数学第十二章 全等三角形12.1 全等三角形巩固练习

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全等变化模型五    十字模型【模型展示】         【正方形十字全等】如图1，      【等边十字全等】如图2，     【模型解析】从变化方式的角度分析，十字模型是由三垂直和三等角模型通过平移得到的.【知识链接】同角的余角相等，三角形的外角定理【模型总结】①如图1，正方形中两条垂直的线段相等，两条相等的线段垂直；②如图2，等边三角形中两条相等的线段夹角等于60°；【模型巩固】【例5-1】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由．                【例5-2】如图．已知△ABC中．∠BAC＝90°．∠BCA＝45°，D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD＝CE．试说明BD和AE之间的关系，并证明．         【例5-3】如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正确的结论是_____________（填序号）            【模型拓展】【拓展5-1】如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，连接AQ，BP相交于点O．（1）写出图中所有的全等三角形，并选择其中一对加以证明；（2）求∠BOQ的度数；（3）连接OC，若OC⊥BP，求的值．                  【拓展5-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF．求证：∠ADB＝∠CDF．