2022-2023学年湖南省长沙一中高三（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙一中高三（上）入学数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙一中高三（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x∈Z|x2﹣4x≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2，3，4}
C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3，4}
2．（5分）若复数z满足，其中i是虚数单位，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
3．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝log22x，则f（21）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．log23 D．1
5．（5分）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1＝1，O1O2，O2A＝2，记直线SA与直线O1O2所成角为θ，则（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数，若方程在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），则sin（x1﹣x2）＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分．综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（　　）

A．23m B．25m C．27m D．29m
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X～N（0.9372，0.01392）．则下列结论正确的是（　　）
（参考数据：若X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973，0.9772550≈0.3164．）
A．P（X≤0.9）＜0.5
B．P（X＞0.9789）＝0.00135
C．P（X＜0.4）＜P（X＞1.5）
D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量，则P（Y≥1）≈0.6836
（多选）10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝1上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．若|AB|＝1，则
B．若点O到直线AB的距离为，则
C．若，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为
D．若，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为4
（多选）11．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f'（x），当x≥0时，f'（x）+sin2x＜0．则（　　）
A．函数g（x）＝f（x）﹣cos2x的图象关于y轴对称
B．函数g（x）＝f（x）﹣cos2x在区间[0，+∞）上单调递减
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
（多选）12．（5分）已知椭圆C：（a＞2）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足．动点Q满足，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝3
B．动点Q的轨迹方程为2x+3y﹣6＝0
C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）f（y），且当x＞y时，f（x）＞f（y），请你写出符合上述条件的一个函数f（x）＝　 　．
14．（5分）在△ABC中，点D满足，当点E在线段AD（不含端点A，D）上移动时，若，则　 　．
15．（5分）在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是边长为的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为3，该四棱锥的外接球O的半径为5，若球心O在四棱锥P−ABCD内，则顶点P的轨迹长度为 　 　．
16．（5分）若直线l：y＝kx+b为曲线f（x）＝ex与曲线g（x）＝e2⋅lnx的公切线（其中e为自然对数的底数，e≈2.71828…），则实数b＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求内角B的大小；
（2）已知△ABC的面积为，a＝2c，请判定△ABC的形状，并说明理由．
18．（12分）为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务．某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．
（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，O，M，N分别为线段BC，AA1，BB1的中点，P为线段AC1上的动点，AOBC，AB＝3，AC＝4，AA1＝8．
（1）求点C到平面C1MN的距离；
（2）试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大．

20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足（q﹣1）Sn＝qan﹣1（q＞0），n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当q＝2时，数列{bn}满足，求证：；
（3）若对任意正整数n都有an+1≥n成立，求正实数q的取值范围．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线交抛物线C于A，B两点，且三角形OAB的面积为（O为坐标原点）．
（1）求实数p的值；
（2）过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'．证明：直线P'Q经过定点，并求出定点坐标．
22．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x（e是自然对数的底数）．
（1）若x1，x2（0＜x1＜x2）是函数y＝f（x）的两个零点，证明：；
（2）当a＝2时，若对于∀k＞0，曲线C：y＝m﹣kx2与曲线y＝f（x）都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．

2022-2023学年湖南省长沙一中高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若集合A＝{x∈Z|x2﹣4x≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1，2，3} B．{0，1，2，3，4}
C．{﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3，4}
【解答】解：∵A＝{x∈Z|x2﹣4x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0，1，2，3，4，}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3，}．
故选：A．
2．（5分）若复数z满足，其中i是虚数单位，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：因为，
所以，
故设z＝a+bi（a，b∈R），
则，
所以．
故选：B．
3．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，
可得，，
故选：B．
4．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝log22x，则f（21）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．log23 D．1
【解答】解：由f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，
可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x）＝f（x﹣2），
所以f（x﹣2）＝﹣f（x），
即有f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
则f（x）的最小正周期为4，
当0＜x≤1时，f（x）＝log22x，
则f（21）＝f（4×5+1）＝f（1）＝log22＝1．
故选：D．
5．（5分）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设该校有x个学生，则约有0.45x的学生近视，
∵0.2x的学生每天玩手机超过1小时且玩手机超过1小时的学生中有0.1x的学生近视，
∴有0.8x的学生每天玩手机不超过1小时且其中有0.35x的学生近视，
∴从每天玩手机不超过1小时的学生中任意抽查一名学生，则他近视的概率为P，
故选：A．
6．（5分）已知点A为圆台O1O2下底面圆O2的圆周上一点，S为上底面圆O1的圆周上一点，且SO1＝1，O1O2，O2A＝2，记直线SA与直线O1O2所成角为θ，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，设上、下底面半径分别为R1，R2，其中R1＝1，R2＝2，
如图，过S作SD垂直下底面于D，则O1O2∥SD，

所以直线SA与直线O1O2所成角即为直线SA与直线SD所成角，即∠ASD＝θ，
而，由圆的性质，1＝R2﹣O2D≤AD≤O2D+R2＝3，
所以，所以．
故选：C．

7．（5分）已知函数，若方程在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），则sin（x1﹣x2）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为x∈（0，π），
所以，
又因为x1，x2是的两根，
结合图象可知，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：A．

8．（5分）2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分．综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为（　　）

A．23m B．25m C．27m D．29m
【解答】解：以滑道的最陡处为原点O建立平面直角坐标系，

由题意可知，O为AB的中点，
设三次函数的解析式为f（x）＝ax3+bx2+cx，其中a≠0，设点A（﹣x0，10），则B（x0，﹣10），
f'（x）＝3ax2+2bx+c，在滑道最陡处，x＝0，导函数的对称轴为x＝0，所以b＝0，f'（x）＝3ax2+c，
f（x）＝ax3+cx，在滑道最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°．
所以f′（0）＝c＝tan（90°+44°）＝tan134°≈﹣1.036，
所以f'（x）＝3ax2+tan134°，f（x）＝ax3+xtan134°，可得，
解得2x0≈29．
故选：D．

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X～N（0.9372，0.01392）．则下列结论正确的是（　　）
（参考数据：若X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973，0.9772550≈0.3164．）
A．P（X≤0.9）＜0.5
B．P（X＞0.9789）＝0.00135
C．P（X＜0.4）＜P（X＞1.5）
D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量，则P（Y≥1）≈0.6836
【解答】解：由题意可知，正态分布X～N（0.9372，0.01392）．μ＝0.9372，σ＝0.0139．
选项A，因为0.9＜μ，所以P（X≤0.9）＜P（X≤μ）＝0.5，故A正确；
选项B，因为P（X＞0.9789）＝P（X＞μ+3σ），且P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973，
所以，故B正确；
选项C，因为|μ﹣0.4|＜|1.5﹣μ|，0.4＜μ＜1.5，所以P（X＜0.4）＞P（X＞1.5），故C错误；
选项D，因为一只口罩过滤率小于等于μ+2σ的概率为，
又因为P（Y≥1）＝1﹣P（Y＝0）＝1﹣0.9772550≈0.6836，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝1上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．若|AB|＝1，则
B．若点O到直线AB的距离为，则
C．若，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为
D．若，则|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为4
【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝1上两点，|AB|＝1，所以三角形AOB为正三角形，所以则，选项A正确，
点O到直线AB的距离为，|AB|＝2，所以B错误；
的值可转化为单位圆上的A（x1，y1），B（x2，y2）两点到直线x+y﹣1＝0的距离之和，
又∠AOB＝90°，所以三角形AOB是等腰直角三角形，
设M是AB的中点，则OM⊥AB，且，
则M在以O点为圆心，半径为的圆上，
A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离之和为AB的中点M到直线x+y﹣1＝0的距离的两倍．
点O（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离为，
所以点M到直线x+y﹣1＝0的距离的最大值为，
所以的最大值为．
因此|x1+y1﹣1|+|x2+y2﹣1|的最大值为4．
故选：AD．

（多选）11．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f'（x），当x≥0时，f'（x）+sin2x＜0．则（　　）
A．函数g（x）＝f（x）﹣cos2x的图象关于y轴对称
B．函数g（x）＝f（x）﹣cos2x在区间[0，+∞）上单调递减
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【解答】解：对于选项A，由g（﹣x）＝f（﹣x）﹣cos2（﹣x）＝f（x）﹣cos2x，所以g（x）为偶函数，
所以函数g（x）＝f（x）﹣cos2x的图象关于y轴对称．故A正确；
对于选项B、C、D，由g（x）＝f（x）﹣cos2x为偶函数．
当x≥0时，g'（x）＝f'（x）+sin2x＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）在（﹣∞，0]上单调递增．所以B正确；
由，得，
所以，即，
所以．所以，解得．
所以C正确，D错误，
故选：ABC．
（多选）12．（5分）已知椭圆C：（a＞2）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足．动点Q满足，则下列结论正确的是（　　）
A．a＝3
B．动点Q的轨迹方程为2x+3y﹣6＝0
C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
【解答】解：由椭圆C：（a＞2）离心率为，得，所以a与a＞2矛盾，故A不正确；
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），
∴，，
由，得两式相乘（1﹣x1，1﹣y1）•（m﹣x1，n﹣y1）＝﹣λ2（x2﹣1，y2﹣1）•（x2﹣m，y2﹣n），
化简可得，
同理可得，∴，
由题意知λ＞0且λ≠1，否则与矛盾，∴，
∴动点Q的轨迹方程为，即直线2x+3y﹣6＝0，故B正确；
所以线段OQ长度的最小值即为原点到直线的距离，∴|OQ|min，
故C错误，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）f（y），且当x＞y时，f（x）＞f（y），请你写出符合上述条件的一个函数f（x）＝　2x（答案不唯一）　．
【解答】解：因为函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）f（y），
故可以考虑指数函数y＝ax，
因为当x＞y时，f（x）＞f（y），
所以函数f（x）为单调递增函数，
则a＞1，
所以函数f（x）＝2x．
故答案为：2x（答案不唯一）．
14．（5分）在△ABC中，点D满足，当点E在线段AD（不含端点A，D）上移动时，若，则　3　．
【解答】解：如图所示，

在△ABC中，由已知，
所以，
又点E在线段AD上移动，设，
所以，又，所以．
故答案为：3．

15．（5分）在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是边长为的正方形，其顶点P到底面ABCD的距离为3，该四棱锥的外接球O的半径为5，若球心O在四棱锥P−ABCD内，则顶点P的轨迹长度为 　　．
【解答】解：因为底面ABCD是边长为的正方形，
所以该正方形外接圆半径，
所以球心O到底面ABCD的距离，
又顶点P到底面ABCD的距离为3，
所以点P在与底面ABCD平行的截面圆的圆周上，
由球心O在四棱锥P﹣ABCD内，可得截面圆的半径，
故顶点P的轨迹长度为．
故答案为：．
16．（5分）若直线l：y＝kx+b为曲线f（x）＝ex与曲线g（x）＝e2⋅lnx的公切线（其中e为自然对数的底数，e≈2.71828…），则实数b＝　0或﹣e2　．
【解答】解：设l与f（x）的切点为（x1，y1），则由f'（x）＝ex，有．
同理，设l与g（x）的切点为（x2，y2），由，有．
故①
②
由①式两边同时取对数得：x1＝2﹣lnx2⇒lnx2﹣1＝1﹣x1，③
将③代入②中可得：，进而解得或．
则l：y＝ex或y＝e2x﹣e2．
故b＝0或﹣e2．
故答案为：0或﹣e2．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．
（1）求内角B的大小；
（2）已知△ABC的面积为，a＝2c，请判定△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
因为，由正弦定理可得，
又由sinA＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
可得，
因为C∈（0，π），可得sinC＞0，所以，即，
又因为B∈（0，π），可得．
（2）因为△ABC的面积为，所以，
所以ac＝2，因为a＝2c，所以c＝1，a＝2，
所以，
所以a2＝b2+c2，故△ABC为直角三角形．
18．（12分）为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务．某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：

若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．
（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；
（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率．
【解答】解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为，
甲同学三分球投篮命中的概率为，
设甲同学累计得分为X，
则P（X≥4）＝P（X＝4）+P（X＝5）＝0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5＝0.3，
所以甲同学通过测试的概率为0.3．
设这300名学生通过测试的人数为Y，由题设Y～B（300，0.3），
所以EY＝300×0.3＝90．
（2）乙同学两分球投篮命中率为，
乙同学三分球投篮命中率为．
设乙同学累计得分为Y，则P（Y＝4）＝0.8×0.4×0.4＝0.128，P（Y＝5）＝0.2×0.4+0.2×0.6×0.4＝0.128．
设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，
则P（AB）＝P（X＝5）⋅P（Y＝4）＝0.075×0.128＝0.0096，
P（B）＝[P（X＝4）+P（X＝5）]⋅[P（Y＝4）+P（Y＝5）]＝0.0768，
由条件概率公式可得．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，O，M，N分别为线段BC，AA1，BB1的中点，P为线段AC1上的动点，AOBC，AB＝3，AC＝4，AA1＝8．
（1）求点C到平面C1MN的距离；
（2）试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB1C1C所成角的正弦值最大．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵O为BC中点且，∴AB⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC⋂平面ACC1A1＝AC，
∴AB⊥平面ACC1A1，又CM⊂平面ACC1A1，∴AB⊥CM，
∵M，N分别为AA1，BB1的中点，∴MN∥AB．∴CM⊥MN，
在直角△AMC和直角△MA1C1中，∵AM＝A1M＝4，AC＝A1C1＝4，
∴△AMC≅△A1MC1，∴，
∴，∴CM⊥C1M，
∵MN∩C1M＝M，MN，C1M⊂平面MNC1，∴CM⊥平面C1MN，
∴点C到平面C1MN的距离为．
（2）∵AA1⊥平面ABC，由（1）得AB，AC，AA1三线两两垂直，
以A为原点，以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，

则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，4，0），C1（0，4，8），M（0，0，4），B1（3，0，8），
∴，
设平面BB1C1C的法向量为，
则令x1＝4得，
设，则（x0，y0，z0）＝m（0，4，8），
∴，
设直线MP与平面BB1C1C所成的角为θ，
则，
若m＝0，sinθ＝0，此时，点P与A重合；
若m≠0，令，则，
当t＝2，即为AC1的中点时，sinθ取得最大值．

20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足（q﹣1）Sn＝qan﹣1（q＞0），n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当q＝2时，数列{bn}满足，求证：；
（3）若对任意正整数n都有an+1≥n成立，求正实数q的取值范围．
【解答】解：（1）由（q﹣1）Sn＝qan﹣1（q＞0）得（q﹣1）S1＝qa1﹣1，即（q﹣1）a1＝qa1﹣1，所以a1＝1．
若q＝1，则an＝1；
若q≠1，则由（q﹣1）Sn＝qan﹣1得（q﹣1）Sn﹣1＝qan﹣1﹣1（n≥2），
两式相减得（q﹣1）an＝（qan﹣1）﹣（qan﹣1﹣1）＝qan﹣qan﹣1（n≥2），
化简得an＝qan﹣1（n≥2），
所以数列{an}是以1为首项，以q为公比的等比数列，因此，
当q＝1时，也满足该式，
故．
（2）因为q＝2，所以，
则，
因此，
又因为，且bn＞0，故，
因此得证．
（3）由（1）得n≤qn，则lnn≤nlnq，即，
令，
为使对任意正整数n都有an+1≥n成立，即f（x）max≤lnq，
因为，所以当0＜x＜e时，f'（x）＞0，即f（x）在（0，e）上单调递增；
当x＞e时，f'（x）＜0，即f（x）在（e，+∞）上单调递减，
又x∈N*，且，
所以，
因此，即．
21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），直线交抛物线C于A，B两点，且三角形OAB的面积为（O为坐标原点）．
（1）求实数p的值；
（2）过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'．证明：直线P'Q经过定点，并求出定点坐标．
【解答】（1）解：由题得直线过点（1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得，所以，
所以，
所以三角形OAB的面积，
又p＞0，解得p＝2（p＝﹣3＜0舍去），
所以p＝2．
（2）证明：由（1）抛物线C的方程为y2＝4x，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），不妨令y4＞y3，则P'（x3，﹣y3），
设直线L的方程为x＝ty+2，
联立消去x得y2﹣4ty﹣8＝0，
则y3+y4＝4t，y3y4＝﹣8，
则直线P'Q的方程为，
即（x4﹣x3）y+x4y3＝（y4+y3）x﹣y4x3，
则（ty4﹣ty3）y+（ty4+2）y3＝（y4+y3）x﹣y4（ty3+2），
即t（y4﹣y3）y＝（y4+y3）x﹣2ty4y3﹣2（y3+y4），
即，
所以，即，
令解得，所以直线P'Q恒过定点（﹣2，0）．
22．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x（e是自然对数的底数）．
（1）若x1，x2（0＜x1＜x2）是函数y＝f（x）的两个零点，证明：；
（2）当a＝2时，若对于∀k＞0，曲线C：y＝m﹣kx2与曲线y＝f（x）都有唯一的公共点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）证明：依题意，x1，x2（0＜x1＜x2）是函数y＝f（x）的两个零点，
设x2＝tx1，∵x2＞x1＞0，∴t＞1，
∵a，
∴lnx1，，
不等式⇔2tx1﹣x1⇔2t﹣1⇔2t﹣1，
∵t＞1，所证不等式即2tlnt﹣lnt﹣t+1＞0．
设h（t）＝2tlnt﹣lnt﹣t+1，∴2lnt1，令g（t）＝h'（t），
则g′（t）0，所以h'（t）在（1，+∞）上是增函数，且h'（t）＞h'（1）＝0，
∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，且h（t）＞h（1）＝0，
即2tlnt﹣lnt﹣t+1＞0，从而所证不等式成立．
（2）∵曲线C：y＝m﹣kx2与曲线y＝f（x）有唯一的公共点，
∴方程m﹣kx2＝2lnx﹣x有唯一解，即方程kx2+2lnx﹣x＝m有唯一解，
令g（x）＝kx2+2lnx﹣x，x＞0，∴，
当时，g'（x）≥0，函数y＝g（x）单调递增，
易知g（x）与y＝m有且只有一个交点，满足题意；
当时，2kx2﹣x+2＝0有两个根，且两根之和为，两根之积为，
∴两根一个大于4，一个小于4，此时函数g（x）先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使kx2+2lnx﹣x＝m有唯一实数根，
则m大于极大值或小于极小值．
记x3为极大值点，则x3＜4，则恒成立，
又，即，
则极大值，
∵，∴g'（x3）＞0，g（x3）在（0，4）上单调递增，g（x3）＜g（4）＝4ln2﹣3，则m≥4ln2﹣3；
记x4为极小值点，则x4＞4，则，又，
∴恒成立，令，又，
∴x4＞4时，，∴单调递减，无最小值，
∴不存在m，使得恒成立，
综上，要使对∀k＞0，曲线C：y＝m﹣kx2与曲线y＝f（x）都有唯一的公共点，m的取值范围为[4ln2﹣3，+∞）．
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