广西专版2023_2024学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程过关检测A卷新人教版选择性必修第一册

第三章过关检测(A卷)

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知曲线C:y2-mx2=1,则“曲线C是双曲线”是“m>0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:方程y2-mx2=1表示双曲线时,应满足m>0,反之,当m>0时,方程y2-mx2=1一定表示双曲线,所以“曲线C是双曲线”是“m>0”的充要条件.

2.若抛物线y2=x的焦点与椭圆 =1的左焦点重合,则m的值为(　　)

A.- B.

C.-2 D.2

答案:A

解析:椭圆=1中,半焦距c==2,

所以左焦点为(-2,0),因此y2=x的焦点为(-2,0),于是<0且-=8,

故m=-.

3.若动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(　　)

A.双曲线的一支

B.圆

C.抛物线

D.双曲线

答案:A

解析:设动圆的圆心为P,半径为r,圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0,0),O2(4,0),半径分别为1和2,则由已知得|PO1|=r+1,|PO2|=r+2,因此|PO2|-|PO1|=1,且1<|O1O2|=4,由双曲线的定义知,动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.

4.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F2(2,0),P为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周长为10,则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±x

C.y=±2x D.y=±x

答案:A

解析:由题知c=2,则|F1F2|=4.因为|F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2.因为△PF1F2的周长为10,所以|PF1|+2+4=10,解得|PF1|=4,所以|PF1|-|PF2|=2=2a,解得a=1,因为a2+b2=c2,所以b=.故双曲线的渐近线方程为y=±x.

5.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4 m,外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为3 m,则该椭圆的离心率等于(　　)

A. B.

C. D.

答案:B

解析:由已知得椭圆的焦距2c=2.4,长轴长2a=3,则离心率e=.

6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线交于点E,则|EF|等于(　　)

A.1 B.2

C. D.

答案:D

解析:由已知得抛物线方程为y2=8x.因为AE与准线垂直,所以设E(x0,2),代入抛物线方程可得x0=,于是|EF|等于点E到准线的距离d=+2=.

7.若椭圆=1的动弦AB的斜率为1,则弦中点的坐标可能是(　　)

A.(-3,4) B.

C.(-4,3) D.

答案:B

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由已知得=1,=1,两式作差可得=0,整理可得=-=-,设AB中点D的坐标为(x0,y0),则有=-,又点D在椭圆的内部,

所以|y0|<2,故选B.

8.已知过抛物线y2=8x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,点P在线段AB上运动,原点O关于点P的对称点为M,则四边形OAMB的面积的最小值为(　　)

A.8 B.10

C.14 D.16

答案:D

解析:依题知F(2,0),设直线l的方程为x=my+2,与抛物线方程联立消去x,得y2-8my-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8m,y1y2=-16.由对称性知,四边形OAMB的面积等于2S△AOB.∵2S△AOB=2×|OF|·|y1-y2|=2=16,

∴当m=0时,四边形OAMB的面积取得最小值,且最小值为16.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.下列关于双曲线=1的说法,正确的是(　　)

A.实轴长为2

B.与椭圆=1有同样的焦点

C.与双曲线6y2-9x2=1有相同的渐近线

D.焦点到渐近线的距离为2

答案:AC

解析:由已知可得,a=,b=,c=,所以实轴长为2a=2,故A项正确;双曲线的焦点坐标为(0,),(0,-),在y轴上;椭圆的焦点坐标为(,0),(-,0),在x轴上,故B项错误;=1的渐近线与6y2-9x2=1的渐近线均为y=±x,故C项正确;取=1的一个焦点(0,),一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0,可知点(0,)到渐近线x-2y=0的距离d=,D项错误.故选AC.

10.已知曲线C的方程为=1,则(　　)

A.当m=2时,曲线C为圆

B.当m=5时,曲线C为双曲线,其渐近线方程为y=±x

C.当m>1时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆

D.存在实数m使得曲线C为双曲线,其离心率为

答案:AD

解析:对于A,当m=2时,方程可化为=1,即x2+y2=4,所以曲线C是圆,故A正确;对于B,当m=5时,方程化为=1,所以曲线C为双曲线,其渐近线方程为y=±x,故B错误;对于C,当m>1时,不妨令m=5,由选项B可知曲线C为双曲线,故C错误;对于D,假设存在实数m使曲线C为双曲线,则(m+2)(8-2m)<0,解得m<-2或m>4,因为双曲线的离心率为,即,结合c2=a2+b2,易得a2=b2,当m<-2时,曲线C:=1,则8-2m=-(m+2),解得m=10,舍去;当m>4时,曲线C:=1,则m+2=2m-8,解得m=10,满足题意.综上,存在m=10满足题意,故D正确.故选AD.

11.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　)

A.a-c=m+R B.a+c=n+R

C.2a=m+n D.b=

答案:ABD

解析:由题意可知,a-c-R=m,a+c-R=n,可得a-c=m+R,所以A正确;a+c=R+n,所以B正确;

可得a=+R,c=.

则b2=a2-c2==(m+R)(n+R).

则b=.

所以D正确.故选ABD.

12.设抛物线y=ax2的准线与对称轴交于点P,过点P作抛物线的两条切线,切点分别为A和B,则(　　)

A.点P的坐标为

B.直线AB的方程为y=

C.PA⊥PB

D.|AB|=

答案:ABC

解析:由题意知,a≠0.将抛物线方程y=ax2化为标准方程为x2=y,则抛物线准线方程为y=-,所以点P的坐标为,故A正确;由题意,可知过点P的抛物线的切线的斜率存在.设过点P的切线方程为y=kx-(k≠0),由得ax2-kx+=0,令Δ=k2-4×a×=0,解得k=±1.解方程ax2±x+=0,得x=±,则两切点坐标为.不妨令A,B,因此直线AB的方程为y=,B正确;因为,所以=0,所以,即PA⊥PB,C正确;|AB|=,D错误.故选ABC.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.抛物线x+y2=0的准线方程为　　　　　. 

答案:x=

解析:抛物线方程可化为y2=-2x,抛物线开口向左,,故准线方程为x=.

14.椭圆=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则m的最大值为　　　　　,此时点P的坐标为　　　　　　　. 

答案:25　(3,0)或(-3,0)

解析:设椭圆的两个焦点为F1,F2,则m=|PF1|·|PF2|≤=a2=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时,m取最大值25,即点P在短轴端点时成立,所以m的最大值为25,此时点P的坐标为(3,0)或(-3,0).

15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,定点A(0,-2),若射线FA与抛物线C交于点M,与抛物线C的准线交于点N,则|MN|∶|FN|等于　　　　　. 

答案:

解析:射线FA的方程为y=2x-2(x≤1),

联立解得x=,

所以|MN|∶|FN|=∶(1+1)=.

16.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α=,则双曲线的离心率等于　　　　　　　　　. 

答案:

解析:设渐近线y=x的倾斜角为θ,当0<<1时,依题意有α=2θ,因为cosα=,所以cos2θ=,即,解得tan2θ=,即,故离心率e=;当>1时,依题意有α=2(90°-θ)=180°-2θ,因为cosα=,所以cos(180°-2θ)=,即=-,解得tan2θ=2,即=2,故离心率e=.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且经过点(4,6).

(1)求双曲线的方程.

(2)若双曲线的左、右焦点是F1,F2,则在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|?

解:(1)椭圆=1的焦点在x轴上,且c==4,即焦点坐标为(4,0),(-4,0),

于是可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则有解得a2=4,b2=12,

故双曲线的方程为=1.

(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.

由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a=4,

于是|PF1|=5,|PF2|=1.

但当点P在双曲线的右支上时,点P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,

故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.

18.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l:y=x+与椭圆C交于A,B两点,其中O为坐标原点,求△AOB的面积.

解:(1)由题意可得

解得a=,c=,b=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

联立得4x2+6x+3=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

于是|AB|=

=

=.

原点O到直线AB的距离d==1,

故△AOB的面积S=·d·|AB|=×1×.

19.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过点F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.

(1)求椭圆C1的离心率;

(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.

解:(1)∵F(c,0),直线AB过点F,且AB⊥x轴,

∴直线AB的方程为x=c,

联立解得∴|AB|=.

由题意可得,抛物线C2的方程为y2=4cx,联立

解得∴|CD|=4c.∵|CD|=|AB|,∴4c=,2b2=3ac,∴2c2+3ac-2a2=0,即2e2+3e-2=0,解得e=(e=-2舍去),因此,椭圆C1的离心率为.

(2)由(1)知a=2c,b=c,椭圆C1的方程为=1,联立消去y并整理得3x2+16cx-12c2=0,解得x=c或x=-6c(舍去),由抛物线的定义可得|MF|=c+c==5,解得c=3.

因此,曲线C1的标准方程为=1,

曲线C2的标准方程为y2=12x.

20.(12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求直线l的方程;

(2)若=3,求|AB|.

解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)由题设得F,

故|AF|+|BF|=x1+x2+.

又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.

由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,

则x1+x2=-=-.

从而-,得t=-.

所以直线l的方程为y=x-.

(2)由=3可得y1=-3y2.

由可得y2-2y+2t=0,

所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,

故y2=-1,y1=3.

代入抛物线C的方程得x1=3,x2=.

故|AB|=.

21.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A,B两点.求:

(1)椭圆C的方程;

(2)的取值范围.

解:(1)由题意知e=,

则e2=,即a2=b2.

因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,所以b=,所以b2=3,a2=4,故椭圆C的方程为=1.

(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),

联立得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.

由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,

得k2<.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=.

于是y1y2=k(x1-4)·k(x2-4)=k2x1x2-4k2·(x1+x2)+16k2=,

因而=x1x2+y1y2==25-,

因为0≤k2<,所以-29≤-<-,

所以-4≤25-.

故的取值范围是.

22.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程.

(2)过点P的直线交椭圆C于E,F两点,是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,请说明理由.

解:(1)由题意,可得

解得故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)当过点P的直线不是x轴时,设其方程为x=ny+,由消去x得3(n2+2)y2+2ny-4=0.

则Δ=72n2+96>0,设E(x1,y1),F(x2,y2),

则y1+y2=-,y1y2=-,

又|EP|2=+(0-y1)2=-ny1-2+(0-y1)2=(1+n2),

同理|FP|2=(1+n2),

所以

=

=

=3.

当过点P的直线为x轴时,不妨设x1<x2,

则|EP|=,|FP|=,

则=3.

综上可知,为定值,定值为3.