人教版八年级上册12.1 全等三角形同步测试题

这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形同步测试题，文件包含八年级数学上册全等变化模型六半角模型原卷版docx、八年级数学上册全等变化模型六半角模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
全等变化模型六    半角模型【模型展示】【模型条件】【模型结论】         【模型应用】                     【模型巩固】【例6-1】如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、CD交于点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且∠EAF＝45°．（1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数；（2）设∠AEB＝α，则∠AFD＝　        　（用含α的代数式表示）；（3）求证：∠AEB＝∠AEF．【解答】解：（1）由ABCD为正方形，则∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，当∠AEB＝55°时，∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°，∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°，（2）由四边形ABCD为正方形可知，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵∠AEB＝α，∴∠EAB＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α﹣45°，∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．故答案为：135°﹣α．（3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABI，可得E、B、I三点共线，由旋转可知∠DAF＝∠BAI，AF＝AI，∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE，在△EAF和△EAI中，，∴△EAF≌△EAI（SAS）．∴∠AEF＝∠AEI＝∠AEB．【例6-2】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动．①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．②求证：AB＝AH．【解答】解：①DN﹣BM＝MN．证明如下：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF，△ABM和△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN；②∵△MAN≌△FAN，∴∠HNA＝∠DNA，∵∠H＝∠D＝90°，AN＝AN，∴△AHN≌△ADN（AAS），∴AD＝AH，∵AD＝AB，∴AH＝AB．【例6-3】如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值． 【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4∴S△BEF的值为4．  【例6-4】如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明； 【解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．【模型拓展】【拓展6-1】如图，已知，轴于，且满足，（1）求点坐标；（2）分别以，为边作等边三角形和，如图1试判定线段和的数量关系和位置关系．（3）如图2过作轴于，，分别为线段，上的两个动点，满足，试探究的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由． 【解答】解：（1）根据题意得：且，解得：，，则的坐标是；（2），且．如图1，连接，，的坐标是，，是等边三角形，，，，在直角中，，，是等边三角形，，即是的角平分线，，且平分，，，，，故，且．（3）不变．延长至点，使，连接，在与中，，，，，，，在与中，，，，． 【拓展6-2】如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．（1）求证：；（2）在（1）中点的坐标为，点为上一点，且，如图2，求的长；（3）在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当点在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．  【解答】（1）证明：，．在和中，．．（2）解：由（1）知，，过作于点，如右图所示：，，在和中，，．在和中，，可知：；．（3）．证明：由（1）知：，在轴的负半轴上取，连接，如右图所示：在和中，．，．．在和中，．，． 【拓展6-3】如图1，为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角，于．（1）求证：；（2）连接交于，若，求的值；（3）如图2，过作交的延长线于点，过点作交于，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．  【解答】（1）证明：为等腰三角形，，点在线段上（不与，重合），以为腰长作等腰直角，于．，，，，在和中，，；（2）解：，，，．在和中，，，，，，，，，，；（3）式子的值不会变化．如下图2所示：作交于点，，，，，，，为等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，．