选：D．
4．（5分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子．在其年幼时，对1+2+3+……+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成；因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于（ ）
A．1008 B．1009 C．2018 D．2019
【解答】解：函数，可得f（x）+f（1﹣x）1，
则S，S＝f（）+f（）+…+f（），
相加可得2S＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]＝2018，
即S＝1009．
故选：B．
5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点
A（0，），B（，0），则下列说法中错误的是（ ）
A．直线x是f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）在区间（，）上单调递增
【解答】解：由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象，点A（0，），B（，0），
∴2sinφ，∴sinφ，∴φ，∴f（x）＝2sin（ωx）．
再根据五点法作图可得ω•π，求得ω＝2，故 f（x）＝2sin（2x）．
令x，求得f（x）＝2，为最大值，故直线x是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；
把g（x）＝2sin2x向左平移个单位，可得y＝2sin（2x）的图象，故B不正确；
f（x）＝2sin（2x）的最小正周期为 π，故C正确；
在区间（，）上，2x∈（，），故f（x）＝2sin（2x）单调递增，
故选：B．
6．（5分）F1、F2是双曲线的两个焦点，抛物线的准线l过双曲线的焦点F1，准线与渐近线交于点A，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点A为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为AF1⊥F1F2且，则△F1F2A为等腰直角三角形，
且|AF1|＝|F1F2|，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为．
故选：C．
7．（5分）若3x﹣3y＞5﹣x﹣5﹣y，则（ ）
A． B．x3＞y3
C． D．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
【解答】解：∵3x﹣3y＞5﹣x﹣5﹣y⇔3x﹣5﹣x＞3y﹣5﹣y，
设f（x）＝3x﹣5﹣x，则函数f（x）在R上单调递增，
则x＞y，
A，当x＝2，y＝1时，满足x＞y，但，∴A错误，
B，∵x＞y，∴x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）＝（x﹣y）[]＞0，∴x3＞y3，∴B正确，
C，当x＝﹣2，y＝﹣3时，满足x＞y，但，无意义，∴C错误，
D，当x＝﹣2，y＝﹣3时，满足x＞y，但ln（x2+1）＜ln（y2+1），∴D错误，
故选：B．
8．（5分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF∥底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（ ）
A． B．32π C． D．
【解答】解：取AD，BC中点N，M，正方形ABCD中心O，EF中点O2，连接EN，MN，FM，OO2，如图，
依题意，OO2⊥平面ABCD，EF∥AB∥MN，点O是MN的中点，MN＝AB＝4，
等腰△AED中，AD⊥EN，，同理，
因此，等腰梯形EFMN的高，由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心O1在直线OO2上，连O1E，O1A，OA，正方形ABCD外接圆半径，
则有，而，
当点O1在线段O2O的延长线（含点O）时，视OO1为非负数，若点O1在线段O2O（不含点O）上，视OO1为负数，
即有，即，解得OO1＝0，
因此刍甍的外接球球心为O，半径为，
所以刍甍的外接球的体积为．
故选：A．
二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若a，b∈R，ab＞0且a+b＝1，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵ab＞0且a+b＝1，
∴2，
当且仅当，a+b＝1，即a＝b时，等号成立，即取得最小值为4．
故选：CD．
（多选）10．（5分）某位同学记录了100次上学所用时间（单位：分钟），得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝0.18
B．上学所用时间平均数的估计值小于14
C．上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.17
D．上学所用时间的众数和中位数的估计值相等
【解答】解；选项A，由频率分布直方图得，（0.08+0.09+a+0.1+0.07）×2＝1，∴a＝0.16，选项A错误，
选项B，各组数据的频率分别为，0.16、0.18、0.32、0.2、0.14，
∴上学所用时间平均数的估计，10×0.16+12×0.18+14×0.32+20×0.2+22×0.14＝13.96＜14，选项B正确，
选项C，上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.2+0.14＝0.34，选项C错误，
选项D，上学所用时间的众数为14，令中位数t，则（t﹣13）×0.16＝0.5﹣0.16﹣0.18，解得t＝14，∴上学所用时间的众数和中位数的估计值相等，选项D正确，
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（ ）
A．当x＜0时，f（x）＝ex（x+1）
B．函数f（x）有两个零点
C．若方程f（x）＝m有三个解，则实数m的取值范围是f（﹣2）＜m＜f（2）
D．∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|max＝2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝ex（﹣x﹣1），
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x）＝ex（x+1），故A正确；
对于B，当x＞0时，，则其导数，
令f'（x）＝0，解得x＝2，
当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上单调递减，
故当x＝2时，函数f（x）取得极小值e﹣2＞0，
故当0＜x＜2时，f（x）单调递增且f（1）＝0，故函数f（x）在（0，2）仅有一个零点1．
当x＞2时，，所以函数f（x）在（2，+∞）没有零点，
所以函数f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，函数f（x）是定义在R上的奇函数，
故函数f（x）在（﹣∞，0）上仅有一个零点﹣1，又f（0）＝0，
故函数f（x）在R上有3个零点，故B错误．
对于C，作出函数f（x）的大致图象，如图：
若关于x的方程f（x）＝m有解，由B中的单调性可得，实数m的取值范围是f（﹣2）＜m＜f（2）．
故C正确．
对于D，由图可知，对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜|1﹣（﹣1）|＝2
故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图（n﹣1）中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为an，则下列说法正确的是（ ）
A．图（4）中共有294个正六边形
B．
C．{an}是一个递增的等比数列
D．记{Sn}为数列{an}的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有an＞Sn﹣1
【解答】解：对于A，由图可知，图（1）至图（n）中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图（4）中共有73＝343个正六边形，A错误；
对于B，由题可知，图（n）中每个正六边形的边长为，∴，∴，B正确；
对于C，∵是底数大于1的指数型函数，∴{an}是一个递增的等比数列，C正确；
对于D，∵，∴a1＝6，，∴，
当n∈N*且n≥2时，，
∴对任意的n∈N*且n≥2，都有an＞Sn﹣1，D正确．
故选：BCD．
三.填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某机构开展关于环境保护的知识问卷，从中抽取了8份试卷，成绩分别为72，85，80，81，86，81，92，90，则这8份试卷成绩的第60百分位数为 85 ．
【解答】解：将8个成绩从小到大排序，72，80，81，81，85，86，90，92，
因为8×60%＝4.8，所以这8份试卷成绩的第60百分位数为85．
故答案为：85．
14．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，则a等于 ．
【解答】解：∵直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，
所以（a﹣1）+2a＝0，
所以．
故答案为：．
15．（5分）已知，则的值是 ．
【解答】解：∵，
∴两边平方，可得，可得，
∴．
故答案为：．
16．（5分）已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线的方程为 ．
【解答】解：设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于D，易知：F1D∥OA，
在曲线C中，易知：|FA|＝b，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点．
又|FB|＝4b，|F1B|＝4b﹣2a＝2c，即c+a＝2b，得c+a＝4（c﹣a），则，
又c2＝a2+b2，得，渐近线方程为．
故答案为：．
四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（10分）已知Sn是数列{an}的前n项和，5Sn＝n（n+4）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．
【解答】解：（1）∵5S1＝5，∴a1＝1；
∵5Sn＝n（n+4），∴5Sn﹣1＝（n﹣1）（n+3），（n≥2），
两式相减可得（n≥2），
又a1＝1也满足上式，
∴；
（2）由（1）知，
所以当n＝1，2，3时，，此时bn＝1；
当n＝4，5时，，此时bn＝2；
当n＝6，7，8时，，此时bn＝3；
当n＝9，10时，，此时bn＝4，
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2＝24．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R，且tanB+tanC
（1）求B和b的值；
（2）求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）∵tanB+tanC，
∴，
∴sinBcosC+cosBsinCsinAcosB，
即sin（B+C）sinAcosB，
∵A+B+C＝π，
∴sinAsinAcosB
∵sinA≠0，
∴cosB，
∴B．
又∵△ABC的外接圆半径为R，
∴由正弦定理2R，可得：b＝22．
（2）由余弦定理的b＝a2+c2﹣2accosB，
∴4＝a2+c2ac，
由基本不等式，得4＝a2+c2ac≥2acac，
∴ac2（2），
∴S△ABCacsinBac2（2）＝1，
故△ABC面积的最大值1．
19．（12分）《道路交通安全法实施条例》第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人．
（1）完成下面的2×2列联表，并由表中数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时使用手机的女性司机人数，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（χ2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）由已知数据可得2×2列联表如下：
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
25
20
45
女性司机人数
15
40
55
合计
40
60
100
因为χ28.249＞6.635，
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关．
（2）采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，
其中的男性司机人数为：85人；女性司机人数为：83人．
由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，3，
因为P（X＝0）；P（X＝1）；
P（X＝2）；P（X＝3）．
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
则E（X）＝0．
20．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的正切值为？若存在，确定N点位置；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：因为PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，EB，ED⊂平面EBCD，
所以PE⊥平面EBCD．
所以PE⊥BC
∵BC⊥EB，EB⋂PE＝E
所以BC⊥平面PEB．
因为ME⊂平面PEB，所以BC⊥EM．
因为PE＝EB，PM＝MB，
所以EM⊥PB．
因为BC⊥EM，PB⊥EM，BC∩PB＝B，PB，BC⊂平面PBC，
所以EM⊥平面PBC．
因为EM⊂平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PBC．
（2）解：过M作MQ⊥EB于Q．
因为PE⊥EB，所以PE∥MQ．
由（1）知PE⊥平面EBCD，所以MQ⊥平面EBCD．
过Q作QR⊥EN于R，连接MR．
因为MQ⊥平面EBCD，EN⊂平面EBCD，
所以MQ⊥EN．
因为MQ⊥EN，QR⊥EN，MQ，QR⊂平面MQR，MQ∩QR＝Q，
所以EN⊥平面MQR．
因为EN⊥平面MQR，MR⊂平面MQR，所以EN⊥MR，
所以∠MRQ是二面角B﹣EN﹣M的平面角．
因为PE＝EB＝BC＝2，则MQ＝1．
在Rt△BEN中，设BN＝x（0＜x＜2），则
由Rt△BEN～Rt△REQ，得，所以．
则．
由题意可得，解得x＝1∈（0，2）．
此时N为BC的中点．
21．（12分）已知椭圆C：的左、右顶点分别A1，A2，上顶点为B，△A1A2B的面积为3，C的短轴长为2．
（1）求C的方程；
（2）斜率不为0的直线l交C于P，Q两点（异于点A1），D为PQ的中点，且|A1D|＝|PD|，证明：直线l恒过定点．
【解答】解：（1）由题意得，解得a＝3，b＝1，故C的方程为．
（2）证明：由题意设直线/的方程为x＝my+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（m2+9）y2+2mty+t2﹣9＝0，
所以Δ＝4m2t2﹣4（m2+9）（t2﹣9）＞0，即t2＜m2+9，
，
因为|A1D|＝|PD|＝|QD|，所以A1P⊥A1Q，所以，
即（x1+3）（x2+3）+y1y2＝0，
则（my1+t+3）（my2+t+3）+y1y2＝0，
整理得，
所以，
即（m2+1）（t+3）（t﹣3）﹣2m2t（t+3）+（t+3）2（m2+9）＝0，
整理得（t+3）（5t+12）＝0，解得或t＝﹣3，
当t＝﹣3时，直线l的方程为x＝my﹣3，恒过点（﹣3，0），舍去；
当时，直线/的方程为，恒过点，符合题意，
即直线l恒过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝eax﹣x2，a＞0．
（1）若x轴与曲线y＝f（x）相切，求a的值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2﹣ax，若对任意的x1，x2∈[﹣2，2]，|g（x2）﹣g（x1）|≤e+2，求a的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，f'（x）＝aeax﹣2x，
设x轴与曲线y＝f（x）相切的切点为（x0，0），
则，且，
即，显然x0≠0，则，
则，又a＞0，解得；
（2）由题意得g（x）＝eax+x2﹣ax，则g'（x）＝aeax+2x﹣a，
根据a＞0，可知g'（x）＝aeax+2x﹣a是单调增函数，g'（0）＝0，
故当﹣2≤x＜0时，g'（x）＜0，g（x）递减，
当0＜x≤2时，g'（x）＞0，g（x）递增，故g（x）min＝g（0）＝1，
又g（2）＝e2a+4﹣2a，g（﹣2）＝e﹣2a+4+2a，则g（2）﹣g（﹣2）＝e2a﹣e﹣2a﹣4a，
令h（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则h'（x）＝ex+e﹣x﹣2，
由于ex+e﹣x≥2（当且仅当x＝0时取等号），故h'（x）＝ex+e﹣x﹣2≥0，
所以h（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x递增，则x＞0时，h（x）＞h（0）＝0，
故a＞0时，h（2a）＝e2a﹣e﹣2a﹣4a＞h（0）＝0，即g（2）﹣g（﹣2）＝e2a﹣e﹣2a﹣4a＞0，
即g（2）＞g（﹣2），即，
故对任意的x1，x2∈[﹣2，2]，|g（x2）﹣g（x1）|≤e+2恒成立，
即恒成立，
故e2a﹣2a≤e﹣1，令φ（x）＝ex﹣1，则φ'（x）＝ex＞0，
故φ（x）＝ex﹣1单调递增，则e2a﹣2a≤e﹣1，即为φ（2a）≤φ（1），
即2a≤1，所以，
故求a的最大值．
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2022-2023学年湖南省怀化市麻阳一中高三（上）开学数学试卷
一.选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}（e为自然对数的底数），则M∩N＝（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅
2．（5分）已知（1﹣i）2z＝2+2i，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
3．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•6，则cos，（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子．在其年幼时，对1+2+3+……+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成；因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于（ ）
A．1008 B．1009 C．2018 D．2019
5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点
A（0，），B（，0），则下列说法中错误的是（ ）
A．直线x是f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）在区间（，）上单调递增
6．（5分）F1、F2是双曲线的两个焦点，抛物线的准线l过双曲线的焦点F1，准线与渐近线交于点A，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）若3x﹣3y＞5﹣x﹣5﹣y，则（ ）
A． B．x3＞y3
C． D．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
8．（5分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF∥底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（ ）
A． B．32π C． D．
二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若a，b∈R，ab＞0且a+b＝1，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（多选）10．（5分）某位同学记录了100次上学所用时间（单位：分钟），得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝0.18
B．上学所用时间平均数的估计值小于14
C．上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.17
D．上学所用时间的众数和中位数的估计值相等
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（ ）
A．当x＜0时，f（x）＝ex（x+1）
B．函数f（x）有两个零点
C．若方程f（x）＝m有三个解，则实数m的取值范围是f（﹣2）＜m＜f（2）
D．∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|max＝2
（多选）12．（5分）2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图（n﹣1）中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为an，则下列说法正确的是（ ）
A．图（4）中共有294个正六边形
B．
C．{an}是一个递增的等比数列
D．记{Sn}为数列{an}的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有an＞Sn﹣1
三.填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某机构开展关于环境保护的知识问卷，从中抽取了8份试卷，成绩分别为72，85，80，81，86，81，92，90，则这8份试卷成绩的第60百分位数为 ．
14．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，则a等于 ．
15．（5分）已知，则的值是 ．
16．（5分）已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线的方程为 ．
四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（10分）已知Sn是数列{an}的前n项和，5Sn＝n（n+4）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R，且tanB+tanC
（1）求B和b的值；
（2）求△ABC面积的最大值．
19．（12分）《道路交通安全法实施条例》第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人．
（1）完成下面的2×2列联表，并由表中数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时使用手机的女性司机人数，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（χ2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
20．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的正切值为？若存在，确定N点位置；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知椭圆C：的左、右顶点分别A1，A2，上顶点为B，△A1A2B的面积为3，C的短轴长为2．
（1）求C的方程；
（2）斜率不为0的直线l交C于P，Q两点（异于点A1），D为PQ的中点，且|A1D|＝|PD|，证明：直线l恒过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝eax﹣x2，a＞0．
（1）若x轴与曲线y＝f（x）相切，求a的值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2﹣ax，若对任意的x1，x2∈[﹣2，2]，|g（x2）﹣g（x1）|≤e+2，求a的最大值．
2022-2023学年湖南省怀化市麻阳一中高三（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}，集合N＝{y|y＝ex，x∈R}（e为自然对数的底数），则M∩N＝（ ）
A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x＜1} D．∅
【解答】解：∵集合M＝{x|y＝ln（1﹣x）}＝{x|1﹣x＞0}＝{x|x＜1}，
N＝{y|y＝ex，x∈R}（e为自然对数的底数）＝{y|y＞0}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，
故选：C．
2．（5分）已知（1﹣i）2z＝2+2i，则|z|＝（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵（1﹣i）2＝﹣2i，
又∵（1﹣i）2z＝2+2i，
∴﹣2iz＝2+2i，
∴，
∴．
故选：B．
3．（5分）已知向量，满足||＝5，||＝6，•6，则cos，（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：向量，满足||＝5，||＝6，•6，
可得||7，
cos，．
故选：D．
4．（5分）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子．在其年幼时，对1+2+3+……+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成；因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数，则等于（ ）
A．1008 B．1009 C．2018 D．2019
【解答】解：函数，可得f（x）+f（1﹣x）1，
则S，S＝f（）+f（）+…+f（），
相加可得2S＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]＝2018，
即S＝1009．
故选：B．
5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点
A（0，），B（，0），则下列说法中错误的是（ ）
A．直线x是f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）的图象可由g（x）＝2sin2x向左平移个单位而得到
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）在区间（，）上单调递增
【解答】解：由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）部分图象，点A（0，），B（，0），
∴2sinφ，∴sinφ，∴φ，∴f（x）＝2sin（ωx）．
再根据五点法作图可得ω•π，求得ω＝2，故 f（x）＝2sin（2x）．
令x，求得f（x）＝2，为最大值，故直线x是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；
把g（x）＝2sin2x向左平移个单位，可得y＝2sin（2x）的图象，故B不正确；
f（x）＝2sin（2x）的最小正周期为 π，故C正确；
在区间（，）上，2x∈（，），故f（x）＝2sin（2x）单调递增，
故选：B．
6．（5分）F1、F2是双曲线的两个焦点，抛物线的准线l过双曲线的焦点F1，准线与渐近线交于点A，，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点A为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为AF1⊥F1F2且，则△F1F2A为等腰直角三角形，
且|AF1|＝|F1F2|，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为．
故选：C．
7．（5分）若3x﹣3y＞5﹣x﹣5﹣y，则（ ）
A． B．x3＞y3
C． D．ln（x2+1）＞ln（y2+1）
【解答】解：∵3x﹣3y＞5﹣x﹣5﹣y⇔3x﹣5﹣x＞3y﹣5﹣y，
设f（x）＝3x﹣5﹣x，则函数f（x）在R上单调递增，
则x＞y，
A，当x＝2，y＝1时，满足x＞y，但，∴A错误，
B，∵x＞y，∴x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）＝（x﹣y）[]＞0，∴x3＞y3，∴B正确，
C，当x＝﹣2，y＝﹣3时，满足x＞y，但，无意义，∴C错误，
D，当x＝﹣2，y＝﹣3时，满足x＞y，但ln（x2+1）＜ln（y2+1），∴D错误，
故选：B．
8．（5分）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，EF∥底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（ ）
A． B．32π C． D．
【解答】解：取AD，BC中点N，M，正方形ABCD中心O，EF中点O2，连接EN，MN，FM，OO2，如图，
依题意，OO2⊥平面ABCD，EF∥AB∥MN，点O是MN的中点，MN＝AB＝4，
等腰△AED中，AD⊥EN，，同理，
因此，等腰梯形EFMN的高，由几何体的结构特征知，
刍甍的外接球球心O1在直线OO2上，连O1E，O1A，OA，正方形ABCD外接圆半径，
则有，而，
当点O1在线段O2O的延长线（含点O）时，视OO1为非负数，若点O1在线段O2O（不含点O）上，视OO1为负数，
即有，即，解得OO1＝0，
因此刍甍的外接球球心为O，半径为，
所以刍甍的外接球的体积为．
故选：A．
二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若a，b∈R，ab＞0且a+b＝1，则的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵ab＞0且a+b＝1，
∴2，
当且仅当，a+b＝1，即a＝b时，等号成立，即取得最小值为4．
故选：CD．
（多选）10．（5分）某位同学记录了100次上学所用时间（单位：分钟），得到如图的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝0.18
B．上学所用时间平均数的估计值小于14
C．上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.17
D．上学所用时间的众数和中位数的估计值相等
【解答】解；选项A，由频率分布直方图得，（0.08+0.09+a+0.1+0.07）×2＝1，∴a＝0.16，选项A错误，
选项B，各组数据的频率分别为，0.16、0.18、0.32、0.2、0.14，
∴上学所用时间平均数的估计，10×0.16+12×0.18+14×0.32+20×0.2+22×0.14＝13.96＜14，选项B正确，
选项C，上学所用时间超过15分钟的概率大约为0.2+0.14＝0.34，选项C错误，
选项D，上学所用时间的众数为14，令中位数t，则（t﹣13）×0.16＝0.5﹣0.16﹣0.18，解得t＝14，∴上学所用时间的众数和中位数的估计值相等，选项D正确，
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（ ）
A．当x＜0时，f（x）＝ex（x+1）
B．函数f（x）有两个零点
C．若方程f（x）＝m有三个解，则实数m的取值范围是f（﹣2）＜m＜f（2）
D．∀x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|max＝2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝ex（﹣x﹣1），
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x）＝ex（x+1），故A正确；
对于B，当x＞0时，，则其导数，
令f'（x）＝0，解得x＝2，
当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上单调递减，
故当x＝2时，函数f（x）取得极小值e﹣2＞0，
故当0＜x＜2时，f（x）单调递增且f（1）＝0，故函数f（x）在（0，2）仅有一个零点1．
当x＞2时，，所以函数f（x）在（2，+∞）没有零点，
所以函数f（x）在（0，+∞）上仅有一个零点，函数f（x）是定义在R上的奇函数，
故函数f（x）在（﹣∞，0）上仅有一个零点﹣1，又f（0）＝0，
故函数f（x）在R上有3个零点，故B错误．
对于C，作出函数f（x）的大致图象，如图：
若关于x的方程f（x）＝m有解，由B中的单调性可得，实数m的取值范围是f（﹣2）＜m＜f（2）．
故C正确．
对于D，由图可知，对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜|1﹣（﹣1）|＝2
故D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图（n﹣1）中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为an，则下列说法正确的是（ ）
A．图（4）中共有294个正六边形
B．
C．{an}是一个递增的等比数列
D．记{Sn}为数列{an}的前n项和，则对任意的n∈N*且n≥2，都有an＞Sn﹣1
【解答】解：对于A，由图可知，图（1）至图（n）中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图（4）中共有73＝343个正六边形，A错误；
对于B，由题可知，图（n）中每个正六边形的边长为，∴，∴，B正确；
对于C，∵是底数大于1的指数型函数，∴{an}是一个递增的等比数列，C正确；
对于D，∵，∴a1＝6，，∴，
当n∈N*且n≥2时，，
∴对任意的n∈N*且n≥2，都有an＞Sn﹣1，D正确．
故选：BCD．
三.填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）某机构开展关于环境保护的知识问卷，从中抽取了8份试卷，成绩分别为72，85，80，81，86，81，92，90，则这8份试卷成绩的第60百分位数为 85 ．
【解答】解：将8个成绩从小到大排序，72，80，81，81，85，86，90，92，
因为8×60%＝4.8，所以这8份试卷成绩的第60百分位数为85．
故答案为：85．
14．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，则a等于 ．
【解答】解：∵直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：x+ay+3＝0垂直，
所以（a﹣1）+2a＝0，
所以．
故答案为：．
15．（5分）已知，则的值是 ．
【解答】解：∵，
∴两边平方，可得，可得，
∴．
故答案为：．
16．（5分）已知F是双曲线的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线的方程为 ．
【解答】解：设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于D，易知：F1D∥OA，
在曲线C中，易知：|FA|＝b，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点．
又|FB|＝4b，|F1B|＝4b﹣2a＝2c，即c+a＝2b，得c+a＝4（c﹣a），则，
又c2＝a2+b2，得，渐近线方程为．
故答案为：．
四.解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（10分）已知Sn是数列{an}的前n项和，5Sn＝n（n+4）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．
【解答】解：（1）∵5S1＝5，∴a1＝1；
∵5Sn＝n（n+4），∴5Sn﹣1＝（n﹣1）（n+3），（n≥2），
两式相减可得（n≥2），
又a1＝1也满足上式，
∴；
（2）由（1）知，
所以当n＝1，2，3时，，此时bn＝1；
当n＝4，5时，，此时bn＝2；
当n＝6，7，8时，，此时bn＝3；
当n＝9，10时，，此时bn＝4，
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2＝24．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆半径R，且tanB+tanC
（1）求B和b的值；
（2）求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）∵tanB+tanC，
∴，
∴sinBcosC+cosBsinCsinAcosB，
即sin（B+C）sinAcosB，
∵A+B+C＝π，
∴sinAsinAcosB
∵sinA≠0，
∴cosB，
∴B．
又∵△ABC的外接圆半径为R，
∴由正弦定理2R，可得：b＝22．
（2）由余弦定理的b＝a2+c2﹣2accosB，
∴4＝a2+c2ac，
由基本不等式，得4＝a2+c2ac≥2acac，
∴ac2（2），
∴S△ABCacsinBac2（2）＝1，
故△ABC面积的最大值1．
19．（12分）《道路交通安全法实施条例》第六十二条规定：司机在开车时使用手机属于违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，某交警部门随机调查了100名司机，得到以下数据：在45名男性司机中，开车时使用手机的有25人，开车时不使用手机的有20人；在55名女性司机中，开车时使用手机的有15人，开车时不使用手机的有40人．
（1）完成下面的2×2列联表，并由表中数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为开车时使用手机与司机的性别有关？
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
女性司机人数
合计
（2）采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X为开车时使用手机的女性司机人数，求X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（χ2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）由已知数据可得2×2列联表如下：
开车时使用手机
开车时不使用手机
合计
男性司机人数
25
20
45
女性司机人数
15
40
55
合计
40
60
100
因为χ28.249＞6.635，
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为开车时使用手机与司机的性别有关．
（2）采用分层抽样从开车时使用手机的人中抽取8人，
其中的男性司机人数为：85人；女性司机人数为：83人．
由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，3，
因为P（X＝0）；P（X＝1）；
P（X＝2）；P（X＝3）．
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
则E（X）＝0．
20．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（1）证明：平面EMN⊥平面PBC；
（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的正切值为？若存在，确定N点位置；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：因为PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED＝E，EB，ED⊂平面EBCD，
所以PE⊥平面EBCD．
所以PE⊥BC
∵BC⊥EB，EB⋂PE＝E
所以BC⊥平面PEB．
因为ME⊂平面PEB，所以BC⊥EM．
因为PE＝EB，PM＝MB，
所以EM⊥PB．
因为BC⊥EM，PB⊥EM，BC∩PB＝B，PB，BC⊂平面PBC，
所以EM⊥平面PBC．
因为EM⊂平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PBC．
（2）解：过M作MQ⊥EB于Q．
因为PE⊥EB，所以PE∥MQ．
由（1）知PE⊥平面EBCD，所以MQ⊥平面EBCD．
过Q作QR⊥EN于R，连接MR．
因为MQ⊥平面EBCD，EN⊂平面EBCD，
所以MQ⊥EN．
因为MQ⊥EN，QR⊥EN，MQ，QR⊂平面MQR，MQ∩QR＝Q，
所以EN⊥平面MQR．
因为EN⊥平面MQR，MR⊂平面MQR，所以EN⊥MR，
所以∠MRQ是二面角B﹣EN﹣M的平面角．
因为PE＝EB＝BC＝2，则MQ＝1．
在Rt△BEN中，设BN＝x（0＜x＜2），则
由Rt△BEN～Rt△REQ，得，所以．
则．
由题意可得，解得x＝1∈（0，2）．
此时N为BC的中点．
21．（12分）已知椭圆C：的左、右顶点分别A1，A2，上顶点为B，△A1A2B的面积为3，C的短轴长为2．
（1）求C的方程；
（2）斜率不为0的直线l交C于P，Q两点（异于点A1），D为PQ的中点，且|A1D|＝|PD|，证明：直线l恒过定点．
【解答】解：（1）由题意得，解得a＝3，b＝1，故C的方程为．
（2）证明：由题意设直线/的方程为x＝my+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（m2+9）y2+2mty+t2﹣9＝0，
所以Δ＝4m2t2﹣4（m2+9）（t2﹣9）＞0，即t2＜m2+9，
，
因为|A1D|＝|PD|＝|QD|，所以A1P⊥A1Q，所以，
即（x1+3）（x2+3）+y1y2＝0，
则（my1+t+3）（my2+t+3）+y1y2＝0，
整理得，
所以，
即（m2+1）（t+3）（t﹣3）﹣2m2t（t+3）+（t+3）2（m2+9）＝0，
整理得（t+3）（5t+12）＝0，解得或t＝﹣3，
当t＝﹣3时，直线l的方程为x＝my﹣3，恒过点（﹣3，0），舍去；
当时，直线/的方程为，恒过点，符合题意，
即直线l恒过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝eax﹣x2，a＞0．
（1）若x轴与曲线y＝f（x）相切，求a的值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2﹣ax，若对任意的x1，x2∈[﹣2，2]，|g（x2）﹣g（x1）|≤e+2，求a的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，f'（x）＝aeax﹣2x，
设x轴与曲线y＝f（x）相切的切点为（x0，0），
则，且，
即，显然x0≠0，则，
则，又a＞0，解得；
（2）由题意得g（x）＝eax+x2﹣ax，则g'（x）＝aeax+2x﹣a，
根据a＞0，可知g'（x）＝aeax+2x﹣a是单调增函数，g'（0）＝0，
故当﹣2≤x＜0时，g'（x）＜0，g（x）递减，
当0＜x≤2时，g'（x）＞0，g（x）递增，故g（x）min＝g（0）＝1，
又g（2）＝e2a+4﹣2a，g（﹣2）＝e﹣2a+4+2a，则g（2）﹣g（﹣2）＝e2a﹣e﹣2a﹣4a，
令h（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则h'（x）＝ex+e﹣x﹣2，
由于ex+e﹣x≥2（当且仅当x＝0时取等号），故h'（x）＝ex+e﹣x﹣2≥0，
所以h（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x递增，则x＞0时，h（x）＞h（0）＝0，
故a＞0时，h（2a）＝e2a﹣e﹣2a﹣4a＞h（0）＝0，即g（2）﹣g（﹣2）＝e2a﹣e﹣2a﹣4a＞0，
即g（2）＞g（﹣2），即，
故对任意的x1，x2∈[﹣2，2]，|g（x2）﹣g（x1）|≤e+2恒成立，
即恒成立，
故e2a﹣2a≤e﹣1，令φ（x）＝ex﹣1，则φ'（x）＝ex＞0，
故φ（x）＝ex﹣1单调递增，则e2a﹣2a≤e﹣1，即为φ（2a）≤φ（1），
即2a≤1，所以，
故求a的最大值．
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