第8章一元一次方程知识归纳（华东师大版七下）

第8章　一元一次不等式

一、基本概念

（一）不等式的有关概念和性质

1．不等式的定义：用           表示不等关系的式子叫做不等式。

常见不等号：＞、＜、≥、≤、≠。

注：“>”、“<”不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)， “≠”表示左右两边不相等

例如：方程7y-3x＞4、-3a+3≤4-7a、2m+3n≠0等都是不等式。

而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。

2．不等式解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

例如：不等式120<5x中x＝25，26，27，…等都是120<5x的解，而x＝24，23，22，21则都不是不等式的解。

3．不等式的解集

（1）定义：一个不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，简称为这个不等式的解集。

（2）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

（3）在数轴上表示不等式的解集：

没有等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。“大于”向右画，“小于”向左画。

4．不等式的基本性质

不等式的基本性1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式子)，不等号的方向       。

即：如果a＞b，那么a+c＞b+c，a-c＞b-c；

    如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.

不等式的基本性2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个    ，不等号的方向不变。

即：如果a＜b，c>0，那么ac＜bc，a/c＜b/c

不等式的基本性3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的          。

即：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a/c＜b/c

（二）解一元一次不等式

1．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不等式。

例如：方程7-3x＞4、6x≤-2x-6、3x≠-2x+150都是一元一次不等式。

而这些方程5x2－3x+1≥0、2x+y＜l－3y、≠5就不是一元一次不等式。

2．一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤

步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。

注意：（1）不等式中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。

（2）“去分母”指去掉不等式两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）。

不等式的解法与解一元一次方程类似，完全可以把解一元一次方程的思想照搬过来。

（三）一元一次不等式组

1．一元一次不等式组的定义：几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组

与二元一次方程组不同的是，这里的“几个”可以两个，也可以三个，或更多个。

2．一元一次不等式组的解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

3．一元一次不等式组的解集的确定规律

同“大”取大，同“小”取小，“大”小“小”大中间找，“大”大“小”小无解了

4．一元一次不等式组的解法

求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

一般步骤：

（1）分别解不等式组中的每个不等式；

（2）把每个不等式组的解集在数轴上表示出来；

（3）找出各个不等式解集的公共部分；

（4）再结合不等式组解集的确定规律，写出不等式组的解集。

（四）一元一次不等式（组）的应用

1．纯数学上的应用：（1）一元一次不等式定义的应用；（2）不等式解集的概念的应用；（3）代数中的应用；

2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）决策问题等。

3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。

二、练习

（一）选择题：

1.若a>b则（   ）2、D

   A、a－2<b－2       B、2a<2b       C、      D、a+5>b+5

2.不等式x>－3的解集是（   ）3、A

   A、x>－6           B、x>       C、x<         D、x<－6

3.下列结论中，正确的是（    ）4、A

   A、x<0的解集是x<0         B、的解集是x<

   C、3x<－5的解集是x>      D、的解集是x≥0

4.若代数式3x+4的值不大于0，则x的取值范围是（   ）6、B

   A、      B、       C、       D、

5.不等组             的整数解是（   ）7、C

   A、－4          B、2、3、4      C、3、4        D、4

6.如果不等式（a－1）x>（a－1）的解集是x<1，那么a的取值范围是（    ）9、C

   A、a≤1　　     B、a>1           C、a<1         D、a<0

（二）填空题：

1.用不等表示：x的3倍大于5        11、3x>5        。

2.不等式2x－1>0的解集是        12、x>1/2          ； 不等式－2x<10的解集是        x>-5           。

3.x－1<2的正整数解是     13、1, 2           。

4.在－2（x+2）<2的两边都除以    14、-2       时，x+1>－1的依据是    不等性质3           。

5.由x<y得到，ax>ay，a应满足的条件是      15、a<0             。

（三）解答题

1.解不等式并把它的解集在数轴上表示出来   5x－1>8x+3.

1.解：  5x－1>8x+3.  5x-8x>1+3   -3x>4   x<-4/3

2.已知y=5－3x  试求：当x取何值时，y＞o。

2.解：y>0，即 5-3x>0  -3x>-5    x<5/3

3.解不等式  

3.解：2(x-1)-3(x+4)>-12   2x-2-3x-12>-12    -x>2    x<-2

4.   5x+4<3(x+1)

4. 解：不等式①  5x+4<3x+3   2x<-1          x<

不等式②  5x+5≥x-2    4x≥-7         x≥

∴不等式组的解集为：≤x<（数轴略）

5.      x+2>0

x－3>0

x－6≤0

5 解：不等式①  x>-2  

不等式②  x>3 

不等式③  x≤6

所以不等式组的解集为3<x≤6

（五）应用题

1.如果关于的不等式正整数解为1,2,3,正整数应取怎样的值?

2.某旅游团有48人到某宾馆住宿,若全安排住宾馆的底层,每间住4人,房间不够;每间住5人,有一个房间没有住满5人.问该宾馆底层有客房多少间?

2.设该宾馆有x间宿舍；则x取10或11.