广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大小值第二课时函数的最大小值课件新人教版选择性必修第二册

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5.3.2　函数的极值与最大(小)值第2课时　函数的最大(小)值课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.理解函数最值的概念,了解函数最值与函数极值的区别与联系,提升数学抽象核心素养.2.会求函数在某闭区间上的最值,提升数学运算核心素养.3.理解极值与最值的关系,并能利用其求参数的取值范围.能利用导数解决一些简单的恒成立问题,提升逻辑推理和数学运算核心素养.知 识 概 览课前·基础认知1.函数最值的概念如果在函数f(x)的定义域I内存在一点x0,使得对任意的x∈I,总有　f(x)≤f(x0)　,那么称f(x0)为函数f(x)在定义域I内的最大值. 如果在函数f(x)的定义域I内存在一点x0,使得对任意的x∈I,总有　f(x)≥f(x0)　,那么称f(x0)为函数f(x)在定义域I内的最小值. 微思考1 函数在一个闭区间上若存在最值,则最值是否可以有多个?极值是否也可以有多个?区间端点是否可以是极值点和最值点呢?提示:函数在一个闭区间上若存在最值,则最大(小)值只能有一个;而极大(小)值可能不止一个,也可能没有.如常数函数没有极值.函数的极值点不可能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.2.求函数的最值求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是　最大值　,最小的一个是　最小值　. 微思考2 函数在开区间(a,b)内一定有最值吗? 提示:在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值与最小值.若函数f(x)在开区间I内只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I内的最大(小)值.课堂·重难突破一 求不含参数的函数的最值典例剖析1.求下列各函数的最值:(1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2];(2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1].解:(1)f'(x)=-4x3+4x=-4x(x+1)(x-1),令f'(x)=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.当x变化时,f'(x)及f(x)的变化情况如下表:∴当x=-3时,f(x)取得最小值-60;当x=-1或x=1时,f(x)取得最大值4.(2)f'(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,∵f'(x)在区间[-1,1]上恒大于0,∴f(x)在区间[-1,1]上为增函数.故当x=-1时,f(x)取得最小值,且f(x)最小值=-12;当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)最大值=2.规律总结 求解函数在闭区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f'(x)=0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.学以致用1.求下列各函数的最值:(1)f(x)=3x3-9x+5,x∈[-2,2];解:(1)f'(x)=9x2-9=9(x+1)(x-1),令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.从表中可以看出,当x=-2或x=1时,函数f(x)取得最小值-1.当x=-1或x=2时,函数f(x)取得最大值11.二 含参数的函数的最值问题典例剖析2.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.规律总结 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数大于(小于)0且不恒等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,且在零点两侧导函数值异号,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.学以致用2.设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.三 与最值有关的恒成立问题互动探究1.(变条件)若把(2)中“对x∈[-1,2],不等式f(x)f(x)max,则不等式f(x)h在区间[m,n]上恒成立,可先在区间[m,n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)min>h,则不等式f(x)>h恒成立.学以致用3.设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c,(1)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)0;当x∈(1,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,3)时,f'(x)>0.∴当x=1时,f(x)取得极大值,且极大值为f(1)=5+8c.又f(3)=9+8c>f(1),∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.∵对任意的x∈[0,3],有f(x)9.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).(2)由(1)知f(x)0时,证明不等式ln(x+1)>x- x2.规律总结 证明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b)的步骤(1)将要证明的不等式f(x)>g(x)移项可以转化为证明f(x)-g(x)>0;(2)构造函数F(x)=f(x)-g(x),研究F(x)的单调性;(3)若[f(x)-g(x)]'>0,则函数F(x)=f(x)-g(x)在区间(a,b)内单调递增.只需保证F(a)≥0;(4)若[f(x)-g(x)]'<0,则函数F(x)=f(x)-g(x)在区间(a,b)内单调递减.只需保证F(b)≥0.学以致用 随堂训练1.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最大值是(　　) 答案:B解析:∵f'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x),∴当00,f(x)单调递增,当10恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]答案:A解析:f'(x)=ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增,故f(x)min=f(0)=1+a.若f(x)>0恒成立,则1+a>0,解得a>-1.故选A.5.已知函数f(x)=x3-3x2+2,x1,x2是区间[-1,1]上的任意两个值,M≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,则M的最小值是　　　　　. 答案:4解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),当-1≤x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当00,故f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增;当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(-2,2)内单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在区间(2,+∞)内单调递增.由此可知f(x)在x=-2处取得极大值,且f(-2)=16+c,在x=2处取得极小值,且f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28,解得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4.因此,f(x)在区间[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.