数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法当堂检测题

这是一份数学选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法当堂检测题，共6页。试卷主要包含了用数学归纳法证明×…×等内容，欢迎下载使用。
4.4*　数学归纳法课后·训练提升基础巩固1.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式(　　)A.1+<2 B.1+<2C.1+<3 D.1+<3答案:B解析:∵n∈N*,n>1,∴n取的第一个自然数为2,左端分母最大的项为,故选B.2.已知f(n)=1++…+(n∈N*),计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推算,当n≥2时,有(　　)A.f(2n)>(n∈N*)B.f(2n)>(n∈N*)C.f(2n)>(n∈N*)D.f(2n)>(n∈N*)答案:D解析:f(4)>2改写成f(22)>;f(8)>改写成f(23)>;f(16)>3改写成f(24)>;f(32)>改写成f(25)>,由此可归纳得出,当n≥2时,f(2n)>(n∈N*).3.若凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为(　　)A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2答案:C解析:增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选C.4.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么下列命题总成立的是(　　)A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立答案:D解析:对于选项D,∵f(4)=25≥42,∴当k≥4时,均有f(k)≥k2.5.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)的过程中,从n=k到n=k+1左端需要增乘的代数式为(　　)A.2k+1 B. C.2(2k+1) D.答案:C解析:当n=k时,等式左端为(k+1)(k+2)…(k+k),当n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)…[(k+1)+(k-1)]·[(k+1)+k]·(2k+2)=(k+1)(k+2)·…·(k+k)·(2k+1)·2,故应增乘2(2k+1).6.用数学归纳法证明+…+<1(n∈N*,n≥2),由n=k到n=k+1,不等式左端的变化是(　　)A.增加一项B.增加两项C.增加两项,同时减少一项D.增加一项,同时减少一项答案:C解析:当n=k时,左端=+…+,那么当n=k+1时,左端=+…+,故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加两项,同时减少一项.7.用数学归纳法证明“1++…+<n(n∈N*,n>1)”,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数为(　　)A.k B.2k C.2k-1 D.2k-1答案:B解析:用数学归纳法证明“1++…+<n(n∈N*,n>1)”,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,不等式左边的项为1++…++…+,增加了2k项.8.用数学归纳法证明×…×(n≥2,n∈N*).证明:(1)当n=2时,左边=1-,右边=,左边=右边,即当n=2时,等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即×…×,那么当n=k+1时,×…×=,即当n=k+1时,等式成立.综合(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式恒成立.9.已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,an+1=1+(n∈N*).用数学归纳法证明:an<an+1(n∈N*).证明:(1)当n=1时,a2=1+,a1<a2,故当n=1时,不等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时,ak<ak+1成立,则当n=k+1时,ak+2-ak+1=1+-ak+1=1+>0,故当n=k+1时,不等式成立.综上所述,不等式an<an+1(n∈N*)成立.10.已知数列{an}满足Sn=2n-an.(1)计算a1,a2,a3,并猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.(1)解:当n=1时,a1=S1=2-a1,即a1=1;当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,即a2=;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,即a3=.由此猜想数列{an}的通项公式为an=.(2)证明:①当n=1时,a1=1,猜想成立,②假设n=k(k≥1,且k∈N*)时,猜想成立,即ak=,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,即2ak+1=2+ak,即ak+1=,即当n=k+1时,猜想成立.由①②可知,猜想对于任何n∈N*都成立,即an=.能力提升1.(多选题)用数学归纳法证明不等式+…+的过程中,下列说法正确的是(　　)A.使不等式成立的第一个自然数n0=1B.使不等式成立的第一个自然数n0=2C.当由n=k(k≥n0,k∈N*)推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是D.当由n=k(k≥n0,k∈N*)推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是答案:BC解析:当n=1时,不成立,当n=2时,成立,所以A错误,B正确;当n=k(k≥n0,k∈N*)时,左边的代数式为+…+,当n=k+1时,左边的代数式为+…+,故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式,得,为不等式的左边增加的项,故C正确,D错误.故选BC.2.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)加上(　　)A.2π B.π C. D.答案:B解析:将k+1边形A1A2…AkAk+1的顶点A1与Ak相连,则原多边形被分割为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk+1,其内角和f(k+1)是k边形的内角和f(k)与△A1AkAk+1的内角和π的和,故选B.3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(　　)A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3答案:A解析:因为从n=k到n=k+1,增加了(k+3)3,减少了k3,所以利用归纳假设,只需将(k+3)3展开,证明余下的项9k2+27k+27能被9整除即可.4.观察下列等式,照此规律,第n个等式为　　　　　　　　　　　　　. 1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2将原等式变形如下:1=1=122+3+4=9=323+4+5+6+7=25=524+5+6+7+8+9+10=49=72……第n个等式的左边有2n-1项,第一个数是n,是2n-1个连续整数的和,则最后一个数为n+(2n-1)-1=3n-2,右边是左边项数2n-1的平方,故有n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明“1-+…+=2”时,第一步的验证为　　　　　　　　　　　　　　;若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证n=　　　　　时等式成立. 答案:当n=2时,左边=1-,右边=2×,等式成立　k+2解析:因为n为正偶数,所以第一步需验证n=2时,等式成立,当n=2时,左边=1-,右边=2×,等式成立;假设当n=k(k≥2,且k为偶数)时,1-+…+=2成立,由于是所有正偶数,则下一个数为n=k+2时,等式成立.6.试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.解:当n=1时,21+2=4>n2=1,当n=2时,22+2=6>n2=4,当n=3时,23+2=10>n2=9,当n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想2n+2>n2(n∈N*).下面用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,左边>右边,即原不等式成立.当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,即左边>右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,即左边>右边.(2)假设n=k(k≥3,且k∈N*)时,不等式成立,即2k+2>k2.那么当n=k+1时,2k+1+2=2×2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.因为2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即2k2-2≥(k+1)2,所以2k+1+2>(k+1)2成立.根据(1)和(2)可知,猜想对于任何n∈N*都成立.7.已知数列{an}的前n项和Sn=1-nan(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.解:(1)a1=S1=1-1×a1,得a1=;a1+a2=S2=1-2×a2,得a2=;a1+a2+a3=S3=1-3×a3,得a3=;a1+a2+a3+a4=S4=1-4×a4,得a4=.(2)猜想an=(n∈N*).下面用数学归纳法证明这个猜想.①当n=1时,a1=,猜想成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即ak=.当n=k+1时,Sk+1=1-(k+1)ak+1,即Sk+ak+1=1-(k+1)ak+1.又Sk=1-kak=,所以+ak+1=1-(k+1)ak+1,从而ak+1=,即n=k+1时,猜想也成立.故由①和②可知,对于任何n∈N*猜想都成立.8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+-2(n∈N*).(1)求S1,S2,S3,S4的值;(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.解:(1)∵a1=S1=S1+-2,∴S1=.∵a2=S2-S1=S2+-2,∴S2=,同理S3=,S4=.(2)猜想Sn=(n∈N*).下面用数学归纳法证明这个猜想.①当n=1时,S1=,猜想成立.②假设n=k(k∈N*,k≥1)时,猜想成立,即Sk=.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+-2,得=2-Sk,即Sk+1=,即当n=k+1时,猜想成立.由①②知,猜想对任何n∈N*都成立.