广西专版2023_2024学年新教材高中数学综合检测A卷新人教版选择性必修第二册

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册全册综合同步练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

综合检测(A卷)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.6
答案:B
解析:由题意,得a6=2a4-a2=2×2-4=0.
2.曲线y=sin x+ex(其中e=2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为(　　)
A.2 B.3
C. D.
答案:A
解析:∵y'=cosx+ex,
∴所求斜率k=cos0+e0=2,故选A.
3.若函数f(x)=ax2+ln x的图象上存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案:A
解析:易知f'(x)=2ax+(x>0).
若函数f(x)=ax2+lnx的图象上存在垂直于y轴的切线,则2ax+=0存在大于0的实数根,于是a=-<0,即所求实数a的取值范围为(-∞,0).
4.设Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn=2an-3,则S6=(　　)
A.192 B.96 C.93 D.189
答案:D
解析:∵Sn=2an-3,当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3,当n≥1时,Sn-1=2an-1-3,
∴Sn-Sn-1=2an-3-(2an-1-3),
∴an=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴=2.
故{an}是首项为3,公比为2的等比数列.
∴an=3×2n-1.∴S6==189.
5.若函数f(x)在区间(0,+∞)内可导,且满足f(x)>-xf'(x),则一定有(　　)
A.函数F(x)=在区间(0,+∞)内单调递增
B.函数F(x)=在区间(0,+∞)内单调递减
C.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)内单调递增
D.函数G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)内单调递减
答案:C
解析:设G(x)=xf(x),则G'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故G(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
6.已知函数f(x)=x2+2cos x,f'(x)是f(x)的导函数,则函数y=f'(x)的图象大致为(　　)


答案:C
解析:f'(x)=2x-2sinx,显然f'(x)是奇函数,设g(x)=2x-2sinx,则g'(x)=2-2cosx≥0,所以g(x)在R内单调递增,即f'(x)在R内单调递增.观察题中四个选项可知,只有选项C符合.
7.若曲线f(x)=(ax-1)ex-2在点(2,f(2))处的切线过点(3,3),则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,2)
答案:A
解析:∵f(x)=(ax-1)ex-2,f(2)=(2a-1)e0=2a-1,
∴f'(x)=aex-2+(ax-1)ex-2=(ax+a-1)ex-2,
∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为f'(2)=(3a-1)e0=3a-1,又切线过点(3,3),
∴=3a-1,解得a=1.
∴f(x)=(x-1)ex-2,
∴f'(x)=ex-2+(x-1)ex-2=xex-2.
∵ex-2>0,∴当x>0时,f'(x)>0.
故函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
8.已知定义在R上的奇函数f(x),设其导数为f'(x),当x∈(-∞,0)时,恒有xf'(x)F(2x-1)的实数x的取值范围为(　　)
A.(-1,2) B.
C. D.(-2,1)
答案:A
解析:∵f(x)是奇函数,
∴当x∈(-∞,0)时,不等式xf'(x) ∵F(x)=xf(x),∴F'(x)=xf'(x)+f(x),
∴当x∈(-∞,0)时,F'(x)<0,∴函数F(x)单调递减.
∵f(x)是奇函数,∴F(x)=xf(x)为偶函数,
∴当x>0时,F(x)单调递增,
∴不等式F(3)>F(2x-1)等价于F(3)>F(|2x-1|),且|2x-1|<3,
∴-3<2x-1<3,得-1 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N*),则下列说法正确的是(　　)
A.a5=-16 B.S5=-63
C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn+1}是等比数列
答案:AC
解析:因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+1(n∈N*),所以S1=2a1+1,因此a1=-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,以2为公比的等比数列,故C正确;
因此a5=-1×24=-16,故A正确;
又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;
因为S1+1=0,所以数列{Sn+1}不是等比数列,故D错误.故选AC.
10.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c,下列说法中正确的是(　　)
A.∃x0∈R,f(x0)=0
B.若f(x)有极大值M,极小值m,则必有M>m
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)内单调递减
D.若f'(x0)=0,则x0是f(x)的极值点
答案:ABC
解析:因为当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→-∞时,f(x)→+∞,由零点存在性定理知∃x0∈R,f(x0)=0,故A正确;
因为f'(x)=-3x2+2ax+b,若f(x)有极大值M,极小值m,则f'(x)=0有两根x1,x2,不妨设x1f(x1)=m,故B,C正确;
导数为0的点不一定是极值点,故D错误.
故选ABC.
11.设{an}是无穷数列,若存在正整数k,使得对任意n∈N*,均有an+k>an,则称{an}是间隔递增数列,k是{an}的间隔数,下列说法正确的是(　　)
A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B.若an=n+,则{an}是间隔递增数列
C.若an=2n+(-1)n,则{an}是间隔递增数列且最小间隔数是2
D.已知an=n2-tn+2 022,若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4≤t<5
答案:BCD
解析:A.设等比数列{an}的公比为q(q>1),则an+k-an=a1qn+k-1-a1qn-1=a1qn-1(qk-1).
因为q>1,所以当a1<0时,an+k B.an+k-an=n+k+=k=k·,
令f(n)=n2+kn-4,则y=f(n)在n∈N*上单调递增.
令f(1)=1+k-4>0,解得k>3,故B正确.
C.an+k-an=2(n+k)+(-1)n+k-[2n+(-1)n]=2k+(-1)n·[(-1)k-1],当n为奇数时,an+k-an=2k-(-1)k+1,存在k≥1,使an+k-an>0成立;当n为偶数时,an+k-an=2k+(-1)k-1,存在k≥2,使an+k-an>0成立.
综上,{an}是间隔递增数列且最小间隔数是2,故C正确.
D.若{an}是间隔递增数列且最小间隔数是3,则an+k-an=(n+k)2-t(n+k)+2022-(n2-tn+2022)=k2+(2n-t)k>0,n∈N*成立,
则对于k2+(2n-t)k≥k2+(2-t)k>0,存在k≥3使之成立,
且对于k2+(2-t)k≤0,存在k≤2使之成立.
即对于k+(2-t)>0,存在k≥3使之成立,且对于k+(2-t)≤0,存在k≤2使之成立,
所以t-2<3,且t-2≥2.解得4≤t<5,故D正确.
故选BCD.
12.关于函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1(a是常数,a∈R,e=2.718…为自然对数的底数),下列说法正确的是(　　)
A.f(x)恒有两个零点且两个零点之积为-1
B.f(x)恒有两个极值点且两个极值点之积为-1
C.若x=-2是f(x)的一个极值点,则f(x)的极小值为-1
D.若x=-2是f(x)的一个极值点,则f(x)的极小值为1
答案:AC
解析:因为ex-1>0,方程x2+ax-1=0,Δ=a2+4>0,所以关于x的方程x2+ax-1=0一定有两个实根,且两根之积为-1,
所以f(x)=(x2+ax-1)ex-1恒有两个零点且两个零点之积为-1,即A正确;
f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,ex-1>0,对于x2+(a+2)x+a-1=0,Δ=(a+2)2-4(a-1)=a2+8>0,所以x2+(a+2)x+a-1=0恒有两个不等实根,且导函数在这两个实根附近左右异号,两根之积为a-1,所以f(x)恒有两个极值点且两个极值点之积为a-1,所以B错误;
若x=-2是f(x)的一个极值点,则f'(-2)=(4-2a-4+a-1)×e-2-1=0,解得a=-1.
f(x)=(x2-x-1)ex-1,f'(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1,
当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(1,+∞),单调递减区间为(-2,1),所以函数的极小值为f(1)=-1,所以C正确,D错误.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上.
13.设f(n)=1-+…+,则f(k+1)=f(k)+　　　　　　　　(不用化简). 
答案:
解析:∵f(n)=1-+…+,
∴f(k+1)=1-+…+,
f(k)=1-+…+,
∴f(k+1)-f(k)=.
14.已知函数f(x)在R上连续可导,f'(x)为其导函数,且f(x)=ex+2xf'(0),则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为　　　　　　　　　　. 
答案:y=-x+1
解析:由题意,f'(x)=ex+2f'(0),所以f'(0)=e0+2f'(0)=1+2f'(0),因此f'(0)=-1,所以f(x)=ex-2x,所以f(0)=1,所以所求切线方程为y-1=-(x-0),即y=-x+1.
15.某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年,则其总花费(含购买费用)为　　　　　　　　万元;当n=　　　　　时,该渔船年平均花费最低(含购买费用). 
答案:n2+3n+100　10
解析:由题意,知该渔船每年所需费用是首项为4,公差为2的等差数列,则总花费S(n)=n×4+×2+100=n2+3n+100.
于是年平均花费为=n++3≥2+3=23,当且仅当n=,即n=10时,等号成立,也即n=10时,该渔船年平均花费最低.
16.牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出了一个数列{xn}:xn+1=xn-,我们把该数列称为牛顿数列.若函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1和3,数列{xn}为牛顿数列,an=lg,且a1=3,xn>3,则数列{an}的通项公式为an=　　　　　.
答案:3×2n-1
解析:由函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点1和3,可得f(x)=a(x-1)(x-3)=ax2-4ax+3a(a>0).则f'(x)=2ax-4a(a>0).
由题意,得xn+1=xn-=xn-.
则,又xn>3,于是an+1=lg=lg=2lg=2an,又a1=3,因而数列{an}是首项为3,公比为2的等比数列,故an=3×2n-1.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S5=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足a4+b4=9,且公比为q,从①q=2;②q=;③q=-1这三个条件中任选一个作为题目的已知条件,求数列{an-bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为Sn=na1+d,且a1=2,
所以S5=10+10d=20,解得d=1,所以an=n+1.
(2)由(1)可知,a4=5,又a4+b4=9,所以b4=4.
若选择条件①q=2,可得b1=.
Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)
=-2n-1+.
若选择条件②q=,可得b1==32,
Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)
=+26-n-64.
若选择条件③q=-1,可得b1==-4,
Tn=(a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)
=+2[1-(-1)n].
18.(12分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1,bn=an+n.
(1)证明:数列{bn}是等比数列;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn.
(1)证明:由bn=an+n,得bn+1=an+1+n+1,又an+1=2an+n-1,
∴=2.
又b1=a1+1=2,
∴数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)可得an+n=2n,则an=2n-n.
于是数列{an}的前n项和Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n
=(21+22+…+2n)-(1+2+3+…+n)=2n+1-2-.
19.(12分)已知函数f(x)=-ln x-,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解:(1)对f(x)求导得f'(x)=,由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x,知f'(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由(1)可知f(x)=-lnx-,
则f'(x)=.
令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.
因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去.
当x∈(0,5)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,5)内单调递减;当x∈(5,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(5,+∞)内单调递增.
由此可知,函数f(x)在x=5处取得极小值,且极小值为f(5)=-ln5,无极大值,且f(x)的单调递减区间为(0,5),单调递增区间为(5,+∞).
20.(12分)已知f(x)=-a(x-1)+ln x-1(a∈R),其中e为自然对数的底数.设g(x)=f'(x).
(1)求g(x)的单调区间;
(2)若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意,得f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-a,
∴g(x)=f'(x)=-a.
∴g'(x)=,易知g'(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g'(1)=0,
∴当x∈(0,1)时,g'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
∴g(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
故函数g(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)由(1)知,g(x)在区间(1,+∞)内单调递增,即f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,则当x≥1时,g(x)≥g(1)=2-a,即f'(x)≥2-a,
当a≤2时,f'(x)≥0,f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,则f(x)≥f(1)=0,符合题意;
当a>2时,f'(1)=2-a<0,f'(1+lna)=>0,
则存在x0∈(1,1+lna),使f'(x0)=0,
又f'(x)在区间[1,+∞)内单调递增,
∴当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,则f(x0) 综上,若当x≥1时,f(x)≥0恒成立,则a≤2.
21.(12分)已知等比数列{an}满足a1,a2,a3-a1成等差数列,且a1a3=a4;等差数列{bn}的前n项和Sn=.求:
(1)an,bn;
(2)数列{anbn}的前n项和Tn.
解:(1)设{an}的公比为q.
因为a1,a2,a3-a1成等差数列,
所以2a2=a1+(a3-a1),即2a2=a3.
因为a2≠0,所以q==2.
因为a1a3=a4,所以a1==q=2.
因此an=a1qn-1=2n.
所以Sn=.
所以b1=S1=1,b1+b2=S2=3,从而b2=2.
所以数列{bn}的公差d=b2-b1=2-1=1.
所以bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)·1=n.
(2)令cn=anbn,则cn=n×2n.
因此Tn=c1+c2+…+cn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n.
则2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,两式相减得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2.
所以Tn=(n-1)×2n+1+2.
22.(12分)设函数f(x)=ax-xa(x>0,a>1).
(1)证明:对任意x∈(0,+∞),都有ln x<;
(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求f(x)的极值.
(1)证明:令h(x)=lnx-(x>0),则h'(x)=,令h'(x)=0,得x=4.
则当x∈(0,4)时,h'(x)>0,当x∈(4,+∞)时,h'(x)<0.
所以h(x)在区间(0,4)内单调递增,在区间(4,+∞)内单调递减,
所以函数h(x)在x=4处取得极大值,也是最大值.
所以h(x)的最大值为h(4)=ln4-2=2(ln2-1)<0,所以h(x)<0在区间(0,+∞)内恒成立,
所以对任意x∈(0,+∞),都有lnx<.
(2)解:由f(x)=0,得ax=xa,则xlna=alnx,所以,
所以f(x)的零点个数即方程解的个数.
令g(x)=(x>0),则g'(x)=,且g(a)=,令g'(x)=0,得x=e.
则当x∈(0,e)时,g'(x)>0,当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,又因为g(1)=0,且由(1)知,当x∈(0,+∞)时,,则当x→+∞时,g(x)→0,又因为a>1,所以当a=e时,g(x)=g(a)有且只有一个解,所以若函数f(x)有且只有一个零点,则a=e,此时f(x)=ex-xe,
所以f'(x)=ex-exe-1=e(ex-1-xe-1).
令φ(x)=x-1-(e-1)lnx(x>0),
则φ'(x)=1-,
令φ'(x)=0,得x=e-1.
则当x∈(0,e-1)时,φ'(x)<0,当x∈(e-1,+∞)时,φ'(x)>0.
所以φ(x)在区间(0,e-1)内单调递减,在区间(e-1,+∞)内单调递增,又φ(1)=φ(e)=0,
所以当x∈(0,1)时,φ(x)>0,当x∈(1,e)时,φ(x)<0,当x∈(e,+∞)时,φ(x)>0,
所以当x∈(0,1)时,x-1>(e-1)lnx,则ex-1>xe-1,则f'(x)>0,
同理可得,当x∈(1,e)时,f'(x)<0;
当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0.
所以x=1和x=e分别是函数f(x)的极大值点和极小值点.
所以f(x)的极大值为f(1)=e-1,极小值为f(e)=0.