人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理巩固练习

6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

课后·训练提升

基础巩固

1.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是(　　)

A.(2x+2)5 B.2x5

C.(2x-1)5 D.32x5

答案:D

解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.

2.在的展开式中,x2的系数为(　　)

A.- B. 

C.- D.

答案:C

解析:的通项为Tk+1==(-1)k22k-6x3-k,

令3-k=2,则k=1,因此x2的系数为(-1)1×2-4×=-,故选C.

3.的展开式中常数项为(　　)

A.5 B.10 

C.-20 D.40

答案:D

解析:由题意知Tk+1=)5-k=(-2)k,

令=0,得k=2,因此T3=(-2)2=40.

4.已知的展开式的第4项等于5,则x等于(　　)

A. B.- 

C.7 D.-7

答案:B

解析:T4=x4=5,解得x=-.

5.(多选题)关于多项式的展开式,下列结论正确的是(　　)

A.各项系数之和为1

B.各项系数的绝对值之和为212

C.存在常数项

D.x3的系数为40

答案:BCD

解析:对于A,在中,令x=1,可得展开式中各项系数之和为26,所以A不正确;

对于B,的展开式中各项系数的绝对值之和与的展开式中各项系数之和相等,在中,令x=1可得展开式中各项系数之和为212,故B正确;

对于C,展开式,其含义是6个相乘,在6个相同因式中,每个因式可取1,,-x三者其一乘到一起,所有情况相加再进行合并,于是6个因式中1,,-x各取两个时便得到常数项,故C正确;

对于D,同C选项的分析可得含x3的系数为[×(-1)3]×(×13)+(×21)×[×(-1)4]=40,故D正确.故选BCD.

6.已知的展开式中,常数项为15,则n的值为(　　)

A.3 B.4 

C.5 D.6

答案:D

解析:展开式的通项为Tk+1=(x2)n-k·(-1)k·=(-1)kx2n-3k.令2n-3k=0,得n=k(n,k∈N*).若k=2,则n=3不符合题意;若k=4,则n=6,此时(-1)4·=15,所以n=6.

7.(1-i)10(i为虚数单位)的展开式中第7项为　　　　　. 

答案:-210

解析:由通项公式得T7=·(-i)6=-=-210.

8.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展开式中x3的系数为　　　　　. 

答案:330

解析:x3的系数为+…++…+=330.

9.若(1+x)10=ai(1-x)i,则a9=　　　　　. 

答案:-20

10.化简:S=1-2+4-8+…+(-2)n(n∈N*).

解将S的表达式改写为S=+(-2)+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n=[1+(-2)]n=(-1)n.

因此S=(-1)n=

11.已知的展开式中,第3项与第5项的二项式系数之比为2∶5.

(1)求n的值;

(2)求(2x+1)的展开式中含x2项的系数.

解(1)因为的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为,

又第3项与第5项的二项式系数之比为2∶5,所以,

即,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故n的值为8.

(2)因为展开式的通项为Tk+1=)8-k,

当=1时,解得k=2;当=2时,解得k=(舍).

所以(2x+1)的展开式中含x2项的系数为2×=14.

能力提升

1.在的展开式中,x的幂指数是整数的项共有(　　)

A.3项 B.4项 

C.5项 D.6项

答案:C

解析:Tk+1=,又k≤24,且k∈N,故当k=0,6,12,18,24时,x的幂指数为整数,因此x的幂指数是整数的共有5项.

2.在的展开式中,若前三项的系数成等差数列,则展开式中有理项的项数为(　　)

A.5 B.4 

C.3 D.2

答案:C

解析:二项展开式的前三项的系数分别为1,,由其成等差数列,可得2=1+,整理得n=1+,解得n=8(n=1舍去),故展开式的通项Tk+1=.若为有理项,则有4-∈Z,k可取0,4,8,故展开式中有理项的项数为3.

3.若的展开式中含有常数项,则正整数n取得最小值时常数项为(　　)

A.- B.-135 

C. D.135

答案:C

解析:∵Tk+1=(3x2)n-k··(x-3)k=·3n-k··x2n-5k,∴2n-5k=0,

又n∈N*,k≥0,∴当n=5,k=2时满足题意,此时常数项为·33·.故选C.

4.(3x+2y+z)5展开式中xy3z项的系数为(　　)

A.120 B.240 C.360 D.480

答案:D

解析:(3x+2y+z)5表示5个因式(3x+2y+z)的乘积,故它的展开式中,含xy3z的项是由其中一个因式取3x,其中三个因式取2y,剩下的一个因式取z得到的,故xy3z的系数为·3··23·=480.故选D.

5.(多选题)对于(n∈N*),有以下四种判断,其中判断正确的有(　　)

A.存在n∈N*,展开式中有常数项

B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项

D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项

答案:AD

解析:的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.故选AD.

6.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　　. 

答案:-2

解析:Tk+1=·(ax2)5-k·a5-k.

令10-k=5,解得k=2.

又展开式中x5的系数为-80,则有·a3=-80,解得a=-2.

7.设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=　　　　　. 

答案:3

解析:由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4),即a0=1,a1=3,a2=4.

由的展开式的通项知Tk+1=(k=0,1,2,…,n).故=3,=4,解得a=3.

经检验,a=3符合题意.

8.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.

解f(x)=(1+x)m+(1+x)n=1+x+x2+…+xm+1+x+x2+…+xn.

由题设知m+n=19,又m,n∈N*,所以1≤m≤18.

x2的系数为(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+171.

所以当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,

此时x7的系数为=156.

9.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.

(1)求展开式中的所有有理项;

(2)求n+9+81+…+9n-1的值.

解(1)由第5项的系数与第3项的系数分别是·(-2)4,·(-2)2,又两者之比是56∶3,整理得n2-5n-50=0,解得n=10,n=-5(舍去).

因为通项为Tk+1=·(-2)k·,当5-为整数,k可取0,6,于是有理项为T1=x5和T7=13440.

(2)n+9+81+…+9n-1

=10+9+92·+…+910-1·

=

=

=.

10.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).

(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.

(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中含x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?

解(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3·(1+2x)4.

(1+x)3展开式的通项为xr,

(1+2x)4展开式的通项为(2x)r,

f(x)g(x)的展开式含x2的项为1×(2x)2+x×(2x)+x2×1=51x2.

(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.

因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12,

所以+2=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.

x2的系数为+4+4(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4,n∈N*,所以当n=3,m=6时,含x2的项的系数取得最小值.