广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理过关检测B卷新人教版选择性必修第三册

第六章过关检测(B卷)

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.=(　　)

A. B. 

C. D.

答案:D

解析:.故选D.

2.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有(　　)

A.24个 B.30个 

C.40个 D.60个

答案:A

解析:将符合条件的偶数分为两类:第1类,2作个位数,共有个;第2类,4作个位数,有个.

因此,根据分类加法计数原理,符合条件的偶数共有=24个.

3.如图所示,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为(　　)

A.320 B.160 C.96 D.60

答案:A

解析:根据分步乘法计数原理,区域①有5种颜色可供选择,区域③有4种颜色可供选择,区域②和区域④只要不选择区域③的颜色即可,故有4种颜色可供选择,因此不同涂色方法有5×4×4×4=320种.

4.关于(a-b)10的说法错误的是(　　)

A.展开式中的二项式系数之和为1 024

B.展开式中第6项的二项式系数最大

C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最小

答案:C

解析:由二项式系数的性质知,二项式系数之和为210=1024,故A正确;当n为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B正确,C错误;D正确,因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大,所以是系数中最小的.

5.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有(　　)

A.1 440种 B.960种 

C.720种 D.480种

答案:B

解析:先将5名志愿者排好,有种排法,2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中,先将2位老人排好,有种排法,再把它作为一个元素插入空隙中,有4种插法.

因此不同排法共有4=960种.

6.在的展开式中,若常数项为21,则a=(　　)

A. B.2 

C.3 D.4

答案:C

解析:展开式的通项为Tk+1=·(ax3)7-k·=(-1)k·a7-k·,

令21-=0,∴k=6,

∴常数项为(-1)6·a1·=7a=21,

∴a=3.

故选C.

7.若的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(　　)

A.-40 B.-20 C.20 D.40

答案:D

解析:由题意,令x=1得展开式各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2,解得a=1.

因为展开式的通项为Tk+1=(-1)k×25-k×x5-2k,

所以展开式中的常数项为x××(-1)3×22×x-1+×(-1)2×23×x=-40+80=40,故选D.

8.若自然数n使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“可连数”.例如:32是“可连数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因为23+24+25产生进位现象.那么,小于1 000的“可连数”的个数为(　　)

A.27 B.36 C.39 D.48

答案:D

解析:根据题意,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取;十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.

当“可连数”为一位数时,有=3个;

当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有=9个;

当“可连数”为三位数时,有=36个.

故共有3+9+36=48个.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排照相,下列说法正确的是(　　)

A.如果甲、乙必须相邻,那么不同的排法有24种

B.甲不站在排头,乙不站在正中间,则不同的排法共有78种

C.甲、乙不相邻且乙在甲的右边,则不同的排法共有36种

D.若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,但不能改变原来五人的相对顺序,则不同的排法共有42种

答案:BCD

解析:根据题意,依次分析选项:

对于选项A,将甲、乙看成一个整体,与丙、丁、戊全排列,有=48种不同的排法,选项A错误;

对于选项B,若甲站在正中间,乙有4种站法,剩下3人全排列,有4×=24种排法,若甲不站在正中间,甲有3种站法,乙有3种站法,剩下3人全排列,有3×3×=54种排法,则有24+54=78种不同的站法,选项B正确;

对于选项C,将丙、丁、戊三人排成一排,再将甲、乙安排在三人的空位中,有=72种排法,其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同,则有×72=36种不同的排法,选项C正确;

对于选项D,若五人已站好,后来情况有变,需加上2人,第一个人有6种插法,第二个人有7种插法,则有6×7=42种不同的安排方法,选项D正确.故选BCD.

10.已知的展开式中二项式系数之和为64,则下列结论正确的是(　　)

A.展开式中无常数项 

B.展开式中倒数第5项为90x3

C.展开式中各项系数之和为36 

D.展开式中二项式系数最大的项为160

答案:CD

解析:由2n=64,得n=6,故其通项Tk+1=·26-k·,当k=4时,6-×4=0,展开式中第5项为常数项,故A错误;

由n=6,知展开式共7项,倒数第5项即第3项,T3=·24·x3=240x3,故B错误;

令x=1,可得展开式中各项系数之和为36,故C正确;

依题意,展开式中二项式系数最大的项为第4项,T4=·23·=160,故D正确.

综上所述,结论正确的是CD.

故选CD.

11.若(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021(x∈R),则(　　)

A.a0=1 

B.a1+a3+a5+…+a2 021=

C.a0+a2+a4+…+a2 020= 

D.+…+=-1

答案:ACD

解析:当x=0时,a0=1,A正确;

当x=1时,a0+a1+a2+a3+…+a2021=-1,①

当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…-a2021=32021,②

由①+②,可得a0+a2+…+a2020=,C正确;

由①-②,可得a1+a3+…+a2021=,B错误;

令x=,可得a0++…+=0,则+…+=-1,D正确.

故选ACD.

12.定义有n行的“杨辉三角”为n阶“杨辉三角”,一个8阶“杨辉三角”如图所示.

给出的下列说法中正确的是(　　)

A.记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为aij,则数列{aij}的通项公式为aij=

B.第k行各个数的和是2k

C.n阶“杨辉三角”中共有个数

D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是2n-1

答案:BCD

解析:第i行各个数是(a+b)i的展开式的二项式系数,则数列{aij}的通项公式为aij=,故A错误;

各行的所有数的和是各二项式系数和,第k行各个数的和是2k,故B正确;

第k行共有(k+1)个数,从而n阶“杨辉三角”共有1+2+…+n=个数,故C正确;

“杨辉三角”的所有数的和是1+2+22+…+2n-1=2n-1,故D正确,

故答案:为BCD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上.

13.的值为　　　　　. 

答案:4

解析:原式==22=4.

14.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图,为一重卦.若某重卦中恰有3个阴爻,则该重卦可以有　　　　　种. 

答案:20

解析:根据题意,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,假设有6个位置,在其中任选3个,安排3个“阴爻”,有=20种情况,即该重卦可以有20种情况.故答案为20.

15.因垃圾分类工作需要,M,N两个社区需要招募义务宣传员,现有A,B,C,D,E,F六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加,现将他们分成两个小组,分别派往M,N两个社区开展垃圾分类宣传工作,要求每个社区都至少安排1位党员教师及3位大学生,且B由于工作原因只能派往M社区,则不同的选派方案种数为　　　　　. 

答案:60

解析:由题意,分两步进行分析:

第1步,将甲、乙、丙三位党员教师分成2组,分配到M,N两个社区,有=6种情况;

第2步,B由于工作原因只能派往M社区,在剩余5人中选出2人,与B一起安排在M社区,剩下的3人安排到N社区,有=10种情况.

根据分步乘法计数原理,共有6×10=60种选派方案.

16.化简:·32n+·32n-2+·32n-4+…+·32=　　　　　. 

答案:10n-1

解析:(32+1)n=·(32)n-0·10+·(32)n-1·11+…+·(32)1·1n-1+·(32)0·1n,

则·32n+·32n-2+·32n-4+…+·32+1=(32+1)n=10n,

所以·32n+·32n-2+·32n-4+…+·32=10n-1.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n∈N*.

(1)若λ=-1,n=8,求a0及a1+a2+…+a7+a8的值;

(2)若λ=2,n=7,求最大的系数.

解(1)若λ=-1,n=8,则(1-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.令x=0,则a0=1,

令x=1,则a0+a1+a2+…+a8=0,

故a1+a2+…+a8=-1.

(2)若λ=2,n=7,则(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,其展开式的通项为Tk+1=2kxk,

由不等式

解得且k∈N,

故k=5,最大的系数为a5=25=672.

18.(12分)一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目,要求排出一个节目单.

(1)2个相声节目要排在一起,有多少种排法?

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目,有多少种排法?

(3)前3个节目中要有相声节目,有多少种排法?

解:(1)把2个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有=48种.

(2)选2个唱歌节目排在首尾,剩下的3个节目在中间的排法共有=36种.

(3)5个节目全排列减去后两个都是相声的排法,共有=120-12=108种.

19.(12分)从7名男生和5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法数.

(1)A,B必须被选出;

(2)至少有2名女生被选出;

(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5个不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.

解(1)除A,B被选出外,从其他10个人中再选3人,共有选法数为=120.

(2)按女生的选取情况分四类:第1类,选2名女生3名男生;第2类,选3名女生2名男生;第3类,选4名女生1名男生;第4类,选5名女生.根据分类加法计数原理,所有选法数为=596.

(3)先选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文娱委员,剩下的从10人中任选3人担任其他3个职务.

由分步乘法计数原理可得到所有选法数为=25200.

20.(12分)给出下列条件:

①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7∶2;

②所有偶数项的二项式系数的和为256;

③若展开式前三项的二项式系数的和等于46.

试在上面三个条件中选择一个补充在下面的横线上,并回答问题:

在的展开式中,　　　　　. 

(1)求展开式的常数项;

(2)求(1-2x)n展开式中系数绝对值最大的项.

(备注:如果多个条件分别解答,按第一个条件计分)

解:选择①:=7∶2,

解得n=9或n=-4(舍去).

选择②:+…=256,

即2n-1=256,解得n=9.

选择③:=46,

即+n+1=46,

即n2+n-90=0,

即(n+10)(n-9)=0,

解得n=9或n=-10(舍去).

(1)展开式通项为Tk+1=)9-k··(-2)k,

令=0,解得k=3,因此展开式中常数项为第4项,常数项为T4=×(-2)3=-672.

(2)设第(k+1)项的系数绝对值最大,

则满足

解得≤k≤,

又k为整数,所以k=6,

则系数的绝对值最大项为T7=×(-2x)6=5376x6.

21.(12分)已知的展开式中各项的系数之和为1 024.

(1)求各奇数项系数之和;

(2)求(2x+y)2的展开式中不含y的各项系数之和.

解(1)∵的展开式中各项的系数之和为4n=1024,

∴n=5,

则(3x)5(3x)4(3x)3(3x)2(3x)(3x)0.

∴各奇数项系数之和为·35+·33+·3=528.

(2)由(1)知(2x+y)2

=(2x+y)2

=(4x2+4xy+y2),

的展开式的通项为Tk+1=(3x)5-k·=35-kx5-ky-k,

则(2x+y)2的展开式中不含y的项为:

当k=0时,4×35××x7=972x7;

当k=1时,4×34××x5=1620x5;

当k=2时,33××x3=270x3,

则各项系数之和为972+1620+270=2862.

22.(12分)若某一等差数列{an}的首项为,公差d为m展开式中的常数项,其中m是7777-15除以19的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值.

解:由已知得

解得≤n≤.

因为n∈N,所以n=2.

所以=100,

所以首项a1=100.

因为7777-15=(76+1)77-15=7677+·7676+…+·76+1-15=76M-14(M∈N*),

所以7777-15除以19的余数是5,即m=5.

5的展开式的通项Tk+1==(-1)k

(k=0,1,2,3,4,5),若它为常数项,则k-5=0,

所以k=3,

所以T4=-4=d.

从而等差数列的通项公式是an=104-4n.

设其前r项之和最大,

则

解得r=25或r=26.

故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大,即S25=S26=1300.