人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理背景图课件ppt

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理背景图课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了课前·基础认知，课堂·重难突破，素养·目标定位，随堂训练，素养•目标定位，目标素养，知识概览，四涂色与种植问题等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例,了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,能应用它们解决简单的实际问题.2.正确理解“完成一件事情”的含义;根据问题特征,正确地区分“分类”或“分步”.3.通过两个计数原理的学习,提升数学抽象及数学建模的核心素养.
1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=　m+n　种不同的方法. 
微思考1分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”如何理解?提示:分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”,是指完成这件事的所有方法可以分为两类,即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务,两类中没有相同的方法,且完成这件事的任何一种方法都在某一类中.
微训练1从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车有3个班次,火车有4个班次,轮船有2个班次,那么一天内从A地到B地不同的方法种数为(　　)A.1+1+1=3B.3+4+2=9C.3×4×2=24 D.以上都不对答案:B
解析:分三类:第1类,乘汽车,从3个班次中选1个班次有3种方法;第2类,乘火车,从4个班次中选1个班次有4种方法;第3类,乘轮船,从2个班次中选1个班次有2种方法.根据分类加法计数原理,共有3+4+2=9种不同的方法.
2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=　m×n　种不同的方法. 
微思考2(1)分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”如何理解?提示:分步乘法计数原理中的“完成一件事需要两个步骤”,是指完成这件事的任何一种方法,都需要分成两个步骤.在每一个步骤中任选一种方法,然后相继完成这两个步骤就能完成这件事,即各个步骤是相互依存的,每个步骤都要做完才能完成这件事.
(2)如何区分一个问题是“分类”还是“分步”?提示:若完成这件事,可以分几种情况,每种情况中任何一种方法都能完成任务,则是分类;若从其中一种情况中任取一种方法只能完成任务的一部分,且只有依次完成各种情况,才能完成这件事,则是分步.
微训练2已知x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则xy可表示不同的值的个数为(　　)A.10B.6C.8D.9答案:D解析:求xy的值分两步取值:第1步,x的取值有3种;第2步,y的取值有3种.故有3×3=9个不同的值,且经检验计算结果均不相同.
一 分类加法计数原理
典例剖析1.所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
解:(方法一)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个.根据分类加法计数原理,满足条件的两位数的个数是8+7+6+5+4+3+2+1=36.(方法二)按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个.根据分类加法计数原理,满足条件的两位数的个数是1+2+3+4+5+6+7+8=36.
规律总结 利用分类加法计数原理计数时的解题流程
学以致用1.某校高三年级(1)班、(2)班和(3)班的人数如表所示:
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?
解:(1)从三个班中选1名学生任学生会主席,可以分为三类:第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有45种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有50种不同的选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为50+45+50=145.(2)由题意可知共有三类方案:第1类,从高三(1)班男生中任选1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中任选1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中任选1名学生,有18种不同的选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为30+30+18=78.
二 分步乘法计数原理
典例剖析2.从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c,则可以组成多少条不同的抛物线?解:第1步选系数a(a不能为0),有5种选法.第2步选系数b,有5种选法.第3步选系数c,有4种选法.根据分步乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4=100.
规律总结 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
学以致用2.从1,2,3,4中选三个数字,组成无重复数字的三位数,则满足下列条件的数有多少个?(1)三位数;(2)三位偶数.
解:(1)分三步完成:第1步,排个位,有4种方法;第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法;第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法.根据分步乘法计数原理,三位数共有4×3×2=24(个).(亦可从最高位排起)
(2)分三步完成:第1步,排个位,只能从2,4中选1个,有2种方法;第2步,排十位,从剩下的3个数字中选1个,有3种方法;第3步,排百位,从剩下的2个数字中选1个,有2种方法.根据分步乘法计数原理,三位偶数共有2×3×2=12(个).
三 两个计数原理的综合应用
典例剖析3.现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?
解:(1)分为三类:第1类,从国画中选,有5种不同的选法;第2类,从油画中选,有2种不同的选法;第3类,从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14种不同的选法.(2)国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70种不同的选法.
(3)分为三类:第1类是一幅选自国画,一幅选自油画,有5×2=10种不同的选法;第2类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35种不同的选法;第3类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有10+35+14=59种不同的选法.
规律总结 两个计数原理的联系与区别
学以致用3.在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋,现从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?解:选参加象棋比赛的学生有两种方法:一种方法是从只会下象棋的3人中选,另一种方法是从既会下象棋又会下围棋的2人中选;选参加围棋比赛的学生也有两种选法:一种方法是从只会下围棋的2人中选,另一种方法是从既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配,可得四类不同的选法.
第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2=6种选法;第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2=6种选法;第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2=4种选法;
第4类,2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法.根据分类加法计数原理,共有6+6+4+2=18种选法.
典例剖析4.(1)若将3种作物全部种植在5块试验田中,如图所示,每块试验田种植一种作物,且相邻的试验田不能种植同一种作物,则不同的种植方法共有　　　　　种. 答案:42
解析:分别用a,b,c代表3种作物,先安排第1块田,有3种方法,不妨设放入a,再安排第2块田,有2种方法,不妨设放入b,第3块田也有2种方法,可种作物a或c.①若第3块田放c:第4,5块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法.
②若第3块田放a:第4块有2种方法,可种作物b或c,若第4块放c:第5块有2种方法;若第4块放b:第5块只能种作物c,共1种方法.故共有3×2×(4+2+1)=42种方法.
(2)用红、黄、蓝、白、黑5种颜色给“田”字形的4个小方格涂色,如图所示,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以重复使用,那么共有多少种不同的涂色方法?解:第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12种不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知,有5×12×3=180种不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种不同的涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知,有5×4×4=80种不同的涂法.由分类加法计数原理可得,共有180+80=260种不同的涂法.
规律总结 解决涂色、种植问题的一般思路(1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法:①按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析.②以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.③将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.
(2)种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数.
学以致用4.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个顶点颜色不同,若只有5种颜色可供使用,且颜色可重复使用,则不同染色方法的总数为　　　　　. 答案:420
解析:按照S→A→B→C→D的顺序进行染色,按照A,C是否同色分为两类:第1类,A,C同色,有5×4×3×1×3=180种不同的染色方法;第2类,A,C不同色,有5×4×3×2×2=240种不同的染色方法.根据分类加法计数原理,共有180+240=420种不同的染色方法.
1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5名同学只会用综合法证明,有3名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这一数学问题,不同的选法种数为(　　)A.8B.15C.18D.30答案:A解析:依据分类加法计数原理,共有5+3=8种不同的选法.
2.用0,1,…,9这10个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)A.243B.252C.261D.648答案:B解析:0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900(个)三位数,其中无重复数字的三位数有9×9×8=648(个),因此有重复数字的三位数有900-648=252(个).
3.有5名乒乓球队员,其中2名是老队员,其他3名是新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有　　　　　种. 答案:9解析:分为两类:第1类,入选的3名队员,有2名老队员、1名新队员,有3种选法;第2类,入选的3名队员,有2名新队员、1名老队员,有2×3=6种选法.依据分类加法计数原理,共有6+3=9种不同选法.
4.如图,用4种不同的颜色给图中的矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形颜色不同,且颜色可以重复使用,则不同的涂法有　　　　　种. 答案:108解析:分四步完成:第1步,涂A,有4种涂法;第2步,涂B,有3种涂法;第3步,涂C,有3种涂法;第4步,涂D,有3种涂法.依据分步乘法计数原理,共有4×3×3×3=108种涂法.
5.用0,1,2,3,4五个数字,(1)可以排出多少个三个数字的密码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?解:(1)三个数字的密码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125(个).(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第2,3位可以排0,所以共有4×5×5=100(个).