数学选择性必修 第一册2.4 圆的方程课时练习

2.2.1　直线的点斜式方程

课后·训练提升

基础巩固

1.过点(4,-2),倾斜角为150°的直线的点斜式方程为(　　)

A.y-2=-(x+4)  B.y-(-2)=-(x-4)

C.y-(-2)=(x-4)  D.y-2=(x+4)

答案:B

解析:由题意知所求方程的斜率k=tan150°=-,且过点(4,-2),

故直线的点斜式方程为y-(-2)=-(x-4).

2.直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为(　　)

A.a+b B.2a-b 

C.b-2a D.|2a-b|

答案:C

3.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为(　　)

A.y=x+4 B.y=2x+4

C.y=-2x+4 D.y=-x+4

答案:D

解析:由题意可设所求直线的方程为y=kx+4,又由题意可知k=-,故所求直线的斜截式方程为y=-x+4.

4.先将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线方程为(　　)

A.y=-x+ B.y=-x+1

C.y=3x-3 D.y=x+1

答案:A

解析:将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,得到直线y=-x,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为y=-(x-1),即y=-x+.

5.(多选题)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是(　　)

A.直线l的倾斜角是

B.图象经过第一、第二、第三象限

C.过(2,2)与直线l平行的直线方程是x-y-4=0

D.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m

答案:BC

解析:直线方程可化为y=x+1,因此直线斜率为,倾斜角为,又纵截距是1,因此直线过第一、第二、第三象限,故A错误,B正确;又直线x-y-4=0与直线l平行,且×2-2-4=0,即过点(2,2),故C正确;由×1+(-1)×(-)=2≠0,因此直线m与l不垂直,故D错误.故选BC.

6.若直线y=-ax-与直线y=3x-2垂直,则a的值为　　　　　. 

答案:

解析:∵两条直线垂直,∴-×3=-1,解得a=.

7.若直线y=k(x-2)+3必过一定点,则该定点的坐标为　　　　　. 

答案:(2,3)

解析:将直线方程化为点斜式得y-3=k(x-2),即过定点(2,3).

8.已知直线l:y=-ax-2a.若直线l的倾斜角为120°,则实数a的值为　　　　　;若直线l在y轴上的截距为2,则实数a的值为　　　　　. 

答案:　-1

解析:∵直线l的倾斜角为120°,

∴l的斜率k=tan120°=-,即-a=-,解得a=;

∵直线l在y轴上的截距为2,

∴-2a=2,解得a=-1.

9.已知直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程.

解:当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经检验符合题目的要求.

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2.

令y=0,得x=.

由三角形的面积为2,得×2=2.

解得k=.

可得直线l的方程为y-2=(x-2),

综上可知,直线l的方程为x=2或y-2=(x-2).

能力提升

1.已知k∈R,“直线l的方程是kx-y+1+2k=0”是“点(-2,1)在直线l上”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A

解析:直线l的方程kx-y+1+2k=0可化为y=k(x+2)+1,故直线过定点(-2,1).若点(-2,1)在直线l上,取直线l:x=-2,该直线的斜率不存在,所以该直线的方程不能写成kx-y+1+2k=0,故选A.

2.若原点O在直线l上的射影是P(-2,1),则直线l的斜截式方程为(　　)

A.x+2y=0 B.y-1=-2(x+2)

C.y=2x+5 D.y=2x+3

答案:C

解析:∵直线OP的斜率为-,又OP⊥l,∴直线l的斜率为2,∴直线l的点斜式方程为y-1=2[x-(-2)],化简得直线l的斜截式方程为y=2x+5,故选C.

3.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的位置可能是(　　)

答案:D

解析:对于A,由l1得a>0,b<0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于B,由l1得a<0,b>0,而由l2得a>0,b>0,矛盾;对于C,由l1得a>0,b<0,而由l2得a<0,b>0,矛盾;对于D,由l1得a>0,b>0,由l2得a>0,b>0,符合题意.故选D.

4.(多选题)已知直线l过点P(3,2),且与直线l1:x+3y-9=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则(　　)

A.直线l的方程为x-3y+3=0

B.直线l与直线l1的倾斜角互补

C.直线l在y轴上的截距为1

D.这样的直线l有两条

答案:ABC

解析:因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以直线l与l1的倾斜角互补,故B正确;因为直线l1的斜率为-,所以直线l的斜率为,可得直线l的方程为y-2=(x-3),即x-3y+3=0,故A正确;令x=0,得y=1,所以直线l在y轴上的截距为1,故C正确;过点P(3,2)且斜率为的直线只有一条,故D错误.故选ABC.

5.已知点A(3,3)和直线l:y-1=,则过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程为　　　　　　　　. 

答案:y-3=-(x-3)

解析:因为直线l:y-1=,所以直线l的斜率k=,因此过点A(3,3)且与直线l垂直的直线的点斜式方程为y-3=-(x-3).

6.斜率为,且与两坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线的斜截式方程是　　　　　　　　　　. 

答案:y=x±3

解析:设所求直线的斜截式方程为y=x+b,令y=0,得x=-,

由题意得|b|+=12,

即|b|+|b|+|b|=12,

∴4|b|=12,∴b=±3,

∴所求直线的斜截式方程为y=x±3.

7.已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的斜截式方程.

解:由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,

又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2.

由题意知l2在y轴上的截距为-2.

所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.

8.(1)已知直线l过点(1,0),且与直线y=(x-1)的夹角为30°,求直线l的方程.

(2)已知在△ABC中,A(1,-4),B(2,6),C(-2,0),AD⊥BC于点D,求直线AD的方程.

解:(1)∵直线y=(x-1)的斜率为,

∴其倾斜角为60°,且过点(1,0).

又直线l与直线y=(x-1)的夹角为30°,且过点(1,0),

如图所示,易知直线l的倾斜角为30°或90°.

故直线l的方程为y=(x-1)或x=1.

(2)由题意知,直线BC的斜率kBC=.

因为AD⊥BC,所以直线AD的斜率存在,

且直线AD的斜率kAD=-.

故直线AD的方程为y+4=-(x-1).