广西专版2023_2024学年新教材高中数学综合检测B卷新人教版选择性必修第一册

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
综合检测(B卷)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为(　　)
A. B.-
C.8 D.-8
答案:B
解析:由y=ax2得x2=y,则=-8,得a=-.
2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为(　　)
A. B.3
C. D.5
答案:B
解析:点A与圆心的距离为,
故切线长为=3.
3.若双曲线C1:=1与C2:=1(a>0,b>0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为4,则b=(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
答案:B
解析:由题意得,=2,则b=2a.①
因为双曲线C2的焦距2c=4,
所以c==2.②
联立①②,得b=4.
4.在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若=1,则点C的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
答案:A
解析:设|AB|=2a(a>0),以线段AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.

则A(-a,0),B(a,0),设C(x,y),可得=(x+a,y),=(x-a,y),
从而=(x+a)(x-a)+y2=1,
整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹是以线段AB的中点为圆心,为半径的圆.
5.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离等于1,则半径r的值为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.9
答案:A
解析:由题意可得,圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离等于r+1,即=r+1,解得r=4.
6.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:设AB=1,则AA1=2,如图,以D1为坐标原点,分别以D1A1,D1C1,D1D所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D1xyz,

则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),
=(1,1,0),=(0,1,-2),=(0,1,0),
设n=(x,y,z)为平面BDC1的法向量,
则
令z=1,则n=(-2,2,1)为平面BDC1的一个法向量.
设CD与平面BDC1所成的角为θ,
则sinθ=|cos|=.
7.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足,则||2的值为(　　)

A. B.2
C. D.
答案:D
解析:由题可知||=1,||=1,||=,
=45°,=45°,=60°.
则||2=+2-×1×1×+1×-1×.
8.已知过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为(　　)
A.2 B.-2
C. D.-
答案:D
解析:设直线m:y=k1(x+2),联立消去y,得x2+2(x+2)2-2=0,
整理,得(1+2)x2+8x+8-2=0,
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点P(x0,y0),
则x1+x2=,x0=,
y0=k1(x0+2)=.
于是k2==-.故k1k2=-.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.对于直线l2:3x+(a-1)y+3-a=0和直线l1:ax+2y+3a=0,以下说法正确的有(　　)
A.直线l2一定过定点
B.若l1⊥l2,则a=
C.l1∥l2的充要条件是a=3
D.点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为5
答案:ABD
解析:直线l2:3x+(a-1)y+3-a=0,即直线为a(y-1)+(3x-y+3)=0,所以直线l2过定点,故A正确;当l1⊥l2时,3a+2(a-1)=0,解得a=,故B正确;当l1∥l2时,a(a-1)-6=0,解得a=3或a=-2,当a=-2时,两直线为x-y+3=0,x-y+=0,符合题意;当a=3时,两直线为3x+2y+9=0,3x+2y=0,符合题意,故C错误;因为直线l1:ax+2y+3a=0,即a(x+3)+2y=0,过定点(-3,0),当直线l1:ax+2y+3a=0与点P(1,3)和(-3,0)的连线垂直时,P(1,3)到直线l1的距离最大,最大值为=5,故D正确.故选ABD.
10.已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P是双曲线C上异于双曲线顶点的一点,且=0,则下列结论正确的是(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
答案:ACD
解析:由双曲线方程x2-y2=1得其渐近线方程为y=±x,故A正确;
由题意得F1(-,0),F2(,0),则以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;
F1(-,0),取一条渐近线y=x,点F1到该渐近线的距离d==1,C正确;
不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2①,
因为=0,所以PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8②,
由①②得|PF1||PF2|=2,则△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|=×2=1,D正确.
11.已知圆C:x2+y2-kx+2y+k2-k+1=0,则下列说法正确的是(　　)
A.k的取值范围是k>0
B.若k=4,过点M(3,4)的直线l与圆C相交所得弦长为2,则直线l的方程为12x-5y-16=0
C.若k=4,圆C与圆x2+y2=1相交
D.若k=4,m>0,n>0,直线mx-ny-1=0恒过圆C的圆心,则≥8恒成立
答案:ACD
解析:对于A,方程表示圆的条件是(-k)2+22-4>0,解得k>0,故A正确;
对于B,若k=4,圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4,因为直线l与圆C相交所得弦长为2,则圆心C(2,-1)到直线l的距离为1,当直线l的斜率不存在时,x=3,满足条件,故B错误;
对于C,圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C(2,-1),半径r1=2,圆x2+y2=1,圆心O(0,0),半径r2=1,因为r1-r2=10,所以(2m+n)=4+≥4+2=8,当且仅当m=,n=时取等号,故D正确.
12.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1,BC1⊥AB1,点D为AC的中点,E为四边形BCC1B1内(包含边界)的动点,则下列说法正确的是(　　)

A.)
B.若DE∥平面ABB1A1,则动点E的轨迹的长度等于AC
C.异面直线AD与BC1所成角的余弦值为
D.若点E到平面ACC1A1的距离等于EB,则动点E的轨迹为抛物线的一部分
答案:BCD
解析:对于选项A,),选项A错误.

对于选项B,过点D作AA1的平行线交A1C1于点D1.以D为坐标原点,DA,DB,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设正三棱柱底面边长为a(a>0),侧棱长为b(b>0),
则A,B,B1,C1,
所以=,=.
因为BC1⊥AB1,所以=0,
即+b2=0,解得b=a,
分别取B1C1的中点F,BC的中点G,连接D1F,FG,DG,则FG∥BB1,D1F∥A1B1,于是平面D1FGD∥平面ABB1A1,又因为DE∥平面ABB1A1,且E为四边形BCC1B1内(包含边界)的动点,所以点E的轨迹为线段FG,则动点E的轨迹的长度等于BB1=AC,选项B正确.
对于选项C,在选项B的基础上,A,B,D(0,0,0),C1,
所以,|cos|=,
故异面直线AD与BC1所成角的余弦值为,选项C正确.
对于选项D,如图,设点E在底面ABC上的射影为点E1,过点E1作E1F⊥AC,垂足为F,则EE1∥平面ACC1A1,点E到平面ACC1A1的距离即为点E1到平面ACC1A1的距离E1F,所以E1F=EB,又因为在△CE1F中,E1F=E1C,所以EB=E1C,因为E1C⊥CC1,所以点E到直线CC1的距离等于E1C,故点E满足抛物线的定义,又点E为四边形BCC1B1内(包含边界)的动点,所以动点E的轨迹为抛物线的一部分.故D正确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若直线l过直线x-y+1=0和直线x+y-=0的交点,并且原点到直线l的距离为,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　. 
答案:x=或x-y+1=0
解析:由得交点坐标为.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,满足条件;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k,即2kx-2y+-k=0,则原点(0,0)到直线l的距离d=,解得k=,所以直线l的方程为x-y+1=0.所以直线l的方程为x=或x-y+1=0.
14.已知F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点,A为右顶点,P是双曲线C上的点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则双曲线C的离心率为　　　　　. 
答案:
解析:由已知得|AF|=a+c,设点P(x,y),由PF⊥x轴,则x=-c,代入双曲线方程可得y=±,即|PF|=,又|PF|=|AF|,所以(a+c),即b2=a2+ac⇔4(c2-a2)=a2+ac,整理可得4c2-ac-5a2=0,故4e2-e-5=0,解得e=或e=-1(舍),故离心率等于.
15.设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若椭圆C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则椭圆C的离心率的取值范围是　　　　　　　　. 
答案:
解析:由题意,点B(0,b).
设P(x0,y0),则=1,得=a2,
∴|PB|2=+(y0-b)2=a2-2by0+b2=--2by0+a2+b2,y0∈[-b,b].
由题意知当y0=-b时|PB|2最大,
∴-≤-b,得b2≥c2,即a2-c2≥c2,
∴离心率e=,即e∈.
16.在边长为1的等边三角形ABC中,沿边BC的高线AD折起,使得二面角B-AD-C为60°,则点D到平面ABC的距离为　　　　　. 
答案:
解析:∵AD⊥CD,AD⊥BD,∴AD⊥平面BCD,且∠BDC为二面角B-AD-C的平面角,∴∠BDC=60°.
以D为原点,过点D作DC的垂线为x轴,DC,DA所在直线分别为y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,如图.

则D(0,0,0),A,C,B,
,设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,
则
取y=,则x=1,z=1,
∴n=(1,,1)为平面ABC的一个法向量,
则点D到平面ABC的距离d=.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2(1)相交?(2)平行?(3)重合?
解:当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2.
当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,l1与l2相交.
当m≠0,且m≠2时,由得m=-1或m=3,由,得m=3.
故(1)当m≠-1,且m≠3,且m≠0时,l1与l2相交.
(2)当m=-1或m=0时,l1∥l2.
(3)当m=3时,l1与l2重合.
18.(12分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.

(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求平面QBP与平面PBC的夹角的余弦值.
(1)证明:如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.

设DA=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
于是=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
因而=0,=0,
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC,
∴平面PQC⊥平面DCQ.
(2)解:由题意得B(1,0,1),
则=(1,0,0),=(-1,2,-1).
设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,
则
因此可取平面PBC的一个法向量为n=(0,-1,-2).
同理可得平面QBP的一个法向量为m=(1,1,1).
设平面QBP与平面PBC的夹角为θ,则cosθ=|cos|=,即平面QBP与平面PBC的夹角的余弦值为.
19.(12分)如图,已知圆M的圆心在第一象限,与x轴相切于点A(,0),与直线y=2x相切于点B.

(1)求圆M的方程;
(2)圆M和圆x2+y2=1相交于P,Q两点,求线段PQ的长度.
解:(1)已知圆M的圆心在第一象限,与x轴相切于点A(,0),设圆心M(,b)(b>0),则圆M的方程为(x-)2+(y-b)2=b2,
由于圆M与直线y=2x相切于点B,故有=b,解得b=1,
故圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1.
(2)∵圆M和圆x2+y2=1相交于P,Q两点,把两个圆的方程相减,可得直线PQ的方程为2x+2y-3=0.
由于点O到直线PQ的距离d=,故|PQ|=2=2×=1.
20.(12分)如图,P-ABC是一个三棱锥,AB是圆的直径,C是圆上的一点,PC垂直于圆所在的平面,D,E分别是棱PB,PC的中点.

(1)求证:DE⊥平面PAC;
(2)若二面角A-DE-C是45°,AB=PC=4,求AE与平面ACD所成角的正弦值.
(1)证明:因为AB是圆的直径,所以BC⊥AC.
因为PC垂直于圆所在的平面,BC⊂平面ABC,所以BC⊥PC.
又因为AC∩PC=C,AC⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,因为D,E分别是棱PB,PC的中点,所以BC∥DE,从而有DE⊥平面PAC.
(2)解:由(1)可知,DE⊥平面PAC,AE,AC⊂平面PAC,所以DE⊥AE,DE⊥EC,所以∠AEC为二面角A-DE-C的平面角,从而有∠AEC=45°,则AC=EC=PC=2,又BC⊥AC,AB=4,得BC=2,

以C为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(0,2,0),E(0,0,2),B(2,0,0),P(0,0,4),D(,0,2),所以=(0,-2,2),=(0,2,0),=(,0,2).
设n=(x,y,z)是平面ACD的一个法向量,
则可取n=(2,0,-),设AE与平面ACD所成角为θ,
故sinθ=|cos|=,所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.
21.(12分)已知动圆P过点F,且与直线y=-相切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若A,B是曲线C上的两点,且直线AB过△AOB的外心,其中O为坐标原点,求证:直线AB过定点.
(1)解:设点P(x,y),
则,
整理得x2=y,
∴曲线C的方程为x2=y.
(2)证明:由题意可知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y得2x2-kx-m=0,则Δ=k2+8m>0,x1x2=-.
又y1=2,y2=2,
∴y1y2=2·2=4(x1x2)2=m2.
∵直线AB过△AOB的外心,
∴OA⊥OB,
∴=x1x2+y1y2=0,
∴-+m2=0,
又m≠0,∴m=,满足Δ>0,
∴直线AB过定点.
22.(12分)以椭圆C:=1(a>b>0)的中心O为圆心,为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P,左焦点为F,上顶点为Q,且满足|PQ|=2,S△OPQ=S△OFQ.
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆C的“准圆”的一条弦ED(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于M,N两点,当=0时,判断弦ED的长是不是定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
解:(1)设椭圆C的左焦点F(-c,0)(c>0),
因为S△OPQ=S△OFQ,
所以·a·b=·c·b,所以a=c.
由|PQ|=2,得a2+b2=4.
又因为b2+c2=a2,所以a2=3,b2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1,
椭圆C的“准圆”的方程为x2+y2=4.
(2)由题意,设直线ED的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去y,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,则x1+x2=,x1x2=.
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=.
因为=0,所以x1x2+y1y2=0,
即=0,
所以m2=(k2+1).
此时Δ=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=27k2+3>0成立.所以原点O到弦ED的距离d=,所以|ED|=2.
故弦ED的长为定值,且为.