广西专版2023_2024学年新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.1.2全概率公式训练提升新人教版选择性必修第三册

7.1.2　全概率公式

课后·训练提升

1.8支步枪中有5支已经校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8,用未校准的步枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支中任取一支射击,结果中靶,则所选用的枪是校准过的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:B

解析:设A=“射击时中靶”,B1=“使用的枪校准过”,B2=“使用的枪未校准”.

由题意得P(A)=P(AB1)+P(AB2)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=0.8×+0.3×,

所以P(B1|A)=.

2.设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,现有放回地摸球3次,每次摸1球,则第3次才摸得白球的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:C

解析:设A=“第1次未摸得白球”,B=“第2次未摸得白球”,C=“第3次摸得白球”,则事件“第3次才摸得白球”可表示为ABC.

P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=,

P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=.

3.已知P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(B|)=0.3,则P(B|A)的值为　　　　　. 

答案:0.8

解析:由P(A)=0.4,得P()=0.6.

由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),得0.5=0.4×P(B|A)+0.6×0.3,解得P(B|A)=0.8.

4.一个盒子中有6个白球,4个黑球,不放回地每次任取1个,连取2次,求第2次取到白球的概率为　　　　　. 

答案:0.6

解析:设A=“第1次取到白球”,B=“第2次取到白球”,则B=AB∪B,且AB与B互斥,所以P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)==0.6.

5.某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一名进行民意调查的同学恰好是女生的概率.

解如果用A与分别表示居民遇到的一名同学是甲班与乙班的,B表示是女生.

则根据已知,有P(A)=,P()=,

而且P(B|A)=,P(B|)=,

由全概率公式可知P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=.

6.关于两类投保人的问题.如果易出事故的人在一年内出事故的概率为0.4,不易出事故的人一年内出事故的概率为0.2,且第一类人占总人口的比例是30%,那么随机抽取一名投保人,他会在一年内出事故的概率是多少?另外,假设他在一年内出了事故,则他属于易出事故的人的概率为多少?

解:设事件A为“他属于易出事故的人”,A1为“他在一年内出事故”,由题意得P(A)=0.3,P()=0.7,P(A1|A)=0.4,P(A1|)=0.2.

问题一:由全概率公式,得P(A1)=P(A)P(A1|A)+P()P(A1|)=0.3×0.4+0.7×0.2=0.26.

问题二:由贝叶斯公式,得P(A|A1)=.

能力提升

1.(多选题)下列式子正确的是(　　)

A.P(A)=P(BA)+P(B)

B.P(B)=P(BA)+P(B)

C.P(A)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)

D.P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)

答案:BD

解析:由互斥事件概率的加法公式可知选项B正确,由全概率公式可知选项D正确.

2.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　　. 

答案:

解析:设事件A为“一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥,

又P(A)=,P(AB)=,P(AC)=,

故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=.

3.有大小、质地相同的球分别装在3个盒子中,每盒10个.其中,第1个盒子中有7个球标有字母A,3个标有字母B;第2个盒子中有红球和白球各5个;第3个盒子中有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第1个盒子中任取一球,若取出标有字母A的球,则在第2个盒子中任取一球;若取得标有字母B的球,则在第3个盒子中任取一球.如果第2次取出的是红球,那么称试验成功.求试验成功的概率.

解设事件A=“从第1个盒子中取出标有字母A的球”,则=“从第1个盒子中取出标有字母B的球”,B=“第2次取出的是红球”.

由题意得P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=.

由全概率公式,得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.59.

4.已知某人从外地赶来参加紧急会议.他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是.若他乘飞机来,则不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为.如果此人迟到,请推断他乘哪种交通工具来的可能性最大?

解:设事件A1=“乘火车来”,A2=“乘轮船来”,A3=“乘汽车来”,A4=“乘飞机来”,B=“迟到”.

由题意得P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,P(B|A4)=0.

由贝叶斯公式P(A1|B)=,得到P(A1|B)=.

类似地,可得P(A2|B)=,P(A3|B)=,P(A4|B)=0.

由上述计算结果可以推断此人迟到,乘火车来的可能性最大.

5.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.

(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率.

(2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.

解:(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为=28,

这2个产品都是次品的事件数为=3.

故这2个产品都是次品的概率为.

(2)设事件A=“从乙箱中取一个正品”,事件B1=“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2=“从甲箱中取出1个正品1个次品”,事件B3=“从甲箱中取出2个产品都是次品”,

则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.

P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,

因此P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

=.