八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式练习

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专题13 平方差公式与完全平方公式

考点一 运用平方差公式进行计算 考点二 平方差公式与几何图形
考点三 运用完全平方公式进行运算 考点四 求完全平方式中的字母系数
考点五 整式的混合运算——化简求值 考点六 通过对完全平方公式变形求值
考点七 完全平方公式在几何中的应用 考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题

考点一 运用平方差公式进行计算
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（   ）
（1）（2）（3）（4）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
【答案】
【分析】根据平方差公式求解即可．
【详解】解：

【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【答案】，-15
【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x，y求值即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，
原式=
=
=．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．
3．（2022·河南平顶山·七年级期末）运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．
【答案】，-15
【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：  


，
当a=-2，b＝1时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．

考点二 平方差公式与几何图形
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：　 　；


(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝
(2)①9996②
【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；
（2）应用平方差公式进行计算即可．
（1）
解：大的正方形边长为a，面积为，小正方形边长为b，面积为，
∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，
∴图1阴影部分面积＝，
图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），
∵图1的阴影部分与图2面积相等，
∴（a+b）（a﹣b）＝，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝；
（2）
①102×98
＝（100+2）（100﹣2）
＝
＝10000﹣4
＝9996；
②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）
＝[（2m﹣3）+n）][（2m﹣3）﹣n]
＝
＝．
【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是　 　；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为　 　；宽为　 　；面积为　 　．
（2）由（1）可以得到一个公式：　 　．
（3）利用你得到的公式计算：．

【答案】（1），a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）＝（a+b）（a﹣b）；（3）1
【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b）；
（3）由（2）结论＝（a+b）（a﹣b），可得＝1．
【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：＝（a+b）（a﹣b）；；
（3）由（2）题结果＝（a+b）（a﹣b），
可得




【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【答案】(1)
(2)①3；②
(3)5050
【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；
（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；
（3）利用平方差公式将写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值．
（1）
图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为
（2）
解：①∵，2m＋n＝4，
∴

故答案为：3
②

=

（3）

=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）
=199+195+…+7+3
=5050．
【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．

考点三 运用完全平方公式进行运算
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．
【详解】解：



【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：．
【变式训练】
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【答案】，3．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：

，
当x=-1，y=2时，原式．
【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法．
2．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求得结果；
(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可求得结果．
（1）
解：


（2）
解：




【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．

考点四 求完全平方式中的字母系数
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴k＝±23＝±6，
故答案为：±6．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
【答案】4
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和-2，再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵-4x=2×(-2)x，
∴这两个数是x和-2，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若是关于的完全平方式，则______．
【答案】或
【分析】根据完全平方式逆运用，可知，由此即可求得m的值．
【详解】解：，
，
，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的运用，解题重点是灵活运用公式，注意两种情况．

考点五 整式的混合运算——化简求值
例题：（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【答案】x，2
【分析】先根据乘法公式，单项式除以多项式计算中括号内的整式运算，然后根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：


，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
【答案】，-3
【分析】先计算括号内的乘法，再去括号，然后计算除法，再把a＝﹣，b＝﹣2代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：




当a＝﹣，b＝﹣2时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
2．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【答案】(1)原式，当，时，原式
(2)原式2ab，当a= ，b= -1时，原式1
【分析】（1）先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
（2）首先利用多项式除以单项式的运算法则以及平方差公式对原式进行化简，然后去括号得到最简式，再将，代入最简式计算即可求解．
（1）

=
=
=．
当，时，
原式．
（2）

=
=．
当，时，
原式1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，多项式除以单项式以及平方差公式，正确根据运算法则进行化简是解题的关键．

考点六 通过对完全平方公式变形求值
例题：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
【答案】37
【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．
【详解】解：∵a﹣b＝5，ab＝3，
∴，
∴



．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【答案】(1)17
(2)9
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
（1）
解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）
∵，，
∴．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【答案】(1)32
(2)30
【分析】（1）结合题意，，代入即可得出答案；
（2）由（1）可知，，ab＝2，代入即可得出答案．
（1）
解：∵a+b＝6，ab＝2，
∴；
（2）
解：由（1）可知，，ab＝2，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．

考点七 完全平方公式在几何中的应用
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．

(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【答案】(1)m-n
(2)或
(3)
(4)29
【分析】（1）根据题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即可求解；
（2）根据图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，即可求解；
（3）由（2）写出等量关系，即可求解；
（4）根据（3）中的结论可得，再把，代入，即可求解．
（1）
解：（1）图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m，宽为n的长方形的长宽之差，即m-n；
（2）
解：图b中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
图b中的阴影部分的正方形的边长等于m-n，所有其面积为；
故答案为：或
（3）
解：由（2）得：；
（4）
解：由（3）得：
当a+b=7，ab=5时，
，
故答案为：29
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
【变式训练】
1．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．

(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)3；
(3)①ab的值为7；②x-2020=±3
【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系；
（2）计算（a+2b）（a+b）的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
（3）①根据题（1）公式计算即可；②令a=x-2020，从而得到a+1=x-2019，a-1=x-2021，代入计算即可．
（1）
大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
（2）
∵，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
故答案为：3；
（3）
①∵，
∴25=11+2ab,
∴ab=7，
即ab的值为7；
②令a=x-2020，
∴x-2019
=[x-（2020-1）]
=x-2020+1
=a+1，
x-2021
=[x-（2020+1）]
=x-2020-1
=a-1，
∵，
∴，
解得．
∴，
∴x-2020=±3．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，用不同的方法表示面积是得出等量关系的关键．
2．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．

(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【答案】(1)
(2)49
(3)
(4)－4
【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
（2）由（1）得，代入计算即可；
（3）化简结果为，再代入计算即可；
（4）设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
（1）
解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
（2）
由（1）得，
当，，
则，
故答案为：49；
（3）
，，
原式





；
（4）
设，，
则，，
，
，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．

考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【答案】(1)小丽的求解过程正确；
(2)的最小值为，过程见解析
(3)的最大值为
【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；
（2）根据（1）的方法即可求解；
（3）根据（1）的方法即可求解．
（1）
小丽的求解过程正确；
（2）
我能出的最小值为，


，
，
的最小值为；
（3）
解：∵



，
∴的最大值为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
【答案】(1)-2；1
(2)-2
(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）利用完全平方公式变形，再求最值．
（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．
（1）
解：﹣4x+5＝﹣4x+4+1＝．
故答案为：﹣2，1．
（2）
2+4x＝2（+2x+1﹣1）＝，
∵≥0，
∴≥﹣2，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
即的最小值是﹣2．
（3）
－＝﹣2x+1+1＝，
∵≥0，
∴+1＞0，
∴＞2x﹣3．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，正确变形，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【答案】(1)－3，－21；
(2)3，大，6；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；
（2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案；
（3）移项可得，利用完全平方公式对变形，然后根据偶次方的非负性可得答案．
（1）
解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，最小值为－21，
即当x＝－3时，代数式可取最小值－21，
故答案为：－3，－21；
（2）
，
∵，
∴当时，代数式的值最大，最大值为6，
即当x＝3时，y有最大值6．
故答案为：3，大，6；
（3）
∵，
∴，
∵，，
∴当时，的值最小，最小值为，
即当x＝时，y+2x的最小值为．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．



一、选择题
1．（2022·山东烟台·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】平方差公式为，据此对各选项加以分析判断即可．
【详解】A：无法化为形式的式子，故其不能用平方差公式计算；
B：符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；
C：无法化为形式的式子，故其不能用平方差公式计算；
D：无法化为形式的式子，故其不能用平方差公式计算；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键．
2．（2022·云南文山·七年级期中）若代数式是完全平方式，则k等于（    ）
A． B．8 C．16 D．
【答案】D
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵，
∴kx=±2×8x,
解得k=±16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
3．（2022·山东聊城·七年级期末）如果，那么代数式的值为（    ）
A．6 B．5 C．2 D．
【答案】A
【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将变成，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：

，
∵，
∴，
∴原式=2+4
=6，
故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算－化简求值，解题的关键是把所求式子化简，变形后整体代入．
4．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知，，则代数式的值为（    ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】先求出m、n的值，然后代入计算，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，，
∴，，
∴
=
=
=
=；
故选：D
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
5．（2022·四川·达州市达川区翠屏实验学校七年级期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．通过计算这两个图形的面积验证了一个等式，这个等式是（　　）

A．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） D．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2
【答案】C
【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积=，而新形成的矩形是长为a+b，宽为ab，根据两者相等，即可验证平方差公式．
【详解】解：由题意得：
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．解决本题的比较两个图形分别表示出面积．
二、填空题
6．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）化简：______．
【答案】
【分析】根据平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）已知a+b＝3，a－b＝5，则＝__________．
【答案】15
【分析】根据平方差公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：．
8．（2022·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
【答案】2或0##0或2
【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可．
【详解】解： ∵关于的二次三项式是一个完全平方式，
∴
∴，
∴或，
故答案为：2或0．
【点睛】本题考查了完全平方式的知识，属于常考题型，熟知完全平方式的结构特征，是解题关键．
9．（2021·江苏·南通市八一中学八年级阶段练习）已知实数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】5
【分析】根据题意求得，根据平方的非负性即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了完全平方公式的逆用，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．
10．（2022·广西贵港·七年级期末）已知，则______．
【答案】7
【分析】利用完全平方公式变形（）求值即可得．
【详解】解：，



，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．
三、解答题
11．（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）计算：
(1)；
(2) （运用乘法公式计算）．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（2）用平方差公式进行简便计算即可．
（1）
解：

；
（2）
解：



．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
12．（2022·四川·渠县琅琊中学七年级期中）先化简，再求值：
，其中x=2，y=﹣1．
【答案】，-．
【分析】先利用平方差公式、多项式乘多项式法则、除法法则化简整式，再代入求值．
【详解】解：



．
当x=2，y=-1时，
原式

=-．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，掌握平方差公式、多项式乘多项式法则、除法法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
13．（2022·山东·滕州市鲍沟镇鲍沟中学七年级阶段练习）（1）化简：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；   （2）         
【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以单项式，先将括号内化简合并，再计算除法即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以单项式，将式子化简合并，最后代入数值计算即可．
【详解】解：（1）[(x+2y)2+(x−2y)(x+2y)+x(x−4y)]÷6x2
=
=
=；
（2）a(a−2b)+(a+b)2−(a+b)(a−b)

，
当a=1，b=−时，
原式 =1+=．
【点睛】本题考查了整式的化简，解题的关键是掌握相关法则、，熟练正确计算．
14．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）观察下列各式：
（x－1）（x+1）=－1；
（x－1）（+x+1）=－1；
（x－1）（+x+1）=－1；
......
(1)根据以上规律：（x－1）（+x+1）= ；
(2)归纳总结：（x－1）（+.....+x+1）= ；
(3)根据以上规律：求+......+2+1的值
【答案】(1)－1
(2)－1
(3)－1
【分析】（1）仿照已知等式求出所求原式的值即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值．
（1）
根据题中规律得：（x﹣1）；
故答案为：
（2）
总结题中规律得：（x﹣1）（+…+x+1）＝﹣1；
故答案为：﹣1
（3）
根据以上规律：.....+2+1
=（2－1）（+......+2+1）
=．
【点睛】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
15．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．

(1)设图中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含a、b的代数式表示：______，______；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
(3)运用（2）中得到的公式，计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)1
【分析】（1）结合图形写出此题结果；
（2）结合（1）题结果，可得乘法公式；
（3）将2021×2023变形为（2022+1）×（2022-1），再运用平方差公式进行计算．
（1）
解：由题意得，，，
故答案为：，；
（2）
解：由（1）题结果，可得乘法公式，
故答案为：；
（3）
解：


=1．
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．
16．（2022·全国·九年级专题练习）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a－b）2＝a2－2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．
解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2－8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b－25，求△ABC周长的最大值．
【答案】(1)
(2) ，；3
(3)13
【分析】（1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；
（2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；
（3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案；
（1）

=

=
=
（2）
2x2+y2－8x+6y+20
=
=
当 ， 时，多项式有最小值为3
（3）
a2+b2＝8a+6b－25，
变形为 ，
整理得，

根据两边之和大于第三边的判定，
又因为c是正整数，所以
所以△ABC周长的最大值=
【点睛】本题考查完全平方公式，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
17．（2022·广东汕头·八年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.

(1)请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1：_________________；方法2：_________________.
(2)观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系_________;
(3)根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则________；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
【答案】(1)或
(2)=
(3)①±1；②3
【分析】（1）观察得到长为m，宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长，可以直接利用正方形的面积公式得到阴影部分面积；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；
（2）利用（1）中图b中的阴影部分的正方形面积，得到=；
（3）①根据（2）的结论得到，然后把，，代入计算即可．②根据（2）的结论得到，代入即可求解．
（1）
解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个长为，宽为的面积，
即图b中阴影部分的面积为，
故答案为：或
（2）
解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得
=．
故答案为：=．
（3）
解：①由（2）得，
∵，，
∴，
∴，解得；
故答案为：
②∵，，
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式．解决问题的关键是利用整体代入的方法求代数式的值．