广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2.3简单复合函数的导数课件新人教版选择性必修第二册

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5.2　导数的运算5.2.3　简单复合函数的导数课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则,提升数学抽象核心素养.2.能够利用复合函数的求导法则,解决与导数有关的问题,提升逻辑推理和数学运算的素养.知 识 概 览课前·基础认知复合函数的概念及导数公式微思考 函数y=log2(x+1)是由哪些函数复合而成的?提示:函数y=log2(x+1)是由y=log2u及u=x+1两个函数复合而成的.微训练 函数y=x2cos 2x的导数为(　　)A.y'=2xcos 2x-x2sin 2x B.y'=2xcos 2x-2x2sin 2xC.y'=x2cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2x+2x2sin 2x答案:B解析:y'=(x2)'cos 2x+x2(cos 2x)'=2xcos 2x+x2(-sin 2x)(2x)'=2xcos 2x-2x2sin 2x.课堂·重难突破一 简单的复合函数的导数典例剖析1.求下列函数的导数:(1)y=a2x-3(a>0,且a≠1);规律总结 1.解答此类问题常犯两个错误:(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数;(2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.2.复合函数求导的步骤学以致用1.求下列函数的导数:二 复合函数与导数运算法则结合求导典例剖析2.求下列函数的导数:规律总结 1.在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式.对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的.2.复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,由外及内逐层求导.学以致用2.求下列函数的导数:(1)y=xln(1+2x);(2)y=cos4x-sin4x.三 复合函数导数的应用典例剖析 3.(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　)(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　　. 答案:(1)A　(2)2解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0).因为切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.规律总结 解决复合函数导数的应用问题,首先要正确求出复合函数的导数,因此熟练掌握复合函数的求导法则是关键.学以致用3.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　　　　. 答案:1-ln 2随堂训练1.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:D解析:因为y'=[(x+1)2]'(x-1)+(x+1)2(x-1)'=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1,所以y'|x=1=4.答案:D 3.若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a=　　　　　. 答案:1解析:∵f'(x)=[(2x+a)2]'=2(2x+a)(2x+a)'=4(2x+a),∴f'(2)=4(4+a)=20.∴a=1.4.曲线y= 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为　　　　　. 答案:e25.求下列函数的导数:(1)y=cos(x+3);(2)y=(2x-1)3;(3)y=e-2x+1.解:(1)y'=-sin(x+3)·(x+3)'=-sin(x+3).(2)y'=3(2x-1)2·(2x-1)'=6(2x-1)2.(3)y'=e-2x+1·(-2x+1)'=-2e-2x+1.