高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教课内容ppt课件

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1.运用等差数列的前n项和知识解决一些实际问题,提升数学建模核心素养.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.提升逻辑推理和数学运算的核心素养.3.能运用裂项相消法解决一些数列求和问题.提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
1.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中,
当a1>0,d>0时,{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值;当a1<0,d<0时,{Sn}是递减数列,S1是{Sn}的最大值.
Sn有　最小　值;当d<0时,Sn有　最大　值.当n取最接近抛物线对称轴的自然数时,Sn取到最值. 微思考1 {an}是等差数列,其前n项和为Sn,数列{|an|}的前n项和也是Sn吗?提示:不一定.
2.求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,从第一项起到分界点项的各项和为最大(小)值.(2)借助二次函数的图象及性质求最值.
微思考2 已知一个数列{an}的前n项和Sn=n2-5n,试作出Sn关于n的函数图象.你能说明数列{an}的单调性吗?该数列的前n项和有最值吗?
微训练 若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=　　　　　时,数列{an}的前n项和最大. 答案:8解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,∴a8>0,a9<0,∴当n=8时,数列{an}的前n项和最大.
一 求等差数列前n项和的最值问题
典例剖析1.已知数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前多少项和最大?
互动探究1.(变条件)将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9”,求其前n项和Sn的最大值.解:(方法一)设等差数列{an}的公差为d.
(方法三)设等差数列{an}的公差为d.∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0.∴当n=13时,Sn有最大值.由a13+a14=0,得25×2+25d=0,解得d=-2.S13=13×25+ ×13×12×(-2)=169.
2.(变结论)本例中条件不变,令bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.解:由数列{an}的通项公式an=34-2n知,当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.则当n≤17时,Tn=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2.当n≥18时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.
规律总结 1.寻求正、负项分界点的方法:(1)寻找正、负项的分界点,可利用等差数列的性质或利用
(2)利用到y=ax2+bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个正整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个正整数的对应项即为正、负项的分界点.2.求数列{|an|}的前n项和,应先判断{an}的各项的正负,再去掉绝对值号,转化为数列{an}的求和问题.
学以致用1.在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22.(1)求该数列从第几项开始为负数;(2)求数列{|an|}的前n项和.解:设等差数列{an}的公差为d,
典例剖析2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=25,S5=55.(1)求数列{an}的通项公式;
规律总结 裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前n项和.
学以致用 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=7,a5与a7的等差中项为13.(1)求an以及Sn;
三 等差数列前n项和的实际应用
典例剖析3.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?
规律总结 遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解题要注意以下两点:(1)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型.(2)深入分析题意,确定是求通项公式an还是求前n项和Sn,还是求项数n.
学以致用3.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,如果每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线?
1.已知数列{an}的通项公式是an= ,其前n项和Sn=9,则n等于(　　)A.9B.99C.10D.100答案:B
2.在等差数列{an}中,若a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是(　　)A.S4B.S5C.S6D.S7答案:D解析:因为{an}是等差数列,所以a4+a10=2a7,由a4+a10<0,知a7<0,由a8>0,可知等差数列{an}的公差d>0,即{an}是递增数列,且前7项均是负数,故数列{an}的前n项和Sn中最小的是S7.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5+5a9=0,且a9>a5,则Sn取得最小值时n的值为(　　)A.5B.6C.7D.8答案:B
4.已知数列{an}的通项公式为an= ,则数列{an}的前n项和Sn=　　　　　. 
5.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,如果要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为　　　　　. 答案:10解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.即钢管总数为1+2+3+…+n= .当n=19时,S19=190;当n=20时,S20=210>200.故当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.
6.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,a1=12,d=-2.(1)求Sn,并画出Sn(1≤n≤13)的图象;(2)分别求使Sn单调递增、单调递减的n的取值范围,并求Sn的最大(或最小)值;(3)Sn有多少项大于零?