2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高三（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高三（上）入学数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高三（上）入学数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分.）
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝﹣2x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．{﹣1} C．{﹣1，1} D．{（﹣1，1）}
2．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z＝eiπ﹣i，则|z|＝（　　）
A． B．1 C． D．2
3．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录．根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（　　）

A．y＝mn（m＞0）
B．y＝mx+n（m＞0）
C．y＝mx2+n（m＞0）
D．y＝max+n（m＞0，a＞0且a≠1）
5．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（　　）
A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
6．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2＝6，那么|AB|＝（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．（5分）已知数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，则数列的前10项和是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x），则方程f（f（x））＝1的根的个数为（　　）
A．7 B．5 C．3 D．2
二、多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
B．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交
C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面
D．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b
（多选）10．（5分）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（πA＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．下列结论正确的是（　　）

A．当x时，f（x）的取值范围是[﹣1，2]
B．f（）
C．曲线y＝f（x）的对称轴是x＝kπ（k∈Z）
D．若|x1﹣x2|，则|f（x1）﹣f（x2）|＜4
（多选）11．（5分）若定义域为（0，+∞）的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）+1＞0，且f（1）＝1，则下列结论中成立的是（　　）
A．f（e）＞0
B．f（）＜2
C．∀x∈（1，e），f（x）＞0
D．∃x∈（1，e），f（x）﹣f（）+2＜0
（多选）12．（5分）“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF＝15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN＝15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为an（其中第1个正方形ABCD的边长为a1＝AB，第2个正方形EFGH的边长为a2＝EF，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为Sn（其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，…），则（　　）

A．数列{an}是公比为的等比数列
B．S1
C．数列{Sn}是公比为的等比数列
D．数列{Sn}的前n项和Tn
三、填空题（每小题5分，共15分.）
13．（5分）将3名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑2个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分配在一起的概率为 　 　．
14．（5分）圆心在直线y＝﹣x+1上，且与直线x+y﹣2＝0相切于点（1，1）的圆的方程是　 　．
15．（5分）若函数f（x）在区间（a，a+5）上存在最小值，则实数a的取值范围是　 　．
16．（5分）圆M的方程为（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1（θ∈R），圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝4，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值为 　 　．
四、解答题
17．（10分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，asinCc•cosA，有三个条件：①cosB；②b+c；③a，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在．
（1）两个条件中能有①吗？说明理由；
（2）请指出这两个条件，并求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1
（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求{an}的前20项和．
19．（12分）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA，QC＝3．
（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．

20．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．
（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布N（150，625），某天有1000位顾客，请估计消费额X
（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544．
（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；
（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[，2]时，函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知A，B分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），|PF|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围．

2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳一中高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，共40分.）
1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|y＝﹣2x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．{﹣1} C．{﹣1，1} D．{（﹣1，1）}
【解答】解：根据题意，集合A＝{（x，y）|y＝﹣2x﹣1}，B＝{（x，y）|y＝x2}，
，，
则A∩B＝{（x，y）|（﹣1，1）}，
故选：D．
2．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z＝eiπ﹣i，则|z|＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由题意可得，复数z＝eiπ﹣i＝cosπ+isinπ﹣i＝﹣1﹣i，
∴|z|＝|﹣1﹣i|，
故选：C．
3．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分条件，
②由a2＞36，得a＞6或a＜﹣6，所以“a＞6”是“a2＞36”的不必要性条件，
故a＞6是a2＞36的充分不必要条件，
故选：A．
4．（5分）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录．根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（　　）

A．y＝mn（m＞0）
B．y＝mx+n（m＞0）
C．y＝mx2+n（m＞0）
D．y＝max+n（m＞0，a＞0且a≠1）
【解答】解：因为一次函数的图象为一条直线，二次函数的图象为抛物线，故B，C错误，
根据幂函数与指数型函数的通项，特征即可判断A正确，D错误，
故选：A．
5．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（　　）
A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
【解答】解：因为函数f（x+2）为偶函数，则f（2+x）＝f（2﹣x），
可得f（x+3）＝f（1﹣x），
因为函数f（2x+1）为奇函数，则f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），
所以，f（1﹣x）＝﹣f（x+1），
即f（x+3）＝﹣f（x+1）＝f（x﹣1），
∴f（x）＝f（x+4），
故函数f（x）是以4为周期的周期函数，
因为函数F（x）＝f（2x+1）为奇函数，则F（0）＝f（1）＝0，
故f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，其它三个选项未知．
故选：B．
6．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2＝6，那么|AB|＝（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【解答】解：由题意，p＝2，故抛物线的准线方程是x＝﹣1，
∵抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|＝x1+x2+2，
又x1+x2＝6
∴|AB|＝x1+x2+2＝8
故选：B．
7．（5分）已知数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，则数列的前10项和是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，①
∴a1＝2，
a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②
①﹣②整理得：（2n﹣1）an＝2，
∴an，（n≥2）
n＝1时也成立，
∴an，
∴，
∴数列的前10项和是：（1）+（）+......+（ ）＝1，
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x），则方程f（f（x））＝1的根的个数为（　　）
A．7 B．5 C．3 D．2
【解答】解：函数f（x），则方程f（t）＝1，
可得2t﹣1＝1，解得t＝1；|ln（t﹣1）|＝1，可得t﹣1＝e或t﹣1，
所以t＝e+1或t＝1，
所以f（x）＝t，可得2x﹣1＝1，解得x＝1；|ln（x﹣1）|＝1，可得x﹣1＝e或x﹣1，
所以x＝e+1或x＝1，
可得2x﹣1＝e+1，解得x＝1舍去；|ln（x﹣1）|＝1+e，可得x﹣1＝e1+e或x﹣1＝e﹣1﹣e，
所以x＝e1+e+1或x＝1+e﹣1﹣e，
可得2x﹣1＝1，解得x舍去；|ln（x﹣1）|＝1，可得x﹣1＝e1+或x﹣1，
所以x1或x＝1，
所以方程f（f（x））＝1的根的个数为7个．
故选：A．
二、多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
B．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交
C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面
D．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b
【解答】解：对于A：由公理1可知，若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故A正确；
对于B：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面平行或相交或在平面内，故B错娱；
对于C：若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面，故C正确；
对于D：若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a∥平面β，又直线b⊂β，则直线a∥b或a与b异面，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（πA＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图，将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象．下列结论正确的是（　　）

A．当x时，f（x）的取值范围是[﹣1，2]
B．f（）
C．曲线y＝f（x）的对称轴是x＝kπ（k∈Z）
D．若|x1﹣x2|，则|f（x1）﹣f（x2）|＜4
【解答】解：由函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象，
可得A＝2，，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2φ＝π，∴φ，故函数y＝2sin（2x）．
将该函数的图象向x轴负方向平移个单位，可得函数y＝2sin（2x）＝2cos2x的图象，
再把所得曲线上点的横坐标变为原来2倍（纵坐标不变），得到函数f（x）＝2cosx的图象．
当x时，f（x）＝2cosx的取值范围是[﹣1，2]，故A正确；
f（）＝2cos2cos，故B错误；
显然，函数f（x）的图象的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故C错误；
若|x1﹣x2|，则|f（x1）﹣f（x2）|＜|2﹣（﹣2）|＝4，即|f（x1）﹣f（x2）|＜4，故D正确，
故选：AD．
（多选）11．（5分）若定义域为（0，+∞）的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）+1＞0，且f（1）＝1，则下列结论中成立的是（　　）
A．f（e）＞0
B．f（）＜2
C．∀x∈（1，e），f（x）＞0
D．∃x∈（1，e），f（x）﹣f（）+2＜0
【解答】解：根据题意，若定义在（0，+∞）的函数f（x）的导数f'（x）满足xf′（x）+1＞0，
则有f′（x）0，则有[f（x）+lnx]′＞0，
设g（x）＝f（x）+lnx，则g′（x）＝f′（x）0，则g（x）在（0，+∞）上为增函数，
依次分析选项：
对于A，e＞1，则g（e）＞g（1），即f（e）+lne＞1，则有f（e）＞0，符合题意；
对于B，1，则g（）＜g（1），即f（）+lnf（）﹣1＜1，
即有f（）＜2，符合题意；
对于C，g（x）在（1，e）上为增函数，且g（1）＝1，则有f（x）+lnx＞1，
则f（x）＞1﹣lnx，又由1＜x＜e，则f（x）＞0，符合题意；
对于D，当x∈（1，e），有x0，此时有f（x）＞f（），
即f（x）+lnx＞f（）+ln（），变形可得f（x）﹣f（）+2lnx＞0，
又由1＜x＜e，则0＜lnx＜1，则f（x）﹣f（）+2＞0恒成立，不符合题意；
故选：ABC．
（多选）12．（5分）“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF＝15°；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得∠FMN＝15°；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为an（其中第1个正方形ABCD的边长为a1＝AB，第2个正方形EFGH的边长为a2＝EF，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为Sn（其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，…），则（　　）

A．数列{an}是公比为的等比数列
B．S1
C．数列{Sn}是公比为的等比数列
D．数列{Sn}的前n项和Tn
【解答】解：如图，

由图知，an＝an+1（sin15°+cos15°）＝an+1sin（15°+45°）an+1，
A：∵anan+1，∴，∴数列{an}是公比为的等比数列，∴A错误，
BC：an＝1，∴Sn，
∴数列{Sn}是首项为，公比为的等比数列，∴B正确，C错误，
D：∵Tn，∴D正确．
故选：BD．
三、填空题（每小题5分，共15分.）
13．（5分）将3名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑2个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分配在一起的概率为 　　．
【解答】解：由题意可知，基本事件总数为6，
甲、乙两名志愿者分配在一起的基本事件数为2，（即甲乙都分配到花样滑冰或短道速滑）
故由古典概型的概率公式可知，所求概率为．
故答案为：．
14．（5分）圆心在直线y＝﹣x+1上，且与直线x+y﹣2＝0相切于点（1，1）的圆的方程是　（x）2+（y）2　．
【解答】解：设圆心坐标为O（a，b）．
∵圆心在直线y＝﹣x+1上，
∴b＝﹣a+1．
又∵直线l：x+y﹣2＝0相切于点P（1，1）．
则OP⊥l．
∴kOP1．
解得，a．
∴b＝﹣a+1．
∴圆心O（，）．
圆的半径
r＝|OP|．
∴圆的方程为：（x）2+（y）2．
故答案是：（x）2+（y）2．
15．（5分）若函数f（x）在区间（a，a+5）上存在最小值，则实数a的取值范围是　[﹣3，0）　．
【解答】解：由题意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），
故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函数，
在（﹣2，0）上是减函数，
作其图象如右图，
令x3+x2得，
x＝0或x＝﹣3；
则结合图象可知，
；
解得，a∈[﹣3，0）；
故答案为：[﹣3，0）．

16．（5分）圆M的方程为（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1（θ∈R），圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝4，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值为 　6　．
【解答】解：圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝4，则圆心C（2，0），半径为2，
圆M的方程为（x﹣2﹣5cosθ）2+（y﹣5sinθ）2＝1（θ∈R），则圆心M（2+5cosθ，5sinθ），半径为1，
∴|CM|5＞2+1，故两圆相离．
∵••cos∠EPF，
∴要使的值最小，需和最小，且∠EPF最大，如图所示：
设直线CM与圆M交于H、G两点，则的最小值是，
则|HC|＝|CM|﹣1＝4，
|HE|2，sin∠CHE，
∴cos∠EHF＝cos2∠CHE＝1﹣2sin2∠CHE，
∴6，
即的最小值为6．
故答案为：6．

四、解答题
17．（10分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，asinCc•cosA，有三个条件：①cosB；②b+c；③a，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在．
（1）两个条件中能有①吗？说明理由；
（2）请指出这两个条件，并求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为asinCc•cosA，
所以由正弦定理可得sinAsinCsinCcosA，
因为sinC≠0，
所以sinAcosA，可得tanA，
因为A∈（0，π），
所以A．
假设两个条件中有①，则会推出矛盾，过程如下：
因为cosB，
所以B，由于此时A+B+C＞π，所以不能有①；
（2）只能选择②③，
因为A，所以由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即6＝b2+c2﹣bc，
由于b+c，所以bc＝2，
此时，解得，或，所以△ABC存在，
所以S△ABCbcsinA．
18．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1
（1）记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）求{an}的前20项和．
【解答】解：（1）因为a1＝1，an+1，
所以a2＝a1+1＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+1＝5，
所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，
bn﹣bn﹣1＝a2n﹣a2n﹣2＝a2n﹣a2n﹣1+a2n﹣1﹣a2n﹣2＝1+2＝3，n≥2，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，以3为公差的等差数列，
所以bn＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．
另解：由题意可得a2n+1＝a2n﹣1+3，a2n+2＝a2n+3，
其中a1＝1，a2＝a1+1＝2，
于是bn＝a2n＝3（n﹣1）+2＝3n﹣1，n∈N*．
（2）由（1）可得a2n＝3n﹣1，n∈N*，
则a2n﹣1＝a2n﹣2+2＝3（n﹣1）﹣1+2＝3n﹣2，n≥2，
当n＝1时，a1＝1也适合上式，
所以a2n﹣1＝3n﹣2，n∈N*，
所以数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则{an}的前20项和为a1+a2+...+a20＝（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）＝103+10×23＝300．
19．（12分）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA，QC＝3．
（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：△QCD中，CD＝AD＝2，QD，QC＝3，所以CD2+QD2＝QC2，所以CD⊥QD；
又CD⊥AD，AD∩QD＝D，AD⊂平面QAD，QD⊂平面QAD，所以CD⊥平面QAD；
又CD⊂平面ABCD，所以平面QAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：取AD的中点O，在平面ABCD内作Ox⊥AD，
以OD所在直线为y轴，OQ所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：

则O（0，0，0），B（2，﹣1，0），D（0，1，0），Q（0，0，2），
因为Ox⊥平面ADQ，所以平面ADQ的一个法向量为（1，0，0），
设平面BDQ的一个法向量为（x，y，z），
由（﹣2，2，0），（0，﹣1，2），
得，即，
令z＝1，得y＝2，x＝2，所以（2，2，1）；
所以cos，，
所以二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值为．

20．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．
（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布N（150，625），某天有1000位顾客，请估计消费额X
（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544．
（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；
（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得μ＝150，σ2＝625，得σ＝25，100＝μ﹣2σ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
人数约为1000×P（μ﹣2σ＜X≤μ）477人，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
其中中奖的人数约为477×0.6＝286人；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，
三人中中奖人数ξ服从二项分布B（3，0.6），，（k＝0，1，2，3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.064（或）
0.288（或）
0.432（或）
0.216（或）
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3＝10.5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5＝35，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
方法一所得奖金的期望值为3×10.5＝31.5，方法二所得奖金的期望值为35，
所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当x∈[，2]时，函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax﹣lnx﹣a，
∴f′（x），（x＞0，a∈R），
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）无极值；
②当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递减；
∴f（x）仅有极小值f（）＝1+lna﹣a；
综合可得：当a≤0时，f（x）无极值；
当a＞0时，f（x）仅有极小值f（）＝1+lna﹣a；
（2）由（1）知a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）不满足题意，
∴a＞0，由（1）知当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+∞）上单调递减，
f（x）的极小值为f（）＝1+lna﹣a，且x→0时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞，
又当x∈[，2]时，函数f（x）有两个不同的零点，
∴，∴，∴，
设g（a）＝lna﹣a+1，则g′（a），（a＞0），
∴当a∈（0，1）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当a∈（1，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
∴g（a）≤g（1）＝0，∴g（a）＝lna﹣a+1＜0时，a≠1，
即lna＜a﹣1时，a≠1，
综合不等式组的解集可得实数a的取值范围为[ln2，1）∪（1，2ln2]．
22．（12分）已知A，B分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），|PF|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知F（c，0），B（a，0），
∵PF恰好垂直平分线段OB，
∴a＝2c，
令x＝c，代入1得：y，
∴，
∴，解得，
∴椭圆C的方程为：．
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my+1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
∴Δ＝36m2+36（3m2+4）＞0，
∴，，
设MN的中点为E，则2，
∴MN与OQ互相平分，四边形OMQN为平行四边形，
∴S平行四边形OMQN
＝2S△OMN
＝2
＝|y1﹣y2|


，
令t1，则S平行四边形OMQN（t≥1），
∵y＝3t3（t）在[1，+∞）上单调递增，
∴3t4，∴∈（0，3]，
∴0＜S平行四边形OMQN≤3．
综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为（0，3]．
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