广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末核心素养整合课件新人教版选择性必修第二册

这是一份广西专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用章末核心素养整合课件新人教版选择性必修第二册，共50页。

章末核心素养整合专题归纳突破知识体系构建知识体系构建专题归纳突破专题一 导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时,关键是搞清所给的点是不是切点,常见类型有两种:(1)“函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线方程”,这种类型中(x0,f(x0))是切点,其切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)“函数y=f(x)的图象过点P(x0,y0)的切线方程”,这种类型中,该点不一定是切点,可先设切点Q(x1,y1),则切线斜率为f'(x1),再由切线过点P(x0,y0)得切线斜率为 ,于是f'(x1)= ①,又y1=f(x1)②,由方程①②可求得切点Q(x1,y1),于是可求出过点P(x0,y0)的切线方程.【典型例题1】已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11, g(x)=3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)因为f'(x)=3ax2+6x-6a,且f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,得a=-2.当x0=1时,g'(1)=12,切点坐标为(1,21),所以切线方程为y=12x+9;当x0=-1时,g'(-1)=0,切点坐标为(-1,9),所以切线方程为y=9.下面求曲线y=f(x)的斜率为12和0的切线方程:因为f(x)=-2x3+3x2+12x-11,所以f'(x)=-6x2+6x+12.由f'(x)=12,得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11;当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10.所以y=12x+9不是公切线.由f'(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.当x=-1时,f(-1)= -18,此时切线方程为y=-18;当x=2时,f(2)=9,此时切线方程为y=9,所以直线y=9是公切线.综上所述,当k=0时,直线y=9是两曲线的公切线.规律方法 此题直线m恒过点(0,9)是解题的突破口,即若直线m是曲线y=f(x),y=g(x)的公切线,则切线必过点(0,9).一般说来,求过定点的两曲线公切线的一般思路是:先求出过定点的一曲线的切线方程,再令斜率值与另一曲线对应函数的导数相等,求出可能的切点,得出对应切线方程.若两条直线方程相同,则为公切线;若不同,则不存在公切线.当然,也可能会存在切线斜率不存在的情况.专题二 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减.应注意:在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在这个区间内单调递增(或单调递减)的充分条件,而不是必要条件.如果f(x)在某个区间内单调递增,那么f'(x)≥0;如果f(x)在某个区间内单调递减,那么f'(x)≤0.利用导数研究函数单调性的步骤为:(1)求f'(x);(2)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;(3)确定并指出函数的单调递增区间、单调递减区间.【典型例题2】设函数f(x)=ax2-a-ln x,g(x)= ,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0.(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s'(x)=ex-1-1.当x>1时,s'(x)>0,s(x)在区间(1,+∞)内单调递增,得s(x)>s(1),即ex-1>x,规律方法 1.利用导数求函数的单调区间,也就是求函数定义域内不等式f'(x)>0或f'(x)<0的解集.2.已知函数在某个区间上单调,求参数问题,通常是转化为恒成立问题.专题三 利用导数研究函数的极值、最值 由函数的解析式能求出函数的极值和最值,反过来由函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围.另外,这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查.【典型例题3】已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且f(x)的图象在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](03)(单位:千元).设该容器的建造费用为y(单位:千元).(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时r的值.规律方法 利用导数解答实际问题的一般步骤(1)利用题设中的条件建立目标函数.(2)根据题目中所要求解的问题,利用导数解答,通常是通过判断函数的单调性来求最值.专题五 思想方法专题1.函数与方程思想在解决不等式证明的问题时,一种非常重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的单调性解决问题.证明时灵活构造函数关系,尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数.【典型例题5】已知函数f(x)=ax-xln x(a∈R)的最大值为1.(1)求a的值;(2)证明:f(x)≤e-2x+2x2.(1)解:由题意可知x>0,f'(x)=a-1-ln x,令f'(x)=a-1-ln x=0,得x=ea-1>0,故当x∈(0,ea-1)时,f'(x)>0,当x∈(ea-1,+∞)时,f'(x)<0,可得函数f(x)在区间(0,ea-1)内单调递增,在区间(ea-1,+∞)内单调递减;故f(x)在x=ea-1处取到最大值,即f(ea-1)=1,可得a=1.(2)证明:欲证f(x)≤e-2x+2x2,即证明e-2x+2x2≥x-xln x.令h(x)=e-2x+2x2-x+xln x,则h'(x)=-2e-2x+4x+ln x.方法技巧 1.证明不等式的基本方法:(1)利用单调性:若f(x)在区间[a,b]上单调递增,则①∀x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②∀x1,x2∈[a,b],且x1g(x)+ ;(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.方法技巧 1.讨论极值、最值的实质是讨论函数的单调性,即f'(x)的正负.2.求最大值要在极大值与端点值中取最大者,求最小值要在极小值与端点值中取最小者.4.等价转化思想数学问题中,已知条件是结论成立的保证,但有的问题已知条件和结论之间距离比较大,难于解出.因此,如何将已知条件经过转化,逐步向需求结论靠拢,这就是解题过程中经常要做的工作,变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替,使得原条件中的隐含因素显露出来,使各种关系明朗化,从而缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之间的内在联系,以便应用数学规律、方法将问题解决.【典型例题8】已知函数f(x)=ln x-ax+a(a为常数)的最大值为0.(1)求实数a的值;方法技巧 利用导数解决不等式问题(如:证明不等式,比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后判断这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.