人教A版 (2019)3.1 椭圆课时作业

3.1.1　椭圆及其标准方程

课后·训练提升

基础巩固

1.已知F1,F2为两定点,且|F1F2|=6,若动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|,则动点M的轨迹是(　　)

A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

答案:A

解析:因为|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=12>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.

2.若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(　　)

A.a>0 B.a>2

C.0<a<2 D.-4<a<2

答案:C

解析:依题意有a+4>3a>0,解得0<a<2.

3.若椭圆=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

答案:B

解析:根据椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=7.

4.已知椭圆=1(m>0)的左焦点为F(-3,0),则m=(　　)

A.9 B.4

C.3 D.2

答案:B

解析:依题意,椭圆焦点在x轴上,且c=3,因此25-m2=9,解得m=4(m=-4舍去).

5.已知椭圆的焦距是,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1  B.x2+=1

C.x2+=1或y2+=1 D.x2+=1或y2+=1

答案:D

解析:由已知得解得a=1,c=,则b2=a2-c2=,

故所求椭圆的标准方程为x2+=1或y2+=1.

6.已知动点M(x,y)满足方程=10,则动点M的轨迹方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

答案:A

解析:依题意,动点M(x,y)到两定点(3,0),(-3,0)的距离之和等于常数10,且10>6,所以其轨迹为椭圆,且2a=10,c=3,b2=16,故动点M的轨迹方程为=1.

7.(多选题)已知P是椭圆=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则下列说法正确的是(　　)

A.△PF1F2的周长为12

B.△PF1F2的面积为2

C.点P到x轴的距离为

D.=2

答案:BCD

解析:由椭圆的方程知a=3,b=2,c=,则|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+2,故A项错误;

在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即20=36-2|PF1||PF2|-|PF1||PF2|,解得|PF1|·|PF2|=6,则△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=×6×=2,故B项正确;设点P到x轴的距离为d,则△PF1F2的面积S=|F1F2|·d=·2d=2,得d=,故C项正确;=||·||cos∠F1PF2=6×=2,故D项正确.

8.若椭圆=1的焦距等于2,则实数m的值等于　　　　　. 

答案:-4或-6

解析:由题意可知,-m>0,得m<0.椭圆方程化为=1,若焦点在x轴上,则有2c=2=2,解得m=-4;若焦点在y轴上,则有2c=2=2,解得m=-6,故实数m的值等于-4或-6.

9.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是　　　　　. 

答案:以M,N为焦点的椭圆

解析:点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆M的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆.

10.求过点P(3,0)且与圆C1:x2+y2+6x-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.

解:圆C1的方程可化为(x+3)2+y2=100,因此圆C1的圆心为C1(-3,0),半径r=10.

设动圆圆心为C,半径为R,则依题意有|CP|=R且|CC1|=10-R.

于是|CC1|+|CP|=10,即动点C到两个定点C1(-3,0),P(3,0)的距离之和等于常数10,且10>|C1P|,故动圆圆心C的轨迹为以C1(-3,0),P(3,0)为焦点的椭圆.

于是设椭圆方程为=1(a>b>0),则2a=10,c=3,b2=a2-c2=16,

故所求动圆圆心的轨迹方程为=1.

能力提升

1.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆=1上,且满足||-||=2,则的值等于(　　)

A.-12 B.12 C.-9 D.9

答案:D

解析:由题意易知A(0,-2),B(0,2)为椭圆=1的两焦点,

又a=4,所以||+||=2×4=8.

结合||-||=2,得||=5,||=3,又因为||=4,所以△ABP为直角三角形,故=()·=||2=9.

2.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)

A.5 B.7 C.13 D.15

答案:B

解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.

3.已知点M是椭圆=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1|·|MF2|的最大值为8,则a的值等于(　　)

A.8 B.4 C.2 D.2

答案:C

解析:因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|·|MF2|≤=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,故a2=8,a=2.

4.已知P是椭圆+y2=1上一点,F1,F2是其两个焦点,则∠F1PF2的最大值为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>0,n>0,且m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2=-1,因为mn≤=4,所以cos∠F1PF2≥-,当且仅当m=n时取等号,故∠F1PF2的最大值为.

5.(多选题)对于曲线C:=1,下列说法正确的是(　　)

A.曲线C不可能是圆

B.“3<k<9”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件

C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“6<k<7”的必要不充分条件

D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“3<k<6”的充要条件

答案:CD

解析:当9-k=k-3,即k=6时,方程=1为x2+y2=3,曲线C表示圆心是(0,0),半径为的圆,A错误;若曲线C是椭圆,则解得3<k<9且k≠6,所以“3<k<9”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件,B错误;若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得6<k<9,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“6<k<7”的必要不充分条件,C正确;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得3<k<6,“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“3<k<6”的充要条件,D正确,故选CD.

6.已知直线2x+y-4=0过椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1|,则椭圆E的方程为　　　　　　　　　　. 

答案:+y2=1

解析:直线2x+y-4=0与x轴、y轴分别交于点(2,0),(0,4),因此F2(2,0),N(0,4),于是c=2,2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=2,所以a=,从而b2=5-4=1,故椭圆E的方程为+y2=1.

7.一条线段AB的长等于10,两端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,点M在线段AB上,且+4=0,则点M的轨迹方程是　　　　　　　　. 

答案:=1

解析:设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以=10,即a2+b2=100,

因为+4=0,所以=4,所以(x-a,y)=4(-x,b-y),

得

代入a2+b2=100可得25x2+=100,即=1.

故点M的轨迹方程是=1.

8.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),点P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.

(1)求此椭圆的方程;

(2)若点P满足∠F1PF2=120°,求△PF1F2的面积.

解:(1)依题意,|F1F2|=2,椭圆长轴长2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,b2=a2-12=3,

所以椭圆的标准方程为=1.

(2)由(1)知|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4,在△PF1F2中,

由余弦定理得-2|PF1||PF2|cos120°,

有4=(|PF1|+|PF2|)2-|PF1|·|PF2|=16-|PF1||PF2|,

解得|PF1||PF2|=12,=|PF1||PF2|sin120°=×12=3,

所以△PF1F2的面积是3.