初中数学12.2 三角形全等的判定课后复习题

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专题15半角模型证全等
1．【问题背景】
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．
【解答】（1）解：如图1，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．

（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；

（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，
在△AEB与△CGB中，
∵，
∴△AEB≌△CGB（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．
∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∴∠CBF+∠CBG＝45°．
在△EBF与△GBF中，
∵，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF＝GF，
∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．



2．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．


【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A＝∠C
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AE＝，CF＝，
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE＝BF＝EF，
∴AE＝CF＝，
∴AE+CF＝EF；
（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，

∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴点A与点C重合，
∵∠A＝∠BCF＝90°，
∴∠BCG+∠BCF＝180°，
∴点G、C、F三点共线，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，
∴∠GBF＝60°，
在△GBF与△EBF中，
，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG＝EF，
∴EF＝AE+CF；
（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：
如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，

∴AE＝CG，
由（2）同理得，点C、F、G三点共线，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，
∴BG＝BE，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠GBF＝60°，
在△BFG与△BFE中，
，
∴△BFG≌△BFE（SAS），
∴GF＝EF，
∴EF＝AE﹣CF．
3．（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是 　2＜AE＜8　；则中线AD的取值范围是 　1＜AD＜4　；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF　＞　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DF　＝　EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝　2a　（用含α的代数式表示）.
【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；
（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，

∵点D是BC的中点，
∴DB＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵ED⊥FD，FD＝GD，
∴EF＝EG，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF，
故答案为：＞；
（3）BE+DF＝EF，
如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠D，
又∵CB＝CD，BG＝DF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠DCF+∠BCE＝70°，
∴∠BCE+∠BCG＝70°，
∴∠ECG＝∠ECF＝70°，
又∵CE＝CE，CG＝CF，
∴△ECG≌△ECF（SAS），
∴EG＝EF，
∵BE+BG＝EG，
∴BE+DF＝EF，
故答案为：＝；
（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
若BE+DF＝EF，
则EG＝EF，
∴△ECF≌△ECG（SSS），
∴∠ECG＝∠ECF，
∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，
故答案为：2α．
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE+FD．

【解答】证明：延长CB至M，使BM＝FD，连接AM，如图所示：
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，
∴∠ABM＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，
∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，
即∠MAE＝∠EAF，
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴EF＝ME，
∵ME＝BE+BM，
∴EF＝BE+FD．

5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 　EF＝BE+DF　．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？
（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO＝BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．

【解答】解：（1）EF＝BE+DF；
证明：如图1，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF；

（2）EF＝BE+DF仍然成立．
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；

（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝20°+90°+（90°﹣60°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣20°）+（60°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝583米．


6．阅读下面材料：
小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．
小辉发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
请回答：在图2中，∠FCE的度数是 　90°　，DE的长为 　　．
参考小辉思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．

【解答】解：如图2，∵∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°，
在Rt△EFC中，∵CF＝BD＝3，CE＝1，
∴EF＝＝＝，
∴DE＝，
故答案为90°；；
如图3，
猜想：EF＝BE+FD．理由如下：
如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADG+∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上，
∵∠DAG＝∠BAE，
∴∠GAE＝∠BAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+FD＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD．

7．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝45°．猜测线段EF、BE、FD三者存在哪种数量关系？直接写出结论．（不用证明）结论：　EF＝BE+FD　．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜测的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

【解答】解：（1）延长CB到G，使BG＝FD，

∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．
故答案为：EF＝BE+FD；

（2）结论成立，应为EF＝BE+DF，
在CD的延长线上截取DG＝BE，（如图）
∵BE＝DG，AB＝AD，
∠B＝∠ADG＝90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠FAG，
AF＝AF，AE＝AG，
∴△AEF≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG＝EB+DF．

8．“截长补短法”证明线段的和差问题：
先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．
背景材料：
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　EF＝BE+FD　．
探索问题：
（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．

【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
9．（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；
（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2，
理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，

在△DCG与△DBE中，
，
∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分线段EG，
∴FG＝FE，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠FCG＝90°，
在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，
∴EF2＝BE2+CF2；
（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，
理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，

∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，
，
∴△DEM≌△DEF（SAS），
∴EF＝EM，
∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别是BC，CD上的
点，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度数．

【解答】解：延长FD到G使DG＝BE，连接AG，如图，

∵∠B+∠D＝180°，∠ADG+∠D＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，
∵EF＝BE+FD，
∴EF＝DG+DF＝GF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠FAG＝55°，
∵∠BAE＝∠GAD，
∴∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．
11．如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．

【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．

12．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，现将一个30°角的顶点落在点A处．
（1）如图①，当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；
（2）现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段BE与DF之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）

【解答】解：（1）如图①，
延长CB到H点，使BH＝DF，连接AH，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，
∴∠D+∠B＝180°，
∵∠ABE+∠ABH＝180°，
∴∠ABH＝∠D，
∵AD＝AB，BH＝DF，
∴在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴AH＝AF，∠HAB＝∠FAD，
∵∠DAB＝60°，∠FAE＝30°，
∴∠FAD+∠BAE＝30°，
∴∠BAE+∠HAB＝30°，即∠HAE＝30°，
在△HAE和△EAF中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴HE＝EF，
∵HE＝HB+BE＝DF+BE，
∴EF＝BE+DF；

（2）（1）中的结论不成立，
如图②，在BC上截取BH＝DF，
在△ABH与△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF，
∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，
∴∠EAF＝30°，
∴∠BAH+∠EAD＝30°，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠HAE＝30°，
在△HAE与△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE，
∴HE＝EF，
∵BE＝BH+HE，
∴BE＝DF+EF．


13．【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：　EF＝BE+DF　．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东60°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏西20°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正南方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿南偏东40°的方向以50海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF＝70°，试求此时两舰艇之间的距离．直接写出结果．

【解答】解：问题背景：EF＝BE+DF，证明如下：
如图1，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF；

探索延伸：
如图2，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合，

则△ADF≌△ABG，
∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF，（SAS）
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝DF+BE，
∴EF＝BE+FD；

结论应用：如图3，连接EF，

∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，
∴∠FOE＝70°＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠A+∠B＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+FB成立．
即，EF＝AE++FB＝1×30+1×50＝80（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为80海里．