初中数学人教版八年级上册14.1 整式的乘法综合与测试练习

专题31 十字相乘法因式分解

1．下列式子中，因式分解正确的是(   )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据十字相乘法即可分解因式．

【详解】解：．

故选：A．

【点睛】本题主要考查用十字相乘法分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键．

2．将多项式x2－2x－8分解因式，正确的是（    ）

A．（x＋2）（x－4） B．（x－2）（x－4）

C．（x＋2）（x＋4） D．（x－2）（x＋4）

【答案】A

【分析】利用十字相乘法分解即可．

【详解】解：，

故选：A．

【点睛】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．

3．分解因式x2-5x-14，正确的结果是（    ）

A．（x－5）（x－14） B．（x－2）（x－7） C．（x－2）（x＋7） D．（x＋2）（x－7）

【答案】D

【分析】根据-14=-7×2，-5=-7+2，进行分解即可．

【详解】解：x2-5x-14=（x-7）（x+2），

故选：D．

【点睛】本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解-十字相乘法是解题的关键．

4．把多项式分解因式，下列结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用公式即可得答案．

【详解】解：

故选:D．

【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握公式．

5．如果x2+kx﹣10＝（x﹣5）（x+2），则k应为（　　）

A．﹣3 B．3 C．7 D．﹣7

【答案】A

【分析】根据多项式乘以多项式把等号右边展开，即可得答案．

【详解】解：（x-5）（x+2）=x2-3x-10，

则k=-3，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是掌握x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．

6．如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．

【详解】解：A、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；

B、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；

C、，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；

D、，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；

故选C

【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解．

7．因式分解=_________

【答案】

【分析】先提公因式再利用十字相乘法进行因式分解即可；

【详解】解：；

故答案为：．

【点睛】本题考查分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

8．分解因式：______．

【答案】##

【分析】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可；

【详解】解：原式=；

故答案为：；

【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如x2+px+q的二次三项式，若能找到两数a、b，使a•b=q且a+b=p，那么x2+px+q= x2+（a+b）x+a•b=（x+a）（x+b）．

9．因式分解：______________．

【答案】

【分析】根据二次三项式的特征，采取十字相乘因式分解法直接分解即可．

【详解】解：采取十字相乘因式分解法直接分解，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，根据代数式特征选择恰当的因式分解方法是解决问题的关键．

10．因式分解：_______．

【答案】

【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．

【详解】解：因为，且是的一次项的系数，

所以，

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．

11．观察下列因式分解中的规律：①；②；③；④；利用上述系数特点分解因式__________．

【答案】

【分析】利用十字相乘法分解因式即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是明确二次项系数为1的十字相乘法公式：．

12．分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___．

【答案】

【分析】根据十字相乘法因式分解即可．

【详解】x2﹣7xy﹣18y2，

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

三、解答题

13．阅读材料：

由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．

示例：分解因式：x2+5x+6＝x²+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式：

(1)x2-3x-4；

(2)x2-7x+12．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式；

（2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式．

（1）

解：x2−3x−4

=x2+(1-4)x+1×(−4)

=(x+1)(x−4)；

（2）

解：x2−7x+12

=x2+(−3−4)x+(−3)×(−4)

=(x−3)(x−4)．

【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数．

14．阅读理解题：由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：．

示例：分解因式：．

分解因式：．

多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．

(1)尝试：分解因式：；

(2)应用：请用上述方法将多项式：、进行因式分解．

【答案】(1)2，4

(2)，

【分析】（1）利用阅读材料的方法解答，即可求解；

（2）利用阅读材料的方法解答，即可求解；

(1)

；

故答案为：2，4

(2)

解：

；

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，理解阅读材料的因式分解方法是解题的关键．

15．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．

这样，我们就可以得到：．

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

(1)__________；

(2)__________；

(3)__________；

(4)__________．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）仿照题意求解即可；

（2）仿照题意求解即可；

（3）仿照题意求解即可；

（4）仿照题意求解即可．

(1)

解：根据题意可知

(2)

解：根据题意可知

(3)

解：根据题意可知

(4)

解：根据题意可知

【点睛】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．

16．阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道，．反过来，就得到的因式分解形式，即．把这个多项式的二次项系数1分解为，常数项10分解为，先将分解的二次项系数1，1分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数（如图1）．

像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助“十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

例如，将二次三项式分解因式，它的“十字”如图2：

所以，．

请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：

(1)　　；

(2)　　；

(3)　　．

【答案】(1)（x+2）（x+3）

(2)（2x-1）（x-3）

(3)（x+2）（x-m）

【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案．

（1）

解：

由上图可知：x2+5x+6=（x+2）（x+3），

故答案为：（x+2）（x+3）；

（2）

解：

由上图可知：2x2-7x+3=（2x-1）（x-3），

故答案为：（2x-1）（x-3）；

（3）

解：

由上图可知：x2+（2-m）x-2m=（x+2）（x-m），

故答案为：（x+2）（x-m）．

【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤．

17．探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？    

（1）观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？ 答：________；    

（2）（阅读与理解）：由多项式乘法，我们知道（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解，即：x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

此类多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．

猜想并填空：x2+8x+15=x2+[（_____）+（_____）]x+（___）×（___）=（x+____）（x+_____）

（3）上面多项式x2+8x+15的因式分解是否符合题意，我们需要验证．请写出验证过程．

（4）请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：x2-x-12

【答案】（1）不能；（2）3；5；3；5；3；5；（3）x2+8x+15；（4）（x-4）（x+3）

【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征进行判断即可；

（2）将x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）即可得出答案；

（3）根据整式乘法计算（x+3）（x+5）的结果即可；

（4）将x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]即可得出答案．

【详解】解：（1）因为x2+8x+16=（x+4）2，

所以x2+8x+15不是完全平方公式，

故答案为：不能；

（2）∵x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）

∴x2+8x+15=x2+（3+5）x+（3×5）=（x+3）（x+5），

故答案为：3，5，3，5，3，5；

（3）∵（x+3）（x+5）=x2+5x+3x+15=x2+8x+15，

∴x2+8x+15=（x+3）（x+5）

因此多项式x2+8x+15的因式分解是符合题意的；

（4）x2-x-12=x2+[3+（-4）]x+[3×（-4）]=（x+3）（x-4）．

【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）的结构特征是正确应用的前提．

18．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．

示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．

（1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）；

（2）应用：请用上述方法解方程：

①x2﹣3x﹣4＝0；

②x2﹣7x+12＝0．

【答案】（1）2，4；（2）①或；②或

【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；

（2）①利用十字相乘法将左边因式分解为后求解可得；②利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．

【详解】解：（1），

故答案为：2，4；

（2）①，

，

，

则或，

解得：或，

②，

，

，

则或，

解得：或．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法．

19．阅读材料：解方程我们可以按下面的方法解答：

（1）分解因式，

①竖分二次项与常数项：，．

②交叉相乘，验一次项：．

③横向写出两因式：．

（2）根据乘法原理：若，则或，则方程可以这样求解方程左边因式分解得所以原方程的解为，．试用上述方法和原理解下列方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），；（2），

【分析】（1）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可；

（2）利用已知结合十字相乘法分解因式得出即可．

【详解】解：（1），

，

，

，．

（2），

，

，

，．

【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式的应用，解题的关键是正确利用十字相乘法分解因式．

20．阅读下列材料：

材料1：将一个形如x2＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）

材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1

解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2

上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：

（1）根据材料1，把x2﹣6x＋8分解因式；

（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据材料1的方法，满足，进而进行因式分解即可；

（2）根据材料1的方法，满足，根据材料2将“” 看成一个整体，进而因式分解即可

【详解】（1）

x2﹣6x＋8

（2）令,

则（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3

（x﹣y）2＋4（x﹣y）＋3

【点睛】本题考查了因式分解，运用整体思想是解题的关键．