第7章一次方程组知识归纳（华东师大版七下）

第七章　二元一次方程组

一、基本概念

（一）二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程的定义：都含有    个未知数，并且         的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。

一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）

结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。

而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、=n等都不是二元一次方程。

2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如：、、、等都是二元一次方程组。

而、、等都不是二元一次方程组。

注意：（1）只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：、也是二元一次方程组。

3．二元一次方程和二元一次方程组的解

（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）

注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“”把方程中两个未知数的值连接起来写。

二元方程解的写法的标准形式是：，（其中a、b为常数）

（二）二元一次方程组的解法

1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。

2．二元一次方程组的基本解法

（1）代入消元法（代入法）

定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。

步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。

          ②把③代人另一个方程，得一元一次方程。

          ③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

          ④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

（2）加减消元法（加减法）

定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。

步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。

          ②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。

          ③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。

          ④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。

注意：正确选用两种基本解二元一次方程组

（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。

（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。

（三）二元一次方程组的应用

1．纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。

2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。

3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

注意事项：

    (1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。

    (2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。

    (3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。

二、练习

1．求二元一次方程3x+y＝10的正整数解。

分析：求二元一次方程的解的方法是用一个未知数表示另一个未知数，如y＝10-3x，给定x一个值，求出y的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题是对未知数x、y作了限制必须是正整数，也就是说对于给定的x可能是1、2、3、4…但是当x＝4时，y＝ 10-3×4=-2，y却不是正整数，因此x只能取正整数的一部分，即x= 1，x=2，x=3。

2．已知  x=1            2xn－m=5

         y=2  是方程组  mx－ny=5的解，求m和n的值。

  分析：因为，x=1，y＝2是方程组的解。

根据方程组解的定义和x=1，y＝2既满足方程①又满足方程②于是有：

    2n-2m=5    ③

    　　　m+2n＝3    ④

    解这个方程组即可。

3.A、B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A、月两地同时出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，求甲、乙两车的速度。

    分析：这里有两个未知数:甲、乙两车的速度；有两个相等关系：

    (1)同向而行：甲3小时的行程＝乙3小时行程十150千米

    (2)相向而行：甲1.5小时行程+乙1.5小时行程＝150千米

    解设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时。

    根据题意，得

    　 3x=3y+150

   　  1.5x+1.5y=150

    解这个方程组即可。

4.一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数。

    分析：怎样设未知数?直接设可以吗?

    这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，该怎样设未知数?

    由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x，则十位上数字为x+2，另设百位上数字为y.

    如何表示原三位数和新三位数?

    100y+10(x+2)+x，l00x+l0(x+2)+y

    2个等量关系是什么?

    (1)百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13

    (2)新三位数一原三位数=99

    根据题意，得

    x+(x+2)+y=13

    [100x+10(x+2)+y]-[100y+10(x+2)+x]=99

解这个方程组即可。

5．某旅行团从甲地到乙地游览。甲、乙两地相距100公里，团中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8公里，汽车时速是40公里，问要使大家在下午4:00同时到达乙地，必须在什么时候出发?

    分析：这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时?

    本题比较复杂，引导学生用线段图帮助分析。

               X公里

　     A　　　　　　D  y公里  B　　           C

       甲　　　　　上车点　下车点　　　　　　乙

(1)汽车从A→B→D所需的时间与先步行的一部分人从A到D所需的时间相等。

    (2)汽车从B→D→C所需的时间与后步行的一部分人从B到C所需要的时间相等。

    因此可设先坐车的一部人下车地点距甲地x公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y公里，如图所示。

由以上两个等量关系，得：

=       =

解方程组即可得到方程组的解。 

例2：方程组　　ax+by=62       的解应为  　x＝8

                mx-20y=-224　　　　　　　　y＝10

但是由于看错了系数m，而得到的解为，求a+b+m的值；