人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线习题

3.3.2　抛物线的简单几何性质

课后·训练提升

基础巩固

1.若抛物线经过点(2,1),且通径长等于4,则其标准方程为(　　)

A.y2=x B.y2=4x

C.x2=4y D.x2=-4y

答案:C

解析:由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)或y2=2px(p>0).由于抛物线的通径长等于4,则2p=4,又因为抛物线经过点(2,1),所以抛物线的标准方程为x2=4y.

2.已知过抛物线y2=4x焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点到y轴的距离为2,则|AB|=(　　)

A.4 B.6 C.3 D.8

答案:B

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为M,依题意有=2,

所以x1+x2=4,于是|AB|=x1+x2+2=4+2=6.

3.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则抛物线C的焦点坐标为(　　)

A.,0 B.,0 

C.(1,0) D.(2,0)

答案:B

解析:因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=,不妨设点D在第一象限,所以D(2,2),将其坐标代入抛物线方程得4=4p,解得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为.

4.已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线x2-k2y2=1的离心率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:B

解析:由得x2-8kx+8=0,依题意有Δ=64k2-32=0,则k2=,所以双曲线的方程为x2-=1,故双曲线的离心率e=.

5.已知直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为2,则k的值为(　　)

A.2或-2 B.1或-1 

C.2 D.3

答案:C

解析:由得k2x2-4(k+2)x+4=0.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),

则Δ=42(k+2)2-16k2,x1+x2=,由Δ>0,得k>-1,由=4,得k=2或k=-1(舍去).故选C.

6.已知直线l过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F,且与抛物线交于M,N两点,若=2,且=2,则|MN|=(　　)

A. B. C.+2 D.6

答案:B

解析:因为=2,所以点F在点M,N之间,且向量方向相同,因此有|MF|=2|FN|.又因为=2,所以|MF|=,|FN|=,因此|MN|=|MF|+|FN|=.

7.(多选题)已知抛物线x2=4y的焦点为F,M(4,y0)在抛物线上,延长MF交抛物线于点N,抛物线准线与y轴交于点Q,则下列叙述正确的是(　　)

A.|MF|=6

B.点N的坐标为

C.

D.在x轴上存在点R,使得∠MRF为钝角

答案:BC

解析:由已知得F(0,1),准线为y=-1;

对于A,∵M(4,y0)在抛物线x2=4y上,∴y0=4,

∴|MF|=y0+1=5,故A错误;

对于B,∵kMF=,∴直线MF:y=x+1,由

又M(4,4),∴N,故B正确;

对于C,∵Q(0,-1),∴=(4,5),=,∴=-4+,故C正确;

对于D,设R(t,0),则=(-t,1),=(4-t,4),∴=-t(4-t)+4=t2-4t+4=(t-2)2≥0,∴∠MRF不能为钝角,D错误,故选BC.

8.已知斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 

答案:

解析:∵抛物线的方程为y2=4x,∴焦点F的坐标为(1,0).又直线AB过焦点F且斜率为,∴直线AB的方程为y=(x-1).

由得3x2-10x+3=0,

(方法一)解得x1=,x2=3,

所以|AB|=.

(方法二)Δ=100-36=64>0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,

所以|AB|=x1+x2+p=+2=.

9.已知抛物线y2=2x,直线l的方程为x-y+3=0,P是抛物线上的一动点,则点P到直线l的最短距离为　　　　　,此时点P的坐标为　　　　　　　　. 

答案:

解析:设点P(x0,y0)是抛物线y2=2x上任一点,则点P到直线x-y+3=0的距离d=,当y0=1时,d取得最小值,此时x0=,所以点P的坐标为.

10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(1,-2).

(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;

(2)已知O为坐标原点,若直线l与OA平行,且与抛物线有公共点,直线OA与l的距离为,求直线l的方程.

解:(1)将点A(1,-2)的坐标代入抛物线方程y2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,得p=2.

故抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.

(2)设直线l的方程为y=-2x+t.

联立消去x得y2+2y-2t=0.

一方面,因为直线l与抛物线C有公共点,所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.

另一方面,由直线OA与l的距离为,可得,解得t=±1.

综上可知t=1.

于是直线l的方程为2x+y-1=0.

11.已知直线l:y=2x-m与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点.

(1)若m=p,且|AB|=5,求抛物线C的方程;

(2)若m=4p,求证:OA⊥OB(O为坐标原点).

解:设A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)联立得4x2-6px+p2=0,

则x1+x2=p.

因为直线l过抛物线的焦点F,

所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=p=5,

解得p=2,

故抛物线C的方程为y2=4x.

(2)证明:由得4x2-18px+16p2=0.

则x1+x2=p,x1x2=4p2.

所以=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1-4p)·(2x2-4p)=5x1x2-8p(x1+x2)+16p2=20p2-8×p2+16p2=0,故OA⊥OB.

能力提升

1.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=(　　)

A. B.3 

C.6 D.8

答案:C

解析:设△ABF的边长为a(a>0),依题意有a=p,则a=.

不妨设B,代入方程=1得p=6.

2.已知直线y=kx-2k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　)

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线没有公共点

D.直线与抛物线有一个或两个公共点

答案:D

解析:由于y=kx-2k=k(x-2),所以直线经过点(2,0),当k=0时,直线与抛物线有一个公共点,当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.

3.已知直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为(　　)

A.48 B.56 C.64 D.72

答案:A

解析:由得x2-10x+9=0,

解得

不妨设A(9,6),B(1,-2),则|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,故梯形APQB的面积S=(|AP|+|BQ|)·|PQ|=×(10+2)×8=48.

4.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线y=kx+2与抛物线C交于A,B两点,且|AF|·|BF|=25,则k的值为(　　)

A.±2 B.-1 C.±1 D.-2

答案:A

解析:联立消去y得x2-4kx-8=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-8,

于是y1+y2=k(x1+x2)+4=4k2+4,y1y2==4.

因为|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=4+4k2+4+1=25,所以k=±2.

5.已知点A(2,0),B(4,0),点P在抛物线y2=-4x上运动,则取得最小值时,点P的坐标是　　　　　. 

答案:(0,0)

解析:设P,则,

则+y2=y2+8≥8,

当且仅当y=0时取等号,此时点P的坐标为(0,0).

6.已知直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于　　　　　. 

答案:

解析:易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点,所以弦AB为过焦点的弦.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点N,因为|AB|=x1+x2+p=4,所以.故弦AB的中点到直线x+=0的距离为.

7.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,点M满足)(O为坐标原点),过点M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则点P的横坐标为　　　　　,|AB|=　　　　　. 

答案:1　8

解析:由y2=4x得2p=4,∴p=2.

因此F(1,0),准线方程为x=-1.

设P(x0,y0),则|PF|=x0+1=2⇒x0=1.

由点P在抛物线上知=4x0=4,∴y0=±2.

不妨取y0=2,得P(1,2).

由)得M为线段AB的中点,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则M.

∴=4x1,=4x2,且y1+y2=4.

从而(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).

因此,直线AB的斜率kAB==1,

∴直线AB的方程为y=x-1.

由得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6,

因此|AB|=x1+x2+p=6+2=8.

8.已知过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.

解:(1)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为,则直线AB的方程为y=x+,

由消去x得4y2-5py+p2=0,

则y1+y2=.由抛物线的定义,得|AB|=y1+y2+p=9,即+p=9,解得p=4.

故抛物线的方程为x2=8y.

(2)由p=4知,方程4y2-5py+p2=0,即y2-5y+4=0,

解得y1=1,y2=4,则x1=-2,x2=4.

所以A(-2,1),B(4,4).

于是+λ=(-2,1)+λ(4,4)=(-2+4λ,1+4λ).

因为C为抛物线上一点,所以(-2+4λ)2=8(1+4λ),

整理得λ2-2λ=0,解得λ=0或λ=2.