广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列习题课一数列求和课件新人教版选择性必修第二册

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习题课一　数列求和一 利用公式法求和等差数列、等比数列或可转化为等差数列、等比数列的数列,直接用等差数列、等比数列的求和公式求和.【典型例题1】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1, an+1=2Sn+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)等差数列{bn}的各项均为正数,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.解:(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减,得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).因为a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,即an=3n-1.(2)设等差数列{bn}的公差为d,由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5,即b1=5-d,b3=5+d.又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.解得d=2或d=-10.又等差数列{bn}的各项为正数,即d>0,故d=2,b1=5-d=3,解题技巧 对于等差数列或等比数列,我们可直接利用前n项和公式求和.在利用等比数列前n项和公式时,要注意对公比是否为1进行讨论.【跟踪训练1】已知等比数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,S3=14,S6=126.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{lg an}的前n项和Tn.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=14,a1+a2+a3+…+a6=126,所以a4+a5+a6=112,所以q3=8,得q=2.由a1+2a1+4a1=14,解得a1=2,即an=2n.(2)因为an=2n,所以lg an=nlg 2.lg an+1-lg an=(n+1)lg 2-nlg 2=lg 2.即数列{lg an}是首项为lg 2,公差为lg 2的等差数列.二 分组转化法求和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.【典型例题2】已知在等比数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+an,数列{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与n2+2n的大小.解题技巧 1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}的通项公式为cn= 其中数列{an}, {bn}是等比数列或等差数列,则可采用分组求和法求{cn}的前n项和.【跟踪训练2】已知数列{an}中,an= 其前n项和为Sn.求:(1)S8,S15;(2)Sn.三 奇偶并项求和奇偶并项求和的基本思路:有些数列单独看求和困难,但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列或等比数列求和.当求前n项和中n不确定是奇数还是偶数时,往往需要讨论.【典型例题3】求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).解:当n为奇数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1)规律方法 通项中含有(-1)n的数列求前n项和时可以考虑使用奇偶并项法,对项数为奇数和偶数分别进行求和.【跟踪训练3】已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n项和Sn.解:当n为偶数时,令n=2k(k∈N*),Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n·(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]=3k= n;当n为奇数时,令n=2k+1(k∈N),四 裂项相消法求和如果数列的项能裂成前后抵消的两项,那么可用裂项相消法求和,此法一般先研究通项公式的形式,然后仿照公式裂开每一项.裂项相消求和常用公式:易错分析 1.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.2.将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【跟踪训练4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=15, a5+a9=30.(1)求等差数列{an}的通项公式及Sn;(2)若数列{bn}满足bn(Sn-n)=2,数列{bn}的前n项和为Tn,求证: Tn0,∴Sn单调递增.∵S6=9×27+6=1 1582 021,∴使Sn