人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程当堂检测题

第二章过关检测(A卷)

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若直线l经过点A(1,-4),B(-2,-1),则直线l的倾斜角等于(　　)

A.45° B.135° 

C.0° D.150°

答案:B

解析:由题意得直线l的斜率kl==-1.

设直线l的倾斜角为θ,则tanθ=-1,所以θ=135°.

2.已知圆C以点(2,-3)为圆心,以5为半径,则点M(5,-7)与圆C的位置关系是(　　)

A.在圆内 B.在圆上 

C.在圆外 D.无法判断

答案:B

解析:由已知得点M(5,-7)与圆心(2,-3)的距离d==5=r(r为圆C的半径),故点M在圆C上.

3.已知直线l1的倾斜角为60°,直线l2经过点A(1,),B(-2,-2),则直线l1,l2的位置关系是(　　)

A.平行或重合 B.平行

C.垂直 D.重合

答案:A

解析:由题意可知直线l1的斜率k1=tan60°=,直线l2的斜率k2=,则k1=k2,所以l1∥l2或l1,l2重合.

4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是(　　)

A.x+y-2=0 B.x-y+2=0

C.x+y-3=0 D.x-y+3=0

答案:D

解析:由已知得圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由直线的点斜式方程得直线l:y-3=x-0,即x-y+3=0.

5.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为(　　)

A.8 B.-4

C.6 D.无法确定

答案:C

解析:圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心,即-+3=0,解得m=6.

6.已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△EOF(O是原点)的面积为(　　)

A. B.

C.2 D.

答案:D

解析:由已知得该圆的圆心为点A(2,-3),半径r=3,圆心到直线的距离d=,弦长EF=2=2=4.因为原点到直线的距离为,

所以△EOF的面积S=×4×.

7.若x,y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是(　　)

A.-5 B.5-

C.30-10 D.无法确定

答案:C

解析:把圆的一般方程化为标准方程得(x-1)2+(y+2)2=25,圆心坐标为C(1,-2),半径r=5.设P(x,y)是圆C上一点.

∵,

∴表示圆C上一点P与原点O之间的距离.如图,当点P位于图中位置时,|PO|最小,且|PO|min=|PC|-|OC|=5-=5-.

故(x2+y2)min=30-10.

8.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是(　　)

A.2 B.6

C.3 D.2

答案:A

解析:由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则由题意得光线所经过的路程等于|CD|=2.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知直线l:x-y+1=0,则下列说法正确的是(　　)

A.直线l的倾斜角是

B.过点(,1)与直线l平行的直线方程是x-y-2=0

C.点(,0)到直线l的距离是2

D.若直线m:x-y+1=0,则l⊥m

答案:BC

解析:对于选项A,直线l的斜率为,故倾斜角为,A错误;

对于选项B,直线l的斜率为,则过点(,1)与直线l平行的直线方程为y-1=(x-),即x-y-2=0,B正确;

对于选项C,由点到直线的距离公式,得d==2,C正确;

对于选项D,直线l的斜率kl=,直线m的斜率km=,则kl·km=1≠-1,故直线l与m不垂直,D错误.

10.已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则(　　)

A.l1恒过点(2,-2)

B.若l1∥l2,则a2=

C.若l1⊥l2,则a2=1

D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限

答案:BD

解析:l1:(a+1)x+ay+2=0即a(x+y)+x+2=0.由即直线l1恒过点(-2,2),故A错误;当l1∥l2时,有(a+1)(1-a)-a2=0,且a×(-1)≠2×(1-a),则a2=,故B正确;当l1⊥l2时,有a(a+1)+a(1-a)=0,解得a=0,故C错误;若直线l2不经过第三象限,则当1-a≠0时,有解得0≤a<1;当1-a=0,即a=1时,直线l2:x=1,也不经过第三象限.所以当0≤a≤1时,直线l2不经过第三象限,D正确.

11.已知点A(-1,0),B(1,0)均在圆C:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)外,则下列表述正确的是(　　)

A.实数r的取值范围是(0,)

B.|AB|=2

C.直线AB与圆C不可能相切

D.若圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP,则r的值是3-1

答案:ABD

解析:由题意知圆心C(3,3),则|AC|=5,|BC|=,所以0<r<,故A正确;由两点间的距离公式可得|AB|=2,故B正确;因为点C到直线AB的距离即点C到x轴的距离,等于3,所以当r=3时,直线AB与圆C相切,故C错误;因为AP⊥BP,所以点P在以AB为直径的圆上.又因为点A(-1,0),B(1,0),所以点P在圆x2+y2=1上,又点P在圆C:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)上,且点A,B在圆C外,所以圆x2+y2=1与圆C外切,且点P为切点,所以1+r==3,即r=3-1,故D正确.

12.设m∈R,过定点M的直线l1:mx-y-3m+1=0与过定点N的直线l2:x+my-3m-1=0相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB|=2,则下列结论正确的是(　　)

A.l1一定垂直l2

B.|PM|+|PN|的最大值为4

C.点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2

D.||的最小值为2

答案:AD

解析:对于A,当m=0时,直线l1:y=1与l2:x=1垂直;当m≠0时,直线l1的斜率k1=m,直线l2的斜率k2=-,则k1·k2=-1,所以l1与l2垂直,综上,l1一定垂直l2,故A正确;对于B,l1过定点M(3,1),l2过定点N(1,3),在Rt△PMN中,|MN|=2,设∠PMN=θ,则|PM|+|PN|=2cosθ+2sinθ=4sin≤4,故B错误;对于C,当点P与点M或点N重合时,点P(3,1)或P(1,3);当点P与点M,N不重合时,由=0,得点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2,点(3,1)和(1,3)的坐标也满足此式,又因为直线l1不能同时过点(3,1),(3,3),所以点P的轨迹不经过点(3,3),故C错误;对于D,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则|CD|=,即点D的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=2,因为||=2||,且||的最小值为,所以||的最小值为2,故D正确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,直线PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是　. 

答案:(x-1)2+y2=2

解析:由题意知圆心(1,0)到点P的距离为,所以点P在以点(1,0)为圆心,为半径的圆上,故点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.

14.已知直线l与直线y=1,x-y-7=0分别相交于点P,Q,线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为　　　　　. 

答案:-

解析:设点P(x,1),Q(x0,y0),则将点Q的坐标代入x-y-7=0,得2-x+3-7=0.∴x=-2,∴点P(-2,1),Q(4,-3),∴直线l的斜率kl=-.

15.对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是　　　　　　　　. 

答案:相切或相交

解析:将直线方程(3k+2)x-ky-2=0整理得(3x-y)k+2x-2=0,由解得x=1,y=3,即直线恒过定点(1,3).

又点(1,3)在圆上,∴直线与圆相切或相交.

16.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,则经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程为　　　　　　　　　. 

答案:x2+y2-x-2y=0

解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),即x2+y2-x-y-=0,所以圆心坐标为,半径为,依题意得,

解得λ=1(λ=-1舍去),

故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(4,0),B(8,10),C(0,6).

(1)求过点A且平行于直线BC的直线的方程;

(2)求过点B且与点A,C距离相等的直线的方程.

解:(1)由题意知,直线BC的斜率kBC=,故过点A且平行于直线BC的直线的方程为y-0=(x-4),即x-2y-4=0.

(2)显然,所求直线的斜率存在.

设过点B的直线的方程为y-10=k(x-8),即kx-y-8k+10=0,

由题意得,

解得k=或k=-.

故所求的直线方程为y-10=(x-8)或y-10=-(x-8),

即7x-6y+4=0或3x+2y-44=0.

18.(12分)已知圆C的圆心在直线x+2y=0上,且与y轴相切于点(0,-1).

(1)求圆C的方程;

(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,　　　　　,求m的值. 

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答.

条件①:∠ACB=60°;条件②:|AB|=2.

注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.

解:(1)设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,

由题意可得解得

所以圆心C(2,-1),半径为r=2,故圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.

(2)若选①:

由题意得,|CA|=|CB|,∠ACB=60°,

所以△ABC为等边三角形,|AB|=2.

圆心C(2,-1)到直线l:x-y+m=0的距离d=,则,

解得m=-3或m=--3.

若选②:

因为|AB|=2,所以△ABC为等边三角形,

故圆心C(2,-1)到直线l:x-y+m=0的距离d=,

则,

解得m=-3或m=--3.

19.(12分)如图所示,射线OA,OB分别与x轴正半轴分别成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于点A,B,当线段AB的中点C在直线y=x上时,求直线AB的方程.

解:由题意可得直线OA的斜率kOA=tan45°=1,直线OB的斜率kOB=tan(180°-30°)=-,

所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.

设A(m,m),B(-n,n),所以线段AB的中点C的坐标为.

由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得

解得m=或m=0(不合题意,舍去),

所以A().

又P(1,0),

所以kAB=kAP=,

所以直线lAB:y=(x-1),

即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.

20.(12分)已知圆C:(x+3)2+y2=4,点P为圆C上任一点,点A(3,0)为定点,线段AP的中点为M.求:

(1)动点M的轨迹方程;

(2)过圆心C所作动点M的轨迹的切线方程.

解:(1)设点M(x,y),P(x0,y0),由中点坐标公式可得整理得

因为点P(x0,y0)在圆C:(x+3)2+y2=4上,

所以将代入圆C的方程得(2x-3+3)2+(2y)2=4,即x2+y2=1,

所以动点M的轨迹方程为x2+y2=1.

(2)因为圆C的圆心为点C(-3,0),

当斜率不存在时,过点C(-3,0)的直线为x=-3,显然与圆x2+y2=1不相切;

当斜率存在时,设所求切线方程为y=k(x+3),即kx-y+3k=0.

由题意可知=1,

解得k=±.

故所求切线方程为y=±(x+3).

综上,过圆心C所作动点M的轨迹的切线方程为y=±(x+3).

21.(12分)已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-m=0.

(1)若点A(m,-2)在圆C的内部,求m的取值范围.

(2)若当m=4时:

①设P(x,y)为圆C上的一个动点,求(x-4)2+(y-2)2的最值.

②问是否存在斜率是1的直线l,使以直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.

解:(1)由已知得圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5+m,因此m>-5.

由点A(m,-2)在圆C的内部,可得(m-1)2+(-2+2)2<5+m,

解得-1<m<4.

故m的取值范围为(-1,4).

(2)①当m=4时,圆C的方程即(x-1)2+(y+2)2=5+4=9,而(x-4)2+(y-2)2表示圆C上的点P(x,y)到点H(4,2)的距离的平方,

又|HC|==5,故(x-4)2+(y-2)2的最大值为(5+3)2=64,(x-4)2+(y-2)2的最小值为(5-3)2=4.

②假设存在直线l满足题设条件,

设直线l的方程为y=x+a,圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心C(1,-2),

则弦AB的中点N是直线x-y+a=0与y+2=-(x-1)的交点,

即点N.

∵以AB为直径的圆经过原点,

∴|AN|=|ON|.

又CN⊥AB,|CN|=,

∴|AN|=.

∴,

解得a=-4或a=1.

∴存在直线l,其方程为x-y-4=0或x-y+1=0,检验可知符合题意.

22.(12分)如图,已知圆心坐标为(,1)的圆M与x轴及直线y=x分别相切于点A,B,另一圆N与圆M外切,且与x轴及直线y=x分别相切于点C,D.

(1)求圆M与圆N的方程;

(2)过点B作直线MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.

解:(1)因为点M的坐标为(,1),所以点M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,

则圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1.

设圆N的半径为r(r>0),连接MA,NC,如图所示,则MA⊥x轴,NC⊥x轴.

由题意知点M,N都在∠COD的平分线上,

所以O,M,N三点共线.

所以Rt△OAM∽Rt△OCN,

所以|OM|∶|ON|=|MA|∶|NC|,

即,

解得r=3.

则|OC|=3,N(3,3),

则圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.

(2)由对称性可知所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度.

设过点A与MN平行的直线为l',则直线l'的方程是y=(x-)=(x-),

即x-y-=0.

圆心N到直线l'的距离d=,

则所求弦长为2=2.