这是一份广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3.2函数的极值与最大小值第三课时导数在解决实际问题中的应用课件新人教版选择性必修第二册，共43页。
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第3课时 导数在解决实际问题中的应用课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练 素养•目标定位目 标 素 养1.了解导数在解决实际问题中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题;学会建立数学模型,并会求解数学模型;提升数学建模的核心素养.知 识 概 览课前·基础认知生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 优化问题 . (2)利用导数解决优化问题的实质是 求函数最值 . (3)解决优化问题的基本思路:上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.微思考 优化问题的常见类型有哪些?提示:费用最省问题,利润最大问题,面积、容积最大问题等.课堂·重难突破一 利润最大问题典例剖析1.某商店销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2,其中3
0)吨产品时的利润为 令f'(x)=0,得x1=200,x2=-200(舍去).∵在区间(0,+∞)内只有一个极值点x=200,且x=200是极大值点,∴200就是函数f(x)的最大值点,且最大值为f(200)=- ×2003+24 000×200-50 000=3 150 000(元).故每月生产200吨产品时,利润达到最大,最大利润为315万元.二 面积、容积的最值问题典例剖析2.已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接(半圆的直径与矩形的一边长相等),其中半圆的直径为2r,若窗子的周长为10,则当半径r取何值时窗子的面积最大?规律总结 在解决面积、容积的最值问题时,要正确引入变量,将面积或容积表示为关于变量的函数,结合使实际问题有意义的变量的范围,利用导数求函数的最值.学以致用2.如图,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN.要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过点C,|AB|=3 m,|AD|=2 m.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.(3)若AN的长度不少于6 m,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.三 成本最省问题典例剖析3.甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为b(b>0),固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?规律总结 解决成本最省问题,要找准各变量之间的关系,正确列出函数关系式,并根据实际确定自变量的取值范围,然后利用导数求最值.其中把实际问题转化为数学问题,正确列出函数关系式是解决问题的关键.学以致用3.已知工厂A到铁路的垂直距离为20 km,垂足为B,铁路线上距离B处100 km的地方有一个原料供应站C,现在要从BC段上的D处向工厂A修一条公路,使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省,已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5,则点D应选在何处?随堂训练1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若要使砌墙壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)( )A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18答案:A2.某公司生产一种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位的产品,成本增加100元.若总收入R与年产量x的关系是R(x)= 则当总利润P(x)最大时,每年生产产品的单位数是( )A.150 B.200 C.250 D.300答案:D3.内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的宽和长分别为( )答案:B 4.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)之间的关系为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件答案:C解析:y'=-x2+81,令y'=-x2+81>0,解得09,则函数y=- x3+81x-234在区间(0,9)内单调递增,在区间(9,+∞)内单调递减,故年利润y在x=9处取极大值,也是最大值,选C.5.周长为3 cm的矩形,绕一条边所在直线旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 cm3. 6.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ )x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
